3986.net
小网站 大容量 大智慧
赞助商链接
当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学:求函数值域的方法十三种


高中数学:求函数值域的十三种方法 一、观察法(☆ ) 二、配方法(☆) 三、分离常数法(☆) 四、反函数法(☆) 五、判别式法(☆) 六、换元法(☆☆☆) 七、函数有界性
一、观察法:从自变量 x 的范围出发,推出 y ? f ( x) 的取值范围。
【例 1】求函数 y ?

八、函数单调性法(☆) 九、图像法(数型结合法)(☆) 十、基本不等式法 十一、利用向量不等式 十二、一一映射法 十三、 多种方法综合运用

x ? 1的值域。
∴函数 y ? x ? 1的值域为 [1, ??) 。

【解析】∵ x ? 0 ,∴ x ? 1 ? 1 ,
y? 1 x 的值域。

【例 2】求函数

【解析】∵ x ? 0

1 ?0 ∴x 显然函数的值域是: (??,0) ? (0,??)
2

【例 3】已知函数 y ? ?x ? 1? ? 1 , x ? ?? 1,0,1,2? ,求函数的值域。 【解析】因为 x ? ?? 1,0,1,2? ,而 f ?? 1? ? f ?3? ? 3 , f ?0? ? f ?2? ? 0 , f ?1? ? ?1 所以: y ? ?? 1,0,3? 注意:求函数的值域时,不能忽视定义域,如果该题的定义域为 x ? R ,则函数的值域为 ?y | y ? ?1?。

二. 配方法:配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如 F ( x) ? af 2 ( x) ? bf ( x) ? c 的函数的 值域问题,均可使用配方法。
【例 1】 求函数 y ? x ? 2x ? 5, x ?[?1, 2] 的值域。
2

【解析】将函数配方得: 时, 【变式】已知



由二次函数的性质可知:当 x=1 ∈[-1,2]时,

,当

故函数的值域是:[4,8] ,求函数 的最值。
第 1 页 共 23 页

【解析】由已知

,可得

,即函数

是定义在区间

上的二次函数。将二次函数配

方得

,其对称轴方程

,顶点坐标

,且图象开口向上。显然其顶点横坐

标不在区间

内,如图 2 所示。函数

的最小值为

,最大值为



图2 【例 2】 若函数 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 2,当x ?[t , t ? 1] 时的最小值为 g (t ) ,(1)求函数 g (t )

(2)当 t ?[-3,-2]时,求 g(t)的最值。(说明:二次函数在闭区间上的值域二点二分法,三点三分法) 【解析】(1)函数 ,其对称轴方程为 ,顶点坐标为(1,1),图象开口向上。

图1 ①如图 1 所示,若顶点横坐标在区间 。 ②如图 2 所示,若顶点横坐标在区间 值 。

图2

图3

左侧时,有

,此时,当

时,函数取得最小值

上时,有

,即

。当

时,函数取得最小

③如图 3 所示,若顶点横坐标在区间

右侧时,有

,即

。当

时,函数取得最小值

综上讨论,g(t)= f ( x) min

?(t ? 1) 2 ? 1, t ? 1 ? ? ?1, 0 ? t ? 1 ?t 2 ? 1 t ? 0 ?

?t 2 ? 1(t ? 0) ? (2) g (t ) ? ?1(0 ? t ? 1) ?t 2 ? 2t ? 2(t ? 1) ?

?

t ? (??, 0] 时, g (t ) ? t 2 ? 1 为减函数

?

在 [?3, ?2] 上, g (t ) ? t ? 1 也为减函数
2

第 2 页 共 23 页

?
【例 3】

g (t )min ? g (?2) ? 5 , g (t )max ? g (?3) ? 10

已知 f ( x) ? x 2 ? 2x ? 2 ,当 x ?[t,t ? 1](t ? R) 时,求 f ( x) 的最大值.

【解析】由已知可求对称轴为 x ? 1 .

? f ( x)min ? f( (t1 ))当 ? t2 t ?? 21 t? 3 ,f ( x)max ? f (t ?1) ? t 2 ? 2 . 时,
(2)当 t ≤ 1 ≤ t ? 1 ,即 0 ≤ t ≤ 1 时,.

