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江苏省苏州市2017-2018学年第一学期高三期中调研试卷数学(理)


2017—2018 学年第一学期高三期中调研试卷

数 学
注意事项: 1.本试卷共 4 页.满分 160 分,考试时间 120 分钟. 2.请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卷上,在本试卷上答题无效. 3.答题前,务必将自己的姓名、学校、准考证号写在答题纸的密封线内. 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请把答案直接填写在答卷纸 相应的位置) ... 1.已知集合 U ? {1,2,3,4,5}, A ? {1,3}, B ? {2,3} ,则 A I (? U B) ? 2.函数 y ? ▲ .

2017.11

1 的定义域为 ln( x ? 1)





3.设命题 p : x ? 4 ;命题 q : x2 ? 5x ? 4 ≥ 0 ,那么 p 是 q 的 不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”).



条件(选填“充分不必要”、“必要

4.已知幂函数 y ? x2m?m (m ? N* ) 在 (0, ??) 是增函数,则实数 m 的值是

2



. ▲ .

5.已知曲线 f ( x) ? ax3 ? ln x 在 (1, f (1)) 处的切线的斜率为 2,则实数 a 的值是 6.已知等比数列 {an } 中, a3 ? 2 , a4 a6 ? 16 ,则

a7 ? a9 ? a3 ? a5





? ,则 ? 的值是 ▲ . 12 f ( x) 8.已知奇函数 f ( x) 在 (??,0) 上单调递减,且 f (2) ? 0 ,则不等式 ? 0 的解集为 ▲ x ?1 ? 9.已知 tan(? ? ) ? 2 ,则 cos 2? 的值是 ▲ . 4 ?? x ? 8, x ≤ 2 (a ? 0且a ? 1) 的值域为 [6, ??) ,则实数 a 的取值范围是 10.若函数 f ( x) ? ? ?log a x ? 5, x ? 2
7.函数 y ? sin(2 x ? ?)(0 ? ? ? ) 图象的一条对称轴是 x ?

? 2







1 1 (n ? N*) ,则 b1 ? b2 ? L b2017 ? 11.已知数列 {an },{bn } 满足 a1 ? , a n ?bn ? 1, bn ?1 ? 2 an ? 1





12.设 △ABC 的内角 A, B, C 的对边分别是 a , b, c ,D 为 AB 的中点,若 b ? a cos C ? c sin A 且 CD ? 2 , 则 △ABC 面积的最大值是 ▲ .

13 .已知函数 f ( x) ? sin( x ? ) ,若对任意的实数 ? ?[?

? 6 f (? ) ? f (? )? 0 ,则实数 m 的最小值是 ▲ .

5? ? , ? ] ,都存在唯一的实数 ? ? [0, m] ,使 6 2

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期中试卷

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共 14 页

?ln x, x ? 0 14.已知函数 f ( x) ? ? ,若直线 y ? ax 与 y ? f ( x) 交于三个不同的点 A(m, f (m)), B(n, f (n)), ?2 x ? 1, x ≤ 0
C (t , f (t )) (其中 m ? n ? t ),则 n ?

1 ? 2 的取值范围是 m





二、解答题(本大题共 6 个小题,共 90 分,请在答题卷区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 15.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ? 间的距离为

2 ? 1 sin(2ax ? ) ? ? b(a ? 0, b ? 0) 的图象与 x 轴相切, 且图象上相邻两个最高点之 2 4 2

? . 2

(1)求 a , b 的值; (2)求 f ( x ) 在 [0, ] 上的最大值和最小值.

? 4

16.(本题满分 14 分) 在 △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 sin B ? sin C ? m sin A(m ? R) ,且 a 2 ? 4bc ? 0 . (1)当 a ? 2, m ?

5 时,求 b, c 的值; 4

(2)若角 A 为锐角,求 m 的取值范围.

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17.(本题满分 15 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和是 Sn ,且满足 a1 ? 1 , Sn?1 ? 3Sn ? 1(n ? N* ) . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)在数列 {bn } 中, b1 ? 3 , bn ?1 ? bn ?

an ?1 (n ? N* ) ,若不等式 ? an ? bn ≤ n2 对 n ? N* 有解,求实数 an

? 的取值范围.

