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河南省林州市第一中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题


本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 4 项,满分 150 分,考试 时间 120 分钟. 注意事项: 1.答第一部分(选择题)卷前,考生务必将自己的姓名、座位号、考试科目用铅笔写在 答题卡上. 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案,不能答在试卷上. 3.考生务必将第二部分(非选择题)的解答写在答题卷的框线内,写在框线外的部分不 计分. 4.考试结束后,监考员将答题卷都收回,试卷考生自己保管. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设集合 A ? ??x, y ? | y ? ax ? 1?, B ? ??x, y ? | y ? x ? b?,且 A ? B ? ??2,5??,则 A. a ? 3, b ? 2 B. a ? 2, b ? 3 C. a ? ?3, b ? ?2 D. a ? ?2, b ? ?3

1,2,3,4?, M ? ? 1,2?, N ? ?2,3? ,则 CU ?M ? N ? ? 2.若 U ? ?
1,2,3? A. ? 1,3,4? B. ?
C.

?2?

D. ?4? B. A ? ?2,3?, B ? ??2,3??

3.下列各组两个集合 A 和 B 表示同一集合的是

? ? ?, B ? ?3.14159 A. A ? ?
C. A ? 1, 3 , ? , B ? ? ,1, ? 3 4.函数 f ? x ? ?

?

?

?

?

1 D. A ? ?x | ?1 ? x ? 1, x ? N ?, B ? ??

x?

1 的定义域是 x?2
B. ?0,??? C. ?0,2? ? ?2,??? D. ?0,???

A. ?0,2?? ?2,???

5.若 A ? ?x | 0 ? x ? 2?, B ? ?y | 1 ? y ? 2?,下列四个图形,其中能表示集合 A 到集合 B 函数 关系的是

6.在下列四组函数中, f ?x ? 与 g ?x ? 表示同一函数的是

x2 ?1 f ?x ? ? x ? 1, g ?x ? ? x ?1 A.
C. f ?x ? ? x ? 2, x ? R; g ?x ? ? x ? 2, x ? Z

B. f ? x ? ?

x 2 , g ?x ? ?

? x?

2

D. f ?x ? ? x ? 1 , g ?x ? ? ?

? x ? 1, x ? ?1 ?? x ? 1, x ? ?1

7.函数 y ? ax2 ? bx 与 y ? ax ? b?ab ? 0?在同一坐标系中的图象只能是

8.下列函数是偶函数的是 A. y ? x D. y ? x 2 , x ? ?0,1? 9.函数 y ? x ? 4x ? 3, x ? ?0,3? 的值域为
2

B. y ? 2x 2 ? 3

C. y ?

1 x

A. ?0,3?

B. ?? 1,0?

C. ??1,3?

D. ?0,2?

10. 的集合为 A. ?M ? P? ? S C. ?M ? P? ? S B.

设 U 是全集, M , P, S 是 U 的三个子集,则阴影部分所示

?M ? P? ? ?CU S ?

D. ?M ? P? ? ?CU S ?

11.偶函数 y ? f ?x ? 在区间 ?0,4? 上单调递减,则有 A. f ?? 1? ? f ?

?? ? ? ? f ?? ? ? ?3? ?? ? ? ?3?
B. ?? 3,0? ? ?0,3?

B. f ?

?? ? ? ? f ?? 1? ? f ?? ? ? ?3? ?? ? ? ?3?

C. f ?? ? ? ? f ?? 1? ? f ?

D. f ?? 1? ? f ?? ? ? ? f ?

12.若 f ?x ? 是奇函数,且在 ?0,??? 上是增函数,又 f ?? 3? ? 0 ,则 ?x ? 1? f ?x ? ? 0 的解集是 A. ?? 3,0? ? ?1,3? C. ?? ?,?3? ? ?3,???

D. ?? 3,0? ? ?1,??? 第Ⅱ卷(选择题 共 60 分) 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分 13.设集合 M ? x | x是小于5的素数 ,则 M 的真子集的个数为_________. 14.已知函数 f ?x ? ? ? 15.函数 f ? x ? ?

?

?

? x ? 1, x ? 0 ,则 f ? f ?? 2?? 的值为__________. 2 ? x ,x ?0

x , x ? ?? 2,?1? ? ?? 1,0? 的函数值的取值范围是_______________. x ?1

16.给出以下四个命题: ①若集合 A ? ?x, y? , B ? 0, x , A ? B ,则 x ? 1, y ? 0 ;
2

? ?

②若函数 f ?x ? 的定义域为 ??1,1? ,则函数 f ?2 x ? 1?的定义域为 ?? 1,0? ; ③函数 f ? x ? ?