1 0≤t ≤ 2 t ? t ? 1 1 2 时, f ( x)max ? f (t ) ? t ? 2t ? 3. ? 即 根据对称性, 若 2 2 t ? t ?1 1 1 ? ? t ≤1 f ( x)max ? f (t ?1) ? t 2 ? 2 . 2 2即2 若 时,

f ( x)max ? f (t ) ? t ? 2t ? 3 . (3)当 t ? 1 ? 1即 t ? 0 时,
2

综上, f ( x) max

1 ?2 t ? 2, t ? ? ? 2 ?? ? t 2 ? 2t ? 3,t ? 1 ? 2 ?

观察前两题的解法,为什么最值有时候分两种情况讨论,而有时候又分三种情况讨论呢?这些 问题其实仔细思考就很容易解决。不难观察:二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或 二次函数的顶点取到。第一个例题中,这个二次函数是开口向上的,在闭区间上,它的最小值在区 间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到,有三种可能,所以分三种情况讨论;而它的最大值 不可能是二次函数的顶点, 只可能是闭区间的两个端点, 哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到, 当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。根据这个理解,不难解释第二个例题为 什么这样讨论。 对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下:
b 1 ? f (m), ? ? (m ? n)(如图1) ? ? 2a 2 ?? f ( x) min b 1 ? f (n), ? ? (m ? n)(如图2) ? 2a 2 ?
b ? ? ? n(如图3) ? f (n), 2a ? b b ? ? ? f (? ),m ? ? ? n(如图4) 2a 2a ? b ? ? ? m(如图5) ? f (m), 2a ?



时 f ( x) max

第 3 页 共 23 页



时 f ( x) max

b ? ? ? n(如图6) ? f (n), b 1 ? 2a f ( m ) , ? ? (m ? n)( 如图 9) ? ? ? 2a 2 b b ? ? ? f (? ),m ? ? ? n(如图7) f ( x ) min ? ? 2a 2a ? f (n) , ? b ? 1 (m ? n)( 如图10) ? ? b ? 2a 2 ? ? ? m(如图8) ? f (m), 2a ?

【例 4】 (1) 求 f ( x ) ? x2 ? 2ax ? 1 在区间[-1,2]上的最大值。 (2) 求函数 y ? ? x( x ? a) 在 x ? [?1 , 1] 上的最大值。 【解析】(1)二次函数的对称轴方程为 x ? ?a , 当 ?a ?

1 1 即 a ? ? 时, f ( x )max ? f ( 2 ) ? 4a ? 5 ; 2 2 1 1 即 a ? ? 时, f ( x )max ? f ( ?1) ? 2a ? 2 。 2 2

当 ?a ?

综上所述: f ( x )max

1 ? ?2a ? 2,a ? ? ? ? 2 ?? 。 ? 4a ? 5,a ? ? 1 ? ? 2

(2)函数 y ? ?( x ?

a a a a a 2 a2 a ? ?2 ) ? 图象的对称轴方程为 x ? , 应分 ? 1 ? ? 1 , ? ?1 , ? 1 即 ? 2 ? a ? 2 , 2 2 2 2 2 4

和 a ? 2 这三种情形讨论,下列三图分别为 (1) a ? ?2 ;由图可知 f ( x)max ? f (?1) (2) ? 2 ? a ? 2 ;由图可知 f ( x ) max ? f ( ) (3) a ? 2 时;由图可知 f ( x)max ? f (1)

a 2

第 4 页 共 23 页

? y 最大

?? (a ? 1) , a ? ?2 ? f (?1) , a ? ?2 ? 2 ? a ?a ? ? ? f ( ) , ? 2 ? a ? 2 ;即 y 最大 ? ? , ? 2 ? a ? 2 ?4 ? 2 ? ? ? f (1) , a ? 2 ?a ? 1 , a ? 2

【例 5】 已知二次函数 f ( x ) ? ax2 ? ( 2a ? 1)x ? 1 在区间 ? ?

? 3 ? ,2 上的最大值为 3,求实数 a 的值。 ? 2 ? ?

【分析】这是一个逆向最值问题,若从求最值入手,需分 a ? 0 与 a ? 0 两大类五种情形讨论,过程繁琐不堪。若 注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到,因此先计算这些点的函数值,再检验其真假,过程 就简明多了。具体解法为: (1)令 f ( ?