18.(本题满分 15 分) 如图所示的自动通风设施.该设施的下部 ABCD 是等腰梯形,其中 AB 为 2 米,梯形的高为 1 米,CD

? 是个半圆, 为 3 米, 上部 CmD 固定点 E 为 CD 的中点. MN 是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆 (横
杆面积可忽略不计),且滑动过程中始终保持和 CD 平行.当 MN 位于 CD 下方和上方时,通风窗的 形状均为矩形 MNGH(阴影部分均不通风). (1)设 MN 与 AB 之间的距离为 x (0 ≤ x ? 关于 x 的函数 y ? S ( x) ; (2)当 MN 与 AB 之间的距离为多少米时,通风窗的通风面积 S 取得最大值?

5 且 x ? 1) 米,试将通风窗的通风面积 S(平方米)表示成 2

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19.(本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ? x 2 ? x ? m . (1)求过点 P(0, ?1) 的 f ( x) 的切线方程; (2)当 m ? 0 时,求函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 (0, a ] 的最大值; (3)证明:当 m ≥ -3 时,不等式 f ( x) ? g ( x) ? x2 ? ( x ? 2)e x 对任意 x ?[ ,1] 均成立(其中 e 为自然 对数的底数, e ? 2.718... ).

1 2

20.(本题满分 16 分) 已知数列 {an } 各项均为正数, a1 ? 1 , a2 ? 2 ,且 an an?3 ? an?1an? 2 对任意 n ? N* 恒成立,记 {an } 的前 n 项和为 Sn . (1)若 a3 ? 3 ,求 a 5 的值; (2)证明:对任意正实数 p, {a2 n ? pa2 n ?1} 成等比数列; (3)是否存在正实数 t,使得数列 {Sn ? t} 为等比数列.若存在,求出此时 an 和 Sn 的表达式;若不存 在,说明理由.

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注意事项: 1.本试卷共 2 页.满分 40 分,考试时间 30 分钟.

(附加)

2017.11

2.请在答题卡上的指定位置作答,在本试卷上作答无效. 3.答题前,请务必将自己的姓名、学校、考试证号填写在答题卡的规定位置. 21.【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答 .若多做, ...................
高三数学 期中试卷 第 4 页 共 14 页

则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.(几何证明选讲) (本小题满分 10 分) 如图,AB 为圆 O 的直径,C 在圆 O 上, CF ? AB 于 F,点 D 为线段 CF 上任意一点,延长 AD 交圆 O 于 E, ?AEC ? 300 . (1)求证: AF ? FO ; (2)若 CF ? 3 ,求 AD ? AE 的值.

C D A F O

E

B

B.(矩阵与变换) (本小题满分 10 分)

u r r ?4? ?1 2? u 49 A ? 已知矩阵 A ? ? , ,求 的值. ? ? ? ?2? ?2 1? ? ?

C.(极坐标与参数方程) (本小题满分 10 分)

4 ? x?? t?2 ? ? 5 在平面直角坐标系中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数),以原点 O 为极点, x 轴正半轴为 ?y ? 2 t ? 5 ?
极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2a cos(? ? )(a ? 0) . (1)求直线 l 和圆 C 的直角坐标方程; (2)若圆 C 任意一条直径的两个端点到直线 l 的距离之和为 5 ,求 a 的值.

? 4

D.(不等式选讲) (本小题满分 10 分) 设 x, y 均为正数,且 x ? y ,求证: 2 x ?

1 ≥2y ? 3 . x 2 ? 2 xy ? y 2

【必做题】第 22、23 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说 ....... 明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分 10 分)
高三数学 期中试卷 第 5 页 共 14 页

在小明的婚礼上,为了活跃气氛,主持人邀请 10 位客人做一个游戏.第一轮游戏中,主持人将标有 数字 1,2,…,10 的十张相同的卡片放入一个不透明箱子中,让客人依次去摸,摸到数字 6,7,…,10 的客 人留下,其余的淘汰,第二轮放入 1,2,…,5 五张卡片,让留下的客人依次去摸,摸到数字 3,4,5 的客人 留下,第三轮放入 1,2,3 三张卡片,让留下的客人依次去摸,摸到数字 2,3 的客人留下,同样第四轮淘 汰一位,最后留下的客人获得小明准备的礼物.已知客人甲参加了该游戏. (1)求甲拿到礼物的概率; (2)设 ? 表示甲参加游戏的轮数 ,求 ? 的概率分布和数学期望 E (? ) . ..