1 的单调递减区间是 ?? ?,0? ? ?0,??? ; x

④若 f ?x ? y ? ? f ?x ? f ? y ? ,且 f ?1? ? 2,

f ?2? f ?4? f ?2014? f ?2016? ? ?? ? ? ? 2016. ? f ?2015? f ?1? f ?3? f ?2013

其中正确的命题有___________________(写出所有正确命题的序号). 三.解答题: 本大题共 6 小题, 共 70 分.解答必需写出必要的文字说明、 推理过程或计算步骤. 17.(本小题满分 8 分)若集合 A ? ?x | ?3 ? x ? 4? 和 B ? ?x | 2m ?1 ? x ? m ? 1?. (I) (3 分)当 m ? ?3 时,求集合 A ? B ; (II) (5 分)当 B ? A 时,求实数 m 的取值范围. 18.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ?

1 1 ? ?a ? 0, x ? 0 ? . a x

(I) (6 分)求证: f ?x ? 在 ?0,??? 上是单调递增函数(用定义证明); (II) (6 分)若 f ?x ? 在 ? ,2? 上的值域是 ? ,2? ,求 a 的值. 2 2

?1 ? ? ?

?1 ? ? ?

2 19.(本小题满分 12 分)二次函数 f ?x? ? ax ? bx ? c?a ? 0? 满足 f ?x ? 1? ? f ?x ? ? 2 x 且

f ?0? ? 1 .
(I) (6 分)求 f ?x ? 的解析式;

(II) (6 分)求 f ?x ? 在区间 ?? 1,2? 上的最大值与最小值.

20.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? x ? (I) (2 分)求 a 的值; (II) (4 分)判断函数 f ?x ? 的奇偶性;

a ,且 f ?1? ? 2 . x

(III) (6 分)判断 f ?x ? 在 ?1,??? 上的单调性并加以证明. 高一上期中数学试题参考答案 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 题号 答案 1 B 2 B 3 C 4 A 5 D 6 D 7 C 8 B 9 C 10 D 11 A

12 A

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分 13. 3 14. 5 15. ?? ?,0?? ?2,??? 16.①②③

三.解答题: 本大题共 5 小题, 共 70 分.解答必需写出必要的文字说明、 推理过程或计算步骤.

, A ? ?x | ?3 ? x ? 4?,………………1 分 17.解: (I)当 m ? ?3 时, B ? ?x | ?7 ? x ? ?2?
∴ A ? B ? ?x | ?3 ? x ? ?2?,………………2 分 (II)分类讨论 ①当 2m ? 1 ? m ? 1 ? m ? 2 时, B ? ? ? A ,合题意;………………1 分 ②当 B ? ? ? m ? 2 时, B ? A ,则有

? m?2 ?m?2? ? ? ? ?2m ? 2 ? ?3 ? ?m ? ?1? ? ?1 ? m ? 2 .………………3 分 ? m ?1 ? 4 ? m?3? ? ? ?
综上①②,实数 m 取值范围是 ?m | m ? ?1? .………………1 分 点评:本题考查集合的交集运算,利用子集知识求参数取值范围,着重考查不等式组解法以 及分类讨论数学思想. 18.(I)证明:设 0 ? x1 ? x2 ,则 x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 0 ,………………2 分

∵ f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? ? ?

? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 1 x1 ? x2 ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? x x ? 0 ,………………2 分 1 2 ? a x1 ? ? a x2 ? x2 x1

∴ f ?x1 ? ? f ?x2 ? ,………………1 分 ∴ f ?x ? 在 ?0,??? 上是单调递增的.………………1 分 (II)解:∵ f ?x ? 在 ?0,??? 上是单调递增的,………………1 分 ∴ f ?x ? 在 ? ,2? 上单调递增,………………2 分 2 ∴ f? ?? ∴a ?

?1 ? ? ?

?1? ?2?

1 , f ?2? ? 2 ,………………2 分 2

2 .………………1 分 5

点评:本题考查函数单调性的判断与证明,着重考查函数单调性的定义及其应用,属于中档 题.

点评:本题考查待定系数法求二次函数解析式,给定区间上的最大值及最小值,着重考查方 程思想数形结合思想. 19.解: (I) f ?1? ? 1 ? a ? 2, a ? 1 .………………2 分 (II)函数 f ?x ? 的定义域 ?? ?,0? ? ?0,??? 关于原点对称,………………1 分 且 f ?? x ? ? ? x ?

1 1? ? ? ?? x ? ? ? ? f ?x ? ,………………2 分 ?x x? ?

故函数 f ?x ? 为定义域 ?? ?,0? ? ?0,??? 上的奇函数.………………1 分

(III) f ? x ? ? x ?