2a ? 1 1 ) ? 3 ,得 a ? ? 2a 2
1 ? 3 ? ,2 ? ,故 ? 不合题意; 2 ? 2 ?

此时抛物线开口向下,对称轴方程为 x ? ?2 ,且 ?2 ? ? ? (2)令 f ( 2 ) ? 3 ,得 a ?

1 2

此时抛物线开口向上,闭区间的右端点距离对称轴较远,故 a ? (3)若 f ( ?

1 符合题意; 2

3 2 ) ? 3 ,得 a ? ? 2 3 2 符合题意。 3

此时抛物线开口向下,闭区间的右端点距离对称轴较远,故 a ? ? 综上, a ?

1 2 或a ? ? 2 3

解后反思:若函数图象的开口方向、对称轴均不确定,且动区间所含参数与确定函数的参数一致,可采用先 斩后奏的方法,利用二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得,不妨令之为最值,验证参数的 资格,进行取舍,从而避开繁难的分类讨论,使解题过程简洁、明了。 【变式】 已知函数 f ( x) ? ax ? 2ax ? 1 在区间 [?3, 2] 上的最大值为 4,求实数 a 的值。
2

【解析】 f ( x) ? a( x ? 1)2 ? 1 ? a, x ?[?3, 2] (1)若 a ? 0, f ( x) ? 1, ,不符合题意。 (2)若 a ? 0, 则 f ( x)max ? f (2) ? 8a ? 1

3 8 (3)若 a ? 0 时,则 f ( x)max ? f (?1) ? 1 ? a 由 1 ? a ? 4 ,得 a ? ?3 3 综上知 a ? 或 a ? ?3 8 x2 ? x 在区间 [m, n] 上的最小值是 3 m 最大值是 3 n ,求 m , n 的值。 【例 6】 已知函数 f ( x) ? ? 2 m?n , n 的位置关系。 【解法 1】讨论对称轴 中 1 与 m, 2
由 8a ? 1 ? 4 ,得 a ?
第 5 页 共 23 页

①若 解得 ②若

,则 ?

? f ( x ) max ? f (n) ? 3n ? f ( x ) min ? f (m) ? 3m

? f ( x ) max ? f (1) ? 3n m?n ? 1 ? n ,则 ? ,无解 2 ? f ( x ) min ? f (m) ? 3m ? f ( x) max ? f (1) ? 3n m?n ,则 ? ,无解 2 ? f ( x) min ? f (n) ? 3m
,则 ?

③若 m ? 1 ?

④若

? f ( x) max ? f (m) ? 3n ,无解 ? f ( x) min ? f (n) ? 3m

综上, m ? ?4, n ? 0

1 1 1 1 ( x ? 1) 2 ? ,知 3n ? , n ? , ,则 [m, n] ? (??,1] , 2 2 2 6 ? f ( x ) max ? f (n) ? 3n 又∵在 [m, n] 上当 x 增大时 f ( x) 也增大所以 ? 解得 m ? ?4, n ? 0 ? f ( x ) min ? f (m) ? 3m
【解法 2】由 f ( x) ? ? 评注:解法 2 利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值,缩小了 m , n 的取值范围,避开了繁难的分类 讨论,解题过程简洁、明了。 【例 7】 求函数 y ?

x ? 3 ? 5 ? x 的值域.

【解法 1】

y 2 ? x ? 3 ? 5 ? x ? 2 ( x ? 3)( 5 ? x) ? 2 ? 2 1 ? ( x ? 4) 2

显然

y 2 ? 2 ? 2 1 ? ( x ? 4) 2 ? [2,4]

故函数的值域是: 【 解 法 2

y ? [ 2, 2]
】 显 然 3 ≤ x ≤ 5,

y ? x ? 3 ? 5 ? x ? 2(sin ? ? cos ? ) ? 2sin(? ? ) ? [ 2, 2] 4

?

x ? 3 ? 2sin 2 ? (? ? [0, ]) ? 5 ? x ? 2 cos 2 ? 2

?

