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云南省高三数学二轮复习专题教案(十一)

云南省 2010 届高三二轮复习专题(十一) 题目 高中数学复习专题讲座 综合运用等价转化、分类讨论、数形结合等思想解决函数综合问题 高考要求 函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一, 一般难度较大, 考查内容和形式灵活 多样 本节课主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力, 掌握基本解题技巧和方法,并培养考生的思维和创新能力 重难点归纳 在解决函数综合问题时,要认真分析、处理好各种关系,把握问题的主线,运用相关 的知识和方法逐步化归为基本问题来解决,尤其是注意等价转化、分类讨论、数形结合等 思想的综合运用 综合问题的求解往往需要应用多种知识和技能 因此,必须全面掌握有 关的函数知识,并且严谨审题,弄清题目的已知条件,尤其要挖掘题目中的隐含条件 学法指导 怎样学好函数 学习函数要重点解决好四个问题 准确深刻地理解函数的有关概念; 揭示并认识函数与 其他数学知识的内在联系;把握数形结合的特征和方法;认识函数思想的实质,强化应用意 识 (一)准确、深刻理解函数的有关概念 概念是数学的基础, 而函数是数学中最主要的概念之一, 函数概念贯穿在中学代数的始 终 数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等是以函数为中心的代数 近十年来,高考 试题中始终贯穿着函数及其性质这条主线 (二)揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系 函数是研究变量及相互联系的数学 概念,是变量数学的基础,利用函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、 曲线与方程等内容 在利用函数和方程的思想进行思维中, 动与静、 变量与常量如此生动的 辩证统一,函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式 所谓函数观点,实质是将问题放到动态背景上去加以考虑 高考试题涉及 5 个方面 (1)原 始意义上的函数问题;(2)方程、不等式作为函数性质解决;(3)数列作为特殊的函数成为高 考热点;(4)辅助函数法;(5)集合与映射,作为基本语言和工具出现在试题中 (三)把握数形结合的特征和方法 函数图像的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合,有效地揭示了各类函数和定义 域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性,体现了数形结合的特征与方法,为此,既 要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形,又要熟练地掌握函数图像 的平移变换、对称变换 (四)认识函数思想的实质,强化应用意识 函数思想的实质就是用联系与变化的观点提出数学对象,抽象数量特征,建立函数关 系,求得问题的解决 纵观近几年高考题,考查函数思想方法尤其是应用题力度加大,因此 一定要认识函数思想实质,强化应用意识 典型题例示范讲解 例 1 设 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 其图像关于直线 x=1 对称, 对任意 x1、 x2∈ [0, 都有 f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),且 f(1)=a>0 (1)求 f( 1 ] , 2 1 1 )、f( ); 2 4 (2)证明 f(x)是周期函数; (3)记 an=f(2n+ 1 ),求 lim (ln a n ). n?? 2n 命题意图 本题主要考查函数概念,图像函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识, 还考查运算能力和逻辑思维能力 知识依托 认真分析处理好各知识的相互联系,抓住条件 f(x1+x2)= f(x1)·f(x2)找到问题的突破口 错解分析 不会利用 f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)进行合理变形 技巧与方法 由 f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)变形为 f ( x) ? f ( ? ) ? f ( ) ? f ( ) 是解决问题的关键 x x 2 2 x 2 x 2 (1) 解 因 为 对 x1,x2 ∈ [ 0, 1 ] , 都 有 f(x1+x2)=f(x1) · f(x2), 所 以 2 x∈[0,1] f(x)= f ( ? ) ? f ( ) f ( ) ? 0 , 又因为 f(1)=f( x 2 x 2 x 2 x 2 1 1 1 1 1 + )=f( )·f( )=[f( )]2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 f( )=f( + )=f( )·f( )=[f( )]2 2 4 4 4 4 4 又 f(1)=a>0 1 1 1 ∴f( )=a 2 , f( )=a 4 2 4 1 (2)证明 依题意设 y=f(x)关于直线 x=1 对称,故 f(x)=f(1+1-x), 即 f(x)=f(2-x),x∈R 又由 f(x)是偶函数知 f(-x)=f(x),x∈R ∴f(-x)=f(2-x),x∈R 将上式中-x 以 x 代换得 f(x)=f(x+2),这表明 f(x)是 R 上的周期函数,且 2 是它的一个 周期 (3)解 由(1)知 f(x)≥0,x∈[0,1] 1 1 1 1 1 1 )=f(n· )=f( +(n-1) )=f( )·f((n-1)· )=…… 2 2n 2n 2n 2n 2n 1 1 1 =f( )·f( )·……·f( ) 2n 2n 2n ∵f( =[f( 1 )]n=a 2 2n 1 1 ∴f( 1 )=a 2 n 2n 1 1 )=f( ), 2n 2n 又∵f(x)的一个周期是 2 ∴f(2n+ ∴an=f(2n+ 1 1 )=f( )=a 2 n 2n 2n 1 因此 an=a n?? 1 2n ∴ lim (ln an ) ? lim ( n?? 1 ln a) ? 0. 2n 例 2 甲、乙两地相距 S 千米,汽车从甲地匀速驶到乙地,速度不得超过 c 千米/小时, 已知汽车每小时的运输成本 ( 以元为单位 ) 由可变部分和固定部分组成,可变部分与速度 v(km/h)的平方成正比,比例系数为 b,固定部分为 a 元 (1)把全程运输成本 y(元)表示为 v(km/h)的函数,并指出这个函数的定义域; (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行

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