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【数学】江苏省连云港市东海县石榴高级中学2013-2014学年高二第二学期期中考试(理)

东海县 2013-2014 学年度第二学期期中考试 高二数学试题 (理) 一、填空题(每小题 5 分,共 70 分) 1.命题“ ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定 ▲ . ▲ . 1+7i 2.i 是虚数单位,若 =a+bi(a,b∈R),则 ab 的值是 2-i 3.已知 A 11 ? 11?10 ? m ▲ . ? 6 ? 5 ,则 m ? 4.由下列命题构成的“ p或q ” 、 “ p且 q ” 、 “ 非p ”三种形式的命题中, 正确的命题个数有 个。 2 P:方程x2 ? x ? 2 ? 0的解是x ? ?2 ; q:方程x ? x ? 2 ? 0的解是x ? 1 5. “无理数是无限小数,而 这个推理是 1 1 (? 0.16666 ?) 是无限小数,所以 是无理数。 ” 6 6 _推理(在“归纳” 、 “类比” 、 “演绎”中选择填空) ▲ . _▲_ 6.已知复数 z ? (m2 ? 3m ? 4) ? (m2 ? 2m ? 24)i 是纯虚数, 则实数 m 的值为 7.“ a ? 1或b ? 2 ”是“ a ? b ? 3 ”成立的 ▲ _______条件. 8.将以下三段论补充完整: ▲ .(大前提) a⊥ ? , b⊥ ? . (小前提) a∥b (结 论) 9.观察图中各正方形图案,每条边上有 n(n ? 2) 个圆点,第 n 个图案中圆点的总数是 Sn , 按此规律推断出 Sn 与 n 的关系式为 _▲_ n =2 n =3 n =4 10.对于等差数列{an},有如下命题:“若{an}是等差数列,a1=0,s、t 是互不相等的正整 数,则有(s-1)at=(t-1)as”.类比此命题,给出等比数列{bn}相应的一个正确命题: 若{bn}是等比数列,b1=1,s,t 是互不相等的正整数,则有 ▲ 11..已知 n 为正偶数,用数学归纳法证明 1? 数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证 n ? _______▲______时等式成立. 12.设复数 z 满足 z ? i ? z ? i ? 4 ,则 z ? i 取值范围为 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? 2( ? ? ? ? ) 时,若已假设 n ? k (k ? 2 为偶 2 3 4 n ?1 n?2 n?4 2n ▲ . 13.有下列四个命题:①“若实数 x,y 满足 x +y ≠0,则实数 x,y 不全为零”的否命题, 1 ②“若 a ? b ,则 a ? b ”的否定;③“若 m>0,则 x +x-m=0 有实根”的逆否命题, 2 2 2 ④“对顶角相等”的逆命题;其中真命题的个数为 ▲ . 14.已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长是 1 ,则直线 DA1 与 AC 间的距离为 ▲ 二、解答题:请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 已知 p:?x?? ? ? ?? ?x+2≥0, ?x-10≤0 ? ?? ? ? ? ?,q:{x|1-m≤x≤1+m,m>0}. ? ? (1)若 m=1,则 p 是 q 的什么条件? (2)若 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 m 的取值范围. 16. (本小题满分 14 分) 已知 z 为复数,z+2 i 和 (Ⅰ)求复数 z; (Ⅱ)若复数 ( z ? ai)2 在复平面上对应的点在第一象限,求实数 a 的取值范围. z 均为实数,其中 i 是虚数单位. 2?i 3 2 2 2 2 2 17 . (本小题满分 14 分)已知 sin 30°+ sin 90°+sin 150°= ,sin 5°+ sin 65°+ 2 3 2 sin 125°= . 通过观察上述两个不等式的规律 , 请写出一个一般性的命题 ,并给出证 2 明. 18. (本小题满分 16 分)用数学归纳法证明: 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? n(n ? 1)( n ? 2)( n ? 3) (n ? N * ) . 4 19. (本小题满分 16 分)设 p :关于 x 的不等式 loga x ? 0 的解集是 x 0 ? x ? 1 , q :关 于 x 的不等式 x ? x ? a ? 0 的解集是空集,若 p 或 q 为真命题, p 且 q 为假命题,求 a 2 2 ? ? 的取值范围. 2 20. (本小题满分 16 分)已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为直角梯形, AB // DC , 1 ?DAB ? 90? , PA ? 底面 ABCD ,且 PA ? AD ? DC ? , AB ? 1 , M 是 PB 的中点。 2 (1)证明:面 PAD ? 面 PCD ; (2)求 AC 与 PB 所成的角; (3)求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的余弦值. 3 参考答案 1、 ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 7、必要不充分; 2、-3; 3、7; 4、1; 5、演绎; 6、1 8、垂直于同一平面的两直线平行; 9、 sn ? 4n ? 4 (n ? N ? , n ? 2) ; 11、k+2 12、 ?1,3? ; 13.3 14. 10、 bts ?1 ? 1; bst ?1 3 3 15.解 (1)因为 p:?x?? ? ?? ? ?x+2≥0, ?x-10≤0 ? ? ?? ? ? ?={x|-2≤x≤10}, ? ? q:{x|1-m≤x≤1+m,m>0}={x|0≤x≤2}, 显然{x|0≤x x|-2≤x≤10}, 所以 p 是 q 的必要不充分条件. (2)由(1),知 p:{x|-2≤x≤10},因为 p 是 q 的充分不必要条件, m>0, ? ?1-m≤-

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