1 在 ?1,??? 上单调递增,理由如下:设 1 ? x1 ? x2 ,………………1 分 x

? ? 1 1? ? 1 ? 1? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? ? x1 ? x ? ??? ? x2 ? x ? ? ? ? x1 ? x2 ? ? ? ?x ?x ? ? 1 ? 2 ? 1 ? ………………2 分 ? ? ? 2 x ? x2 x x ?1 ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? ? x1 ? x2 ? ? 1 2 x1 x2 x1 x2

∵ 1 ? x1 ? x2 ,? x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 1 ? 0, x1 x2 ?1 ? 0 ∴ f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0, f ?x1 ? ? f ?x2 ? ,………………2 分 故 f ?x ? ? x ?

1 在 ?1,??? 上单调递增.………………1 分 x

点评:本题考查函数奇偶性、单调性的判断与证明,着重考查函数单调性的定义及其应用. 20.解(I)∵ f ?x ? 在其定义域 ?x ? R | x ? 0?内是奇函数, ∴ f ?? x ? ? ? f ?x ? ,………………1 分 ∵当 x ? 0 时, f ?x? ? x 2 ? 2 , 设 x ? 0 ,所以 ? x ? 0 , ∴ f ?? x? ? ? f ?x? ? x 2 ? 2 ,即 f ?x? ? 2 ? x 2 ,………………2 分

? x 2 ? 2( x ? 0) 则 f ?x ? ? ? ;………………1 分 2 ?2 ? x ( x ? 0)
图像略………………2 分
2 (II)∵当 x ? 0 时, x ? 2 ? x ,

化简得 ?x ? 2??x ? 1? ? 0 , 解得: ? 1 ? x ? 2 , 所以不等式的解集为 ?x | 0 ? x ? 2?;………………3 分
2 当 x ? 0 时, 2 ? x ? x ,

化简得: ?x ? 2??x ? 1? ? 0 , 解得: x ? ?2或x ? 1 , 所以不等式的解集为 ?x | x ? ?2?,………………2 分 综上,不等式 f ?x ? ? x 的解集为 x | x ? ?2或0 ? x ? 2 .………………1 分

?

?

点评:此题要求学生掌握奇函数的性质及确定方法,考查了一元二次不等式的解法,考查了 分类讨论的数学思想.是一道中档题. 21.解: (I)函数 f ?x ? 有意义,须满足 ? 分 故函数定义域是 ?x | ?1 ? x ? 1?.………………1 分 ∵函数定义域关于原点对称,且 f ?? x? ? 1 ? x ? 1 ? x ? f ?x? ,………………3 分 ∴函数 f ?x ? 是偶函数.………………1 分
2 (II)设 f ?x ? ? t ,则 1 ? x ?

?1 ? x ? 0 ? x ? ?1? ?? ? ? ?1 ? x ? 1 ,………………2 ?1 ? x ? 0 ? x ? 1 ?

1 2 t ? 1 ,………………1 分 2

∵ ? f ?x ?? ? 2 ? 2 1 ? x 2 ,0 ? 1 ? x 2 ? 1 ,
2

∴ 2 ? ? f ?x?? ? 4, f ?x? ? 0 ,
2

∴ 2 ? f ?x ? ? 2 , 即函数 f ?x ? 的值域为

? 2,2?,即 t ?? 2,2?………………2 分
? ? 1 2 m t ? t ? m t ? 2 ,2 ,………………1 分 2
1 . m

∴ F ?x ? ? F ?t ? ? m? t 2 ? 1? ? t ?

?1 ?2

? ?

??

∵抛物线 y ? F ?t ? 的对称轴为 t ? ? ①当 m ? 0 时, ?

1 ? 0 ,函数 y ? F ?t ? 在 m

? 2,2?上单调递增,

∴ g ?m? ? F ?2? ? m ? 2 ; ②当 m ? 0 时, F ?t ? ? t , g ?m? ? 2 . ③当 m ? 0 时, ? 若0 ? ?

1 ?0, m

1 2 ? 2 ,即 m ? ? 时, m 2

? 2,2?上单调递减, ∴ g ?m? ? F ? 2 ? ? 2 ;
函数 y ? F ?t ? 在

若 2?? 若?

1 2 1 1 ? 1? ? 2 ,即 ? ; ? m ? ? 时, g ?m? ? F ? ? ? ? ?m ? m 2 2 2m ? m?

1 1 ? 2 ,即 ? ? m ? 0 时, m 2

函数 y ? F ?t ? 在

? 2,2?上单调递增,

∴ f ?m? ? F ?2? ? m ? 2 ;

? 1? ? ? m ? 2? m ? ? ? 2? ? ? ? 1 ? 2 1? ? ?? 综上得 f ?m ? ? ?? m ? .………………3 分 ?m?? ? ? 2m ? 2 2? ? ? ? ? 2? ? 2? m ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ?
点评:本题主要考查函数奇偶性和最值的求解,根据函数奇偶性的定义以及二次函数的图象 和性质是解决本题的关键.


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