,

三、分离常数法:分子、分母是一次函数得有理函数,可用分离常数法(分母少,分子多),通过 该方法可将原函数转化为为 y ? k ? f ( x) ( k为 常数)的形式此类问题一般也可以利用反函数法。
【例 1】 求函数 y ?

x?2 的值域 x ?1 1 ,容易观察知 x≠-1,y≠1,得函数的值域为 y ∈(-∞,1)∪(1, + x ?1

【解析】利用恒等变形,得到: y ? 1 ?

∞)。注意到分数的分子、分母的结构特点,分离出一个常数后,再通过观察或配方等其他方法易得函数值域。
【例 2】 求函数 y ?

x2 ? x 的值域。 x2 ? x ? 1

第 6 页 共 23 页

【解析】观察分子、分母中均含有 x 2 ? x 项,可利用部分分式法;则有

y?

x2 ? x x2 ? x ? 1 ? 1 1 1 2 3 1 ? ? 1? ( f ( x ) ? 0) 从而 不妨令:f ( x ) ? ( x ? ) ? , g ( x ) ? 2 2 1 2 3 x ? x ?1 x ? x ?1 2 4 f ( x ) (x ? ) ? 2 4

? 3? ?3 ? 1 f ( x ) ? ? ,?? ? 注意:在本题中应排除 f ( x) ? 0 ,因为 f ( x) 作为分母。所以 g ( x ) ? ? 0, ? 故 y ? ?? , 1? ?4 ? 3 ? 4?
【变式】求下列函数的值域:

(1) y ?

x ?1 3 x ?2

(2) y ?

x2 ? 1 . x2 ? 1
(2)值域 y ∈[-1,1]

1 答案:(1)值域 y ? (??, 1 3 ) ? ( 3 ,??)

四、反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系,通过求反函数的定义域,得到 原函数的值域。
1 ? 2x 【例 1】求函数 y ? 的值域。 1 ? 2x

【解析】由 y ?

1? y 1 ? 2x 解得 2 x ? , x 1? y 1? 2
∴函数 y ?

∵ 2 x ? 0 ,∴

1? y ? 0, 1? y

∴ ?1 ? y ? 1

1 ? 2x 的值域为 y ? (?1,1) 。 1 ? 2x

【例 2】求函数 y ?

3x ? 4 值域。 5x ? 6

【解析】由原函数式可得:

则其反函数为:

,其定义域为:

故所求函数的值域为: (??, ) ? ( , ?)

3 5

3 5

【例 3】 求函数 y ?

ex ?1 的值域。 ex ? 1

解答:先证明 y ?

ex ?1 有反函数,为此,设 x1 ? x2 且 x1 , x2 ? R , ex ? 1

第 7 页 共 23 页

y1 ? y2 ?

e x1 ? 1 e x2 ? 1 e x1 ? e x2 ? ? 2 ? 0。 e x1 ? 1 e x2 ? 1 (e x1 ? 1)(e x2 ? 1)

?x 所以 y 为减函数,存在反函数。可以求得其反函数为: y ?1 ? ln 1 。此函数的定义域为 x ? ( ?1, 1) ,故原函数的 1? x

值域为 y ? ( ?1, 1) 。

【例 4】 求函数 y ?

a ? bx (a ? 0, b ? 0, a ? b, x ? [?1,1]) 的值域。 a ? bx 2a 2a 2a ? ? a ? b a ? bx a ? b

【解法 1】-1≤x≤1

a-b≤a-bx≤a+b

2a 2a 2a a?b a?b ? 1 ? y ? ?1 ? ? ?1 ? ?y? , a?b a ? bx a?b a?b a?b

【解法 2】(反函数法): x

?

a?b a?b a 2a a 2a ?y? ? ? ?1, ,由-1≤x≤1 得: ? 1 ? x ? a?b a?b b b( y ? 1) b b( y ? 1)

五、判别式法:把函数转化成关于 x 的二次方程 F ( x, y) ? 0 ;通过方程有实数根,判别式 ? ? 0 ,从

而求得原函数的值域,形如 y ?

a1 x 2 ? b1 x ? c1 ( a1 、 a2 不同时为零)的函数的值域,常用此方法求 a2 x 2 ? b2 x ? c2

解。(解析式中含有分式和根式。)
【例 1】求函数 y ?