23.(本小题满分 10 分) (1)若不等式 ( x ? 1)ln( x ? 1) ≥ ax 对任意 x ?[0, ??) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)设 n ? N* ,试比较

1 1 1 与 ln(n ? 1) 的大小,并证明你的结论. ? ?L ? 2 3 n ?1

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数 学 参 考 答 案
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1. {1} 6.4 11. 2. (1,2) U (2, ??) 7. 3.充分不必要 8. (?2,0) U (1, 2) 13. 4.1 9. ? 5.

1 3

? 3

4 5 1 e

10. (1, 2]

1 2018

12. 2 ? 1

? 2

14. (1,e ? )

二、解答题(本大题共 6 个小题,共 90 分) 15.(本题满分 14 分) 解:(1)∵ f ( x) 图象上相邻两个最高点之间的距离为

? , 2

∴ f ( x) 的周期为

? 2? ? ? 且a ? 0 ,· ,∴ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 2|a| 2 2

∴a ? 2, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分

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2 ? 1 sin(4 x ? ) ? ? b , 2 4 2 1 2 且b ? 0 ,· 又∵ f ( x) 的图象与 x 轴相切,∴ | b ? |? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 2 2 2 1 ? ; ∴b ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 2 2 2 ? 2 sin(4 x ? ) ? (2)由(1)可得 f ( x) ? ? , 2 4 2 ? ? ? ?? ∵ x ?[0, ] ,∴ 4 x ? ?[ , ] , 4 4 4 4 2 ?1 ? ?? ? ∴当 4 x ? ? ,即 x ? 时, f ( x) 有最大值为 ;· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 2 4 4 4 ? ? ? 当 4 x ? ? ,即 x ? 时, f ( x) 有最小值为 0.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分 4 2 16
此时 f ( x) ? ? 16.(本题满分 14 分) 解:由题意得 b ? c ? ma , a 2 ? 4bc ? 0 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 (1)当 a ? 2, m ?

5 5 时, b ? c ? , bc ? 1 , 4 2

1 ?b ? 2 ? ? ?b ? 解得 ? 或 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 2 ;· 1 ? c? ? ? 2 ?c ? 2 ?

(2) cos A ?

b ?c ?a (b ? c) ? 2bc ? a ? ? 2bc 2bc
2 2 2 2 2

(ma) 2 ?

a 2

a2 ? a2 2 ? 2m2 ? 3 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 2

∵A 为锐角,∴ cos A ? 2m2 ? 3 ? (0,1) ,∴

3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 ? m2 ? 2 ,· 2

又由 b ? c ? ma 可得 m ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 ∴

6 ? m ? 2 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分 2

17.(本题满分 15 分) 解:(1)∵ Sn?1 ? 3Sn ? 1(n ? N* ) ,∴ Sn ? 3Sn?1 ? 1(n ? N* , n ≥ 2) , ∴ an?1 ? 3an (n ? N* , n ≥ 2) ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 又当 n ? 1 时,由 S2 ? 3S1 ? 1 得 a2 ? 3 符合 a2 ? 3a1 ,∴ an?1 ? 3an (n ? N* ) ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 ∴数列 {an } 是以 1 为首项,3 为公比的等比数列,通项公式为 an ? 3n?1 (n ? N* ) ;· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 (2)∵ bn ?1 ? bn ?

an ?1 ? 3(n ? N* ) ,∴ {bn } 是以 3 为首项,3 为公差的等差数列,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 an

∴ bn ? 3 ? 3(n ? 1) ? 3n(n ? N* ) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分
高三数学 期中试卷 第 7 页 共 14 页

∴ ? an ? bn ≤ n2 ,即 3n ?1 ? ? ? 3n ≤ n2 ,即 ? ≤ 设 f ( n) ?

n 2 ? 3n 对 n ? N* 有解,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 n ?1 3

n 2 ? 3n ( n ? N* ) , 3n ?1 (n ? 1) 2 ? 3(n ? 1) n 2 ? 3n ?2(n 2 ? 4n ? 1) ? n ?1 ? ∵ f (n ? 1) ? f (n) ? , 3n 3 3n
∴当 n ≥ 4 时, f (n ? 1) ? f (n) ,当 n ? 4 时, f (n ? 1) ? f (n) , ∴ f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f (5) ? f (6) ? L , ∴ [ f (n)]max ? f (4) ? ∴?≤