1 ? x ? x2 的值域。 1 ? x2
,由于 x 取一切实数,故有

【解析】原函数化为关于 x 的一元二次方程

(1)当

时,

解得:

(2)当 y=1 时,

,而

故函数的值域为 【例 2】求函数 y ? x ? x(2 ? x) 的值域。 【解析】两边平方整理得: ∵ ∴ 解得: (1)

第 8 页 共 23 页

但此时的函数的定义域由

,得 在实数集 R 有实根,而不能确保其实根在区间[0,2] 求出的范围可能比 y 的实际范围大,故不能确定此函数的值域为

由 ,仅保证关于 x 的方程: 上,即不能确保方程(1)有实根,由 。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵

代入方程(1) 解得:

即当

时,

原函数的值域为:

注:由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔 除。 解法二: y ? x ?

x(2 ? x) ? x ? 1 ? (x ? 1) 2 ,令 x ? 1 ? sin ?

? ? [?

? ?

, ] 2 2

y ? 1 ? sin ? ? cos ? ? 1 ? 2 sin(? ?

?
4

)

?

?
4

?? ?

?
4

?

3? 4

?

2 ? ? sin(? ? ) ? 1 2 4

原函数的值域为:

【例 3】 已知函数 f ( x) ?

2 x 2 ? ax ? b 的值域为[1,3],求 a , b 的值。 x2 ? 1

【解析】 y ?

2 x 2 ? ax ? b ? ( y ? 2) x2 ? ax ? y ? b ? 0 ? ? ? a2 ? 4(y? 2)(y? b) ? 0 2 x ?1

4 y 2 ? 4(2 ? b) y? 8b? a 2 ? 0 。
由于 f ( x) ?

2 x 2 ? ax ? b 的值域为[1,3],故上式不等式的解集为{y|1≤y≤3} x2 ? 1

第 9 页 共 23 页

? y1 ? y2 ? 2 ? b ? 1 ? 3 ?a ? ?2 ? ?? ?? 8b ? a 2 ?3 ?b ? 2 ? y1 y2 ? ? 4
【例 4】求函数 y ?
x ?1 x 2 ?2 x ?2

的值域。

【解法 1】先将此函数化成隐函数的形式得: yx 2 ? (2 y ? 1) x ? 2 y ? 1 ? 0 ,(1) 这是一个关于 x 的一元二次方程,原函数有定义,等价于此方程有解,即方程(1)的判别式
1 ? ? (2 y ? 1) 2 ? 4 y(2 y ? 1) ? 0 ,解得: ? 1 2 ? y ? 2 。 1 故原函数的值域为: y ? [? 1 2 , 2] 。

【解法 2】当 x≠-1 时

y?

x ?1 x 2 ?2 x ?2

?

1 ( x ? 1) ? 1 x ?1
,即 y ? [? 1 2 ,0)

由于

当 x+1< 0 时, ( x ? 1) ?

1 ? ?2 x ?1

当 x+1> 0 时, ( x ? 1) ?

1 ? 2 ,即 y ? (0, 1 2] x ?1

考虑到 x=-1 时 y=0 【例 5】已知函数 y ?

1 故原函数的值域为: y ? [? 1 2 , 2]

mx ? n 的最大值为 4,最小值为 —1 ,则 m = x2 ? 1

,n=

【解析】 y ?

mx ? n ? y ? x2 ? mx ? n ? y ? 0 ? ? ? m2 ? 4 y(y? n) ? 0 2 x ?1

1 。 4 y 2 ? 4n y? m2 ? 0 ??????○ 由于 f ( x) ?

2 x 2 ? ax ? b 的值域为[-1,4],故不等式○ 1 的解集为{y|-1≤y≤4} x2 ? 1

? y1 ? y2 ? n ? 3 ?m ? ?4 ? ?? ?? ?m2 ? ?4 ?m ? 3 ? y1 y2 ? ? 4
m ? ?4 n?3

【例 6】求函数 y ?
2

x?2 的值域。 x ? 2x ? 3
2

【解析】 y ? x ? (y? 1) x ? 3 y ? 2 ? 0
第 10 页 共 23 页

○ 1 y=0 得 x=-2,从而 y=0 是值域中的一个点; ○ 2 y ? 0 ? ? ? (y?1)2 ? 4 y(3y? 2) ? 0
? 16 y 2 ? 4 y ? 1) ? 0 ? 1 ○ 2 得函数的值域为 R. ? ? y ? R , 由○ ? y ? ?48 ? 0 ? ?