4 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分 27

4 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 15 分 27

18.(本题满分 15 分) 解:(1)当 0 ≤ x ? 1 时,过 A 作 AK ? CD 于 K (如上图),

CD ? AB 1 ? , HM ? 1 ? x , 2 2 AK MH HM 1 ? x 由 , ? ? 2 ,得 DH ? ? DK DH 2 2
则 AK ? 1, DK ? ∴ HG ? 3 ? 2 DH ? 2 ? x , ∴ S ( x) ? HM ? HG ? (1 ? x)(2 ? x) ? ? x2 ? x ? 2 ;· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 当1 ? x ?

5 时,过 E 作 ET ? MN 于 T ,连结 EN (如下图), 2
MN 9 ? 3? ? ? ? ? ( x ? 1)2 ? ? ( x ? 1)2 , 2 2 4 ? ?
2

则 ET ? x ? 1 , TN ?

∴ MN ? 2

9 ? ( x ? 1) 2 , 4 9 ? ( x ? 1) 2 ? ( x ? 1) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 4

∴ S ( x) ? MN ? ET ? 2

?? x 2 ? x ? 2 , 0 ≤ x ? 1 ? 综上: S ( x) ? ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 9 5 ;· ? ( x ? 1)2 , 1 ? x ? ?2( x ? 1) 4 2 ?
(2)当 0 ≤ x ? 1 时, S ( x) ? ? x2 ? x ? 2 ? ?( x ? )2 ?

1 2

9 在 [0,1) 上递减, 4

∴ S ( x)max ? S (0) ? 2 ; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分

9 5 2? 当 1 ? x ? 时, S ( x) ? 2( x ? 1) ? ( x ? 1) 2 ≤ 2 ? 4 2
高三数学 期中试卷

( x ? 1)2 ?

9 ? ( x ? 1) 2 9 4 ? , 2 4
共 14 页

第 8 页

当且仅当 ( x ? 1) ? ∴ S ( x)max ?

3 2 5 9 ? 1? (1, ) 时取“ ? ”, ? ( x ? 1) 2 ,即 x ? 4 2 4

9 9 9 ,此时 S ( x)max ? ? 2 ,∴ S ( x) 的最大值为 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分 4 4 4 3 2 ? 1 米时,通风窗的通风面积 S 取得最大值.· 答:当 MN 与 AB 之间的距离为 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 15 分 4
19.(本题满分 16 分) 解:(1)设切点坐标为 ( x0 ,ln x0 ) ,则切线方程为 y ? ln x0 ? 将 P(0, ?1) 代入上式,得 ln x0 ? 0 , x0 ? 1 , ∴切线方程为 y ? x ? 1 ; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 (2)当 m ? 0 时, F ( x) ? ln x ? x2 ? x, x ? (0, ??) , ∴ F ?( x) ? ?

1 ( x ? x0 ) , x0

(2x ? 1)( x ? 1) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 , x ? (0, ??) , x

当 0 ? x ? 1 时, F ?( x) ? 0 ,当 x ? 1 时, F ?( x) ? 0 , ∴ F ( x) 在 (0,1) 递增,在 (1, ??) 递减,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 ∴当 0 ? a ≤ 1 时, F ( x) 的最大值为 F (a) ? ln a ? a2 ? a ; 当 a ? 1 时, F ( x) 的最大值为 F (1) ? 0 ;· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 (3) f ( x) ? g ( x) ? x2 ? ( x ? 2)e x 可化为 m ? ( x ? 2)e x ? ln x ? x , 设 h( x) ? ( x ? 2)e x ? ln x ? x, x ?[ ,1] ,要证 m ≥ -3 时 m ? h( x) 对任意 x ?[ ,1] 均成立, 只要证 h( x)max ? ?3 ,下证此结论成立.

1 2

1 2

1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 ? x ? 1 时, x ? 1 ? 0 ,· 2 1 1 1 设 u( x) ? e x ? ,则 u?( x) ? e x ? 2 ? 0 ,∴ u ( x) 在 ( ,1) 递增, x x 2 1 1 又∵ u ( x) 在区间 [ ,1] 上的图象是一条不间断的曲线,且 u( ) ? e ? 2 ? 0 , u (1) ? e ? 1 ? 0 , 2 2
∵ h?( x) ? ( x ? 1)(e x ? ) ,∴当 ∴ ?x0 ? ( ,1) 使得 u ( x0 ) ? 0 ,即 e x0 ?

1 x

1 2

1 , ln x0 ? ? x0 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 x0

当 x ? ( , x0 ) 时, u ( x) ? 0 , h?( x) ? 0 ;当 x ? ( x0 ,1) 时, u ( x) ? 0 , h?( x) ? 0 ; ∴函数 h( x) 在 [ , x0 ] 递增,在 [ x0 ,1] 递减,

1 2

1 2

高三数学

期中试卷

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共 14 页

∴ h( x)max ? h( x0 ) ? ( x0 ? 2)e x0 ? ln x0 ? x0 ? ( x0 ? 2) ?

1 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分 ? 2 x0 ? 1 ? ? 2 x0 , x0 x0

∵ y ?1?

2 2 1 ? 2 x 在 x ? ( ,1) 递增,∴ h( x0 ) ? 1 ? ? 2 x0 ? 1 ? 2 ? 2 ? ?3 ,即 h( x)max ? ?3 , x0 x 2

∴当 m ≥ -3 时,不等式 f ( x) ? g ( x) ? x2 ? ( x ? 2)e x 对任意 x ?[ ,1] 均成立.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 16 分 20.(本题满分 16 分) 解:( 1 )∵ a1a4 ? a2 a3 ,∴ a4 ? 6 ,又∵ a2 a5 ? a3 a4 ,∴ a5 ? 分

1 2

3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2 a4 ? 9 ; · 2

?a a ? an ?1an ? 2 (2)由 ? n n ?3 ,两式相乘得 an an?1an?3an? 4 ? an?1an? 22 an?3 , a a ? a a n ? 2 n ?3 ? n ?1 n ? 4
∵ an ? 0 ,∴ an an? 4 ? an? 22 (n ? N* ) , 从而 {an } 的奇数项和偶数项均构成等比数列, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 设公比分别为 q1 , q2 ,则 a2n ? a2 q2 n?1 ? 2q2 n?1 , a2n?1 ? a1q1n?1 ? q1n?1 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 又∵

an ? 3 an ?1 a a 2q ,∴ 4 ? 2 ? 2 ? 2 ,即 q1 ? q2 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 = an ? 2 an a3 a1 q1

设 q1 ? q2 ? q ,则 a2 n ? pa2 n?1 ? q( a2n?2 ? pa2 n?3 ) ,且 a2 n ? pa2 n ?1 ? 0 恒成立, 数列 {a2 n ? pa2 n ?1} 是首项为 2 ? p ,公比为 q 的等比数列,问题得证;· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 (3)法一:在(2)中令 p ? 1 ,则数列 {a2n ? a2n?1} 是首项为 3 ,公比为 q 的等比数列,

,q ? 1 ?3k ? k ∴ S2 k ? ( a2 k ? a2 k ?1 ) ? (a2 k ? 2 ? a2 k ?3 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? ? 3(1 ? q ) , ? 1? q ,q ? 1 ?
?3k ? 2q k ?1 ,q ? 1 ? k ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 S2 k ?1 ? S 2 k ? a2 k ? ? 3(1 ? q ) k ?1 ? 1 ? q ? 2q , q ? 1 ?
且 S1 ? 1, S2 ? 3, S3 ? 3 ? q, S4 ? 3 ? 3q , ∵数列 {Sn ? t} 为等比数列,∴ ?
2 ? ? ( S2 ? t ) ? ( S1 ? t )(S3 ? t ), 2 ? ? ( S3 ? t ) ? (S2 ? t )(S4 ? t ),

?(3 ? t )2 ? (1 ? t )(3 ? q ? t ), ?2t ? 6 ? q(1 ? t ), ? 即? ,即 ? 2 ? ?t ? q ? 3, ?(3 ? q ? t ) ? (3 ? t )(3 ? 3q ? t ),
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?t ? 1 解得 ? ( t ? ? 3 舍去), · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 ?q ? 4
分 ∴ S2k ? 4k ? 1 ? 22k ? 1 , S2 k ?1 ? 22 k ?1 ? 1 , 从而对任意 n ? N* 有 Sn ? 2n ? 1 , 此时 Sn ? t ? 2n ,

Sn ? t ? 2 为常数,满足 {Sn ? t} 成等比数列, S n ?1 ? t
n ?1

当 n ≥ 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 2

? 2 n?1 ,又 a1 ? 1 ,∴ an ? 2 n?1 (n ? N* ) ,

综上,存在 t ? 1 使数列 {Sn ? t} 为等比数列,此时 an ? 2 n?1 , Sn ? 2n ? 1(n ? N* ) .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 16 分 法二:由(2)知,则 a2 n ? 2q n?1 , a2 n?1 ? q n?1 ,且 S1 ? 1, S2 ? 3, S3 ? 3 ? q, S4 ? 3 ? 3q ,
2 ? ? ( S2 ? t ) ? (S1 ? t )(S3 ? t ), ∵数列 {Sn ? t} 为等比数列,∴ ? 2 ? ? ( S3 ? t ) ? (S2 ? t )(S4 ? t ),
2 ? ?2t ? 6 ? q(1 ? t ), ?(3 ? t ) ? (1 ? t )(3 ? q ? t ), 即? ,即 ? 2 ? ?t ? q ? 3, ?(3 ? q ? t ) ? (3 ? t )(3 ? 3q ? t ),

?t ? 1 解得 ? ( t ? ? 3 舍去), · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 ?q ? 4
分 ∴ a2n ? 2qn?1 ? 22n?1 , a2n?1 ? 22n?2 ,从而对任意 n ? N* 有 an ? 2 n?1 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 ∴ S n ? 20 ? 21 ? 22 ? ? ? 2n ?1 ? 此时 Sn ? t ? 2n ,

1 ? 2n ? 2n ? 1 , 1? 2

Sn ? t ? 2 为常数,满足 {Sn ? t} 成等比数列, S n ?1 ? t

综上,存在 t ? 1 使数列 {Sn ? t} 为等比数列,此时 an ? 2 n?1 , Sn ? 2n ? 1(n ? N* ) .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 16 分 21.【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答 .若多做, ................... 则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.(几何证明选讲,本小题满分 10 分) 解: (1)证明 :连接 OC , AC ,∵ ?AEC ? 300 ,∴ ?AOC ? 2?AEC ? 600 , 又 OA ? OC ,∴ ?AOC 为等边三角形, ∵ CF ? AB ,∴ CF 为 ?AOC 中 AO 边上的中线, ∴ AF ? FO ;· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分
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C D A F O

E

B

(2)解:连接 BE, ∵ CF ? 3 , ?AOC 是等边三角形, ∴可求得 AF ? 1, AB ? 4 , ∵ AB 为圆 O 的直径,∴ ?AEB ? 90o ,∴ ?AEB ? ?AFD , 又∵ ?BAE ? ?DFA ,∴ ?AEB ∽ ?AFD ,∴

AD AF , ? AB AE

即 AD? AE ? AB ? AF ? 4?1 ? 4 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 B.(矩阵与变换,本小题满分 10 分) 解:矩阵 A 的特征多项式为 f (? ) ?

? ?1
?2

?2 ? ? 2 ? 2? ? 3 , ? ?1

令 f (? ) ? 0 ,解得矩阵 A 的特征值 ?1 ? ?1, ?2 ? 3 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分

uu r ?1? uu r ?1? 当 ?1 ? ?1 时特征向量为 ?1 ? ? ? ,当 ?2 ? 3 时特征向量为 ? 2 ? ? ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 ? ?1? ?1? u r ? 4? uu r uu r 又∵ ? ? ? ? ? ?1 ? 3? 2 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 ? 2?

u r uu r uu r ?350 ? 1? ∴ A49 ? ? ?149 ?1 ? 3?2 49 ? 2 ? ? 50 ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ?3 ? 1?
C.(极坐标与参数方程,本小题满分 10 分) 解:( 1 )直线 l 的普通方程为 x ? 2 y ? 2 ? 0 ; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3 分

a a a2 圆 C 的直角坐标方程为 ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? ; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 2 2 2
(2)∵圆 C 任意一条直径的两个端点到直线 l 的距离之和为 5 ,

a ? a ?2| 5 5 ∴圆心 C 到直线 l 的距离为 ,即 2 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 ? 2 2 5 |
解得 a ? 3 或 a ? ? 分 D.(不等式选讲,本小题满分 10 分) 证:∵ x ? 0, y ? 0, x ? y ? 0 , ∴ 2x ?