六、换元法:运用代数代换,奖所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域, 形如 y ? ax ? b ? cx ? d ( a 、 b 、 c 、 d 均为常数,且 a ? 0 )的函数常用此法求解。
对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数, 可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的 熟悉的基本函数。当根式里是一次式时,用代数换元;当根式里是二次式时,用三角换元。

【例 1】求函数 y ? 2x ? 1 ? 2x 的值域。 【解析】令 t ? 1 ? 2 x ( t ? 0 ),则 x ?
1? t2 , 2

1 5 1 3 5 ∴ y ? ?t 2 ? t ? 1 ? ?(t ? ) 2 ? ∵当 t ? ,即 x ? 时, ymax ? ,无最小值。 2 4 2 8 4 5 ∴函数 y ? 2x ? 1 ? 2x 的值域为 (??, ] 。 4

【例 2】求函数 y ? 2

x ?5

? log3 x ? 1(2 ? x ? 10) 的值域。 , y 2 ? log3 x ? 1 则 y 1 , y 2 在[2,10]上都是增函数

【解析】令 y1 ? 2

x ?5

所以 y ? y1 ? y 2 在[2,10]上是增函数

当 x=2 时,

y min ? 2 ?3 ? log3 2 ? 1 ?

1 8

5 当 x=10 时, y max ? 2 ? log3 9 ? 33

?1 ? ? ,33? 故所求函数的值域为: ? 8 ?

【例 3】求函数 y ? x ? 1 ? x ? 1 的值域。
y? 2 x ?1 ? x ?1

【解析】原函数可化为:

令 y1 ? x ? 1, y 2 ? x ? 1 ,显然 y 1 , y 2 在 [1,??] 上为无上界的增函数 所以 y ? y1 , y 2 在 [1,??] 上也为无上界的增函数

第 11 页 共 23 页

2
所以当 x=1 时, y ? y1 ? y 2 有最小值 2 ,原函数有最大值 2 显然 y ? 0 ,故原函数的值域为 (0, 2 ]
2 【例 4】求函数 y ? x ? 2 ? 1 ? (x ? 1) 的值域。

? 2

2 2 【解析】因 1 ? (x ? 1) ? 0 即 (x ? 1) ? 1 故可令 x ? 1 ? cos ?, ? ?[0, ?]

2 ∴ y ? cos ? ? 1 ? 1 ? cos ? ? sin ? ? cos ? ? 1

? ? 2 sin(? ? ) ? 1 4


0 ? ? ? ?,0 ? ? ?

? 5 ? ? 4 4

2 ? ? sin(? ? ) ? 1 2 4 ? ? 0 ? 2 sin(? ? ) ? 1 ? 1 ? 2 4 ??
故所求函数的值域为 [0,1 ? 2 ]

【例 5】求函数

y?

x3 ? x x 4 ? 2 x 2 ? 1 的值域。 y? 1 2x 1 ? x2 ? ? 2 1? x2 1 ? x2

【解析】原函数可变形为:

2x 1? x2 ? sin 2 ? , ? cos 2 ? 2 2 x ? tg ? 1? x 可令 ,则有 1 ? x

1 1 ? y ? ? sin 2? ? cos 2? ? ? sin 4? 2 4


??

k? ? 1 ? y max ? 4 2 8 时, k? ? 1 ? y min ? ? 2 8 时, 4



??

而此时 tan ? 有意义。

? 1 1? ?? , ? 故所求函数的值域为 ? 4 4 ?

第 12 页 共 23 页

? ? ?? x ? ?? , ? ? 12 2 ? 的值域。 【例 6】求函数 y ? (sin x ? 1)(cos x ? 1) ,

【解析】 y ? (sin x ? 1)(cos x ? 1)
? sin x cos x ? sin x ? cos x ? 1

令 sin x ? cos x ? t ,则

1 sin x cos x ? (t 2 ? 1) 2

1 1 y ? (t 2 ? 1) ? t ? 1 ? (t ? 1) 2 2 2
由 t ? sin x ? cos x ? 2 sin(x ? ? / 4)

? ? ?? x ? ?? , ? ? 12 2 ? 且

2 ?t? 2 可得: 2

∴当 t ? 2 时,

y max ?