1 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 3

1 1 ? 2 y ? 2( x ? y ) ? 2 x ? 2 xy ? y ( x ? y)2
2

? ( x ? y) ? ( x ? y) ?

1 1 ≥ 3 3 ( x ? y)2 ?3, 2 ( x ? y) ( x ? y)2
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∴ 2x ?

1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ≥2y ? 3 . x ? 2 xy ? y 2
2

22.(本题满分 10 分) 解:(1)甲拿到礼物的事件为 A , 在每一轮游戏中,甲留下的概率和他摸卡片的顺序无关,

1 3 2 1 1 ? , 2 5 3 2 10 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 答:甲拿到礼物的概率为 ;· 10 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 (2)随机变量 ? 的所有可能取值是 1,2,3,4.·
则 P( A) ? ? ? ?

1 P ?? ? 1? ? , 2 1 2 1 P ?? ? 2 ? ? ? ? , 2 5 5 1 3 1 1 P ?? ? 3? ? ? ? ? , 2 5 3 10 1 3 2 1 P ?? ? 4 ? ? ? ? ? , 2 5 3 5 随机变量 ? 的概率分布列为:

?
P

1

2

3

4

1 2
1 2 1 5

1 5

1 10

1 5

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分

所以 E(? ) ? 1? ? 2 ? ? 3 ? 23.(本题满分 10 分)

1 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ? 4? ? 2 . 10 5

解:(1)原问题等价于 ln( x ? 1) ?

ax ≥ 0 对任意 x ?[0, ??) 恒成立, x ?1 x ?1? a ax 令 g ( x) ? ln( x ? 1) ? ,则 g '( x) ? , ( x ? 1) 2 x ?1
当 a ≤ 1 时, g '( x) ?

x ?1? a ≥ 0 恒成立,即 g ( x) 在 [0, ??) 上单调递增, ( x ? 1) 2

∴ g ( x) ≥ g (0) ? 0 恒成立; 当 a ? 1 时,令 g '( x) ? 0 ,则 x ? a ? 1 ? 0 , ∴ g ( x) 在 (0, a ? 1) 上单调递减,在 (a ? 1, ??) 上单调递增, ∴ g (a ? 1) ? g (0) ? 0 ,即存在 x ? 0 使得 g ( x) ? 0 ,不合题意; 综上所述,a 的取值范围是 (??,1] .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 (2)法一:在(1)中取 a ? 1 ,得 ln( x ? 1) ? 令 x ? (n ? N* ) ,上式即为 ln(

x ( x ? (0, ??)) , x ?1

1 n

n ?1 1 , )? n n ?1

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即 ln(n ? 1) ? ln n ?

1 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 n ?1

1 ? ?ln 2 ? ln1 ? 2 , ? ?ln 3 ? ln 2 ? 1 , ? ∴? 3 ?L L ? ?ln(n ? 1) ? ln n ? 1 , ? n ?1 ?

1 1 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ? ?L ? ? ln(n ? 1) (n ? N* ) . 2 3 n ?1 1 1 1 法二:注意到 ? ln 2 , ? ? ln 3 ,??, 2 2 3 1 1 1 故猜想 ? ? L ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 ? ln(n ? 1) (n ? N* ) ,· 2 3 n ?1
上述各式相加可得 下面用数学归纳法证明该猜想成立. 证明:①当 n ? 1 时, ? ln 2 ,成立;· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分

1 2

1 1 1 ? ?L ? ? ln(k ? 1) , 2 3 k ?1 x 在(1)中取 a ? 1 ,得 ln( x ? 1) ? ( x ? (0, ??)) , x ?1 1 k ?2 1 令x? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 (k ? N* ) ,有 ? ln( ) ,· k ?2 k ?1 k ?1
②假设当 n ? k 时结论成立,即 那么,当 n ? k ? 1 时,

1 1 1 1 1 k ?2 ? ?L ? ? ? ln(k ? 1) ? ? ln(k ? 1) ? ln( ) ? ln(k ? 2) ,也成立; 2 3 k ?1 k ? 2 k ?2 k ?1 1 1 1 由①②可知, ? ? L ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ? ln(n ? 1) .· 2 3 n ?1

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