2 3 2 3 t? y? ? ? 2 2 时, 4 2 2 ,当

?3 ? 2 3 , ? 2? ? ? 2 2 ?4 ? ?。 故所求函数的值域为 ?
2 【例 7】 求函数 y ? x ? 4 ? 5 ? x 的值域。
2 【解析】由 5 ? x ? 0 ,可得 | x |? 5

故可令 x ? 5 cos ?, ? ?[0, ?]

? y ? 5 cos ? ? 4 ? 5 sin ? ? 10 sin(? ? ) ? 4 4
∵0??? ?

? ? 5? ? ??? ? 4 4 4

当 ? ? ? / 4 时, y max ? 4 ? 10 当 ? ? ? 时, y min ? 4 ? 5 故所求函数的值域为: [4 ? 5 ,4 ? 10 ]

【例 8】求函数 y ? ( x 2 ? 5x ? 12)(x 2 ? 5x ? 4) ? 21的值域。
9 5? 9 ? 【解析】令 t ? x 2 ? 5x ? 4 ? ? x ? ? ? ,则 t ? ? 。 4 2? 4 ?
2

y ? t ?t ? 8? ? 21 ? t 2 ? 8t ? 21 ? ?t ? 4? ? 5 ,
2

第 13 页 共 23 页

9 1? 1 ? ? 9 ? 当 t ? ? 时, y min ? ? ? ? 4 ? ? 5 ? 8 ,值域为 ? y | y ? 8 ? 4 16? 16 ? ? 4 ?

2

【例 9】求函数 y ? x ? 2 1 ? x 的值域。
2 【解析】令 t ? 1 ? x ,则 x ? 1 ? t 2 , t ? 0 , y ? 1 ? t 2 ? 2t ? ??t ? 1? ? 2

当 t ? 0 时, t max ? 1 ? 0 2 ? 2 ? 0 ? 1 所以值域为 (??,1] 。

【例 10】.求函数 y ? x ? 10x ? x 2 ? 23 的值域。 【解析】由 y ? x ? 10x ? x 2 ? 23 = x ? 2 ? ?x ? 5? ,
2

令 x ?5 ?

2 cos? ,
2

因为 2 ? ?x ? 5? ? 0 ? 2 ? 2 cos2 ? ? 0 ? ?1 ? cos? ? 1, ? ? [0, ? ] , 则 2 ? ?x ? 5? = 2 sin ? ,
2

于是: y ?

? ? 5? ?? ? 2 sin ? ? 2 cos? ? 5 ? 2 sin?? ? ? ? 5 , ? ? ? [ , ] , 4 4 4 4? ?

?

2 ?? ? ? sin?? ? ? ? 1,所以: 5 ? 2 ? y ? 7 。 2 4? ?

七、函数有界性法:直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客 为主来确定函数的值域。
【例 1】 求函数 y ?

x2 ?1 的值域。 x2 ? 1

【解析】由函数的解析式可以知道,函数的定义域为 R ,对函数进行变形可得

( y ?1) x2 ? ?( y ? 1) , ∵ y ? 1 ,∴ x 2 ? ?
y ?1 ? 0 ,∴ ?1 ? y ? 1 , y ?1
y? ex ?1 e x ? 1 的值域。

y ?1 ( x ? R , y ? 1 ), y ?1

∴?

x2 ?1 ∴函数 y ? 2 的值域为 { y | ?1 ? y ? 1} x ?1

【例 2】求函数

第 14 页 共 23 页

【解析】由原函数式可得:

ex ?

y ?1 y ?1

x ∵e ?0

y ?1 ?0 ∴ y ?1 解得: ? 1 ? y ? 1 故所求函数的值域为 ( ?1,1)

【例 3】求函数

y?

cos x sin x ? 3 的值域。

2 【解析】由原函数式可得: y sin x ? cos x ? 3y ,可化为: y ? 1 sin x(x ? ?) ? 3y

sin x (x ? ?) ?


3y y2 ? 1 ?1?


3y y2 ? 1

∵ x ?R

∴ sin x(x ? ?) ?[?1,1]

?1
解得:

?

2 2 ?y? 4 4

? 2 2? , ?? ? ? 4 4 ? ? 故函数的值域为 ?

【例 4】

y?

3 ? sin x 4 ? 2 cos x

【解法 1】 sin(x ? ? ) ?

3 ? 4y 1? 4y
2

, sin(x ? ? ) ?

3? 4y 1 ? 4 y2

? 1,

解得 1 ?

3 3 ? y ? 1? 3 3

即函数值域为: y ? [1 ?

3 3 ,1 ? ] 3 3

【解法 2】y 看作是两点(4,3)和(2cos x,sin x)连线的斜率.即过点(4,3)且与椭圆有交点的直线,其斜率取值

y?
范围就是
2

3 ? sin x x2 ? y2 ? 1 4 ? 2 cos x 聚会取值范围.设 y=k(x-4)+3 代入椭圆方程 4
2 2

得 (4k ? 1) x ? 8(3 ? 4k )kx ? 4(16k ? 24k ? 8) ? 0 ,由Δ =0 得答案. 【例 5】 已知 a>0,x1,x2 是方程 ax +bx-a =0 的二个实根,并且|x1|+|x2|=2,求 a 的取值范围以及 b 的最大值 。
2 2

【解析】由韦达定理知:x x =-a<0,故两根必一正一负, |x |+|x |=2
1 2 1 2

从而|x1-x2|=2

由韦达定理知:4=|x1-x2|2=(b2+4a3)/a2
第 15 页 共 23 页

从而 4a2-4a3=b2≥0 即 4a2(1-a) ≥ 0 即 a≤1,注意到 a>0,从而 a 的取值范围是 0< a≤1 从而
b 2 ? 4a 2 (1 ? a) ? 2 ? a ? a ? (2 ? 2a ) ? 2 ? ( a ? a ? 2 ? 2a 3 16 ) ? 3 27

即 b 的最大值为

4 3 ,当且仅当 a=2/3 时“=”成立。 9

八、函数的单调性法:确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,求出函数的值域。 【例 1】求函数 y ? x ? 1 ? 2x 的值域。 【解析】∵当 x 增大时, 1 ? 2 x 随 x 的增大而减少, ? 1 ? 2 x 随 x 的增大而增大,
1 ∴函数 y ? x ? 1 ? 2x 在定义域 (??, ] 上是增函数。 2

∴y?

1 1 1 1 ? 1 ? 2 ? ? ,∴函数 y ? x ? 1 ? 2x 的值域为 (??, ] 。 2 2 2 2 1 在区间 x ? ?0,???上的值域。 x

【例 2】求函数 y ? x ?

【解析】任取 x1 , x2 ? ?0,??? ,且 x1 ? x 2 ,则

f ?x1 ? ? f ?x2 ? ?

?x1 ? x2 ??x1 x2 ? 1? ,因为 0 ? x
x1 x2

1

? x2 ,所以: x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 0 ,

当 1 ? x1 ? x2 时, x1 x2 ? 1 ? 0 ,则 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ; 当 0 ? x1 ? x2 ? 1 时, x1 x2 ? 1 ? 0 ,则 f ?x1 ? ? f ?x2 ?;而当 x ? 1 时, y min ? 2 于是:函数 y ? x ?

1 在区间 x ? ?0,???上的值域为 [2,??) 。 x

构造相关函数,利用函数的单调性求值域。

【例 4】求函数 f ?x? ? 1 ? x ? 1 ? x 的值域。
【解析】因为 ?

?1 ? x ? 0 ? ?1 ? x ? 1 ,而 1 ? x 与 1 ? x 在定义域内的单调性不一致。现构造相关函数 ?1 ? x ? 0

g ?x? ? 1 ? x ? 1 ? x , 易 知 g ( x) 在 定 义 域 内 单 调 增 。 g max ? g ?1? ? 2 , g min ? g ?? 1? ? ? 2 ,

? g ? x ? ? 2 , 0 ? g 2 ?x ? ? 2 ,
又f
2

?x? ? g 2 ?x? ? 4 ,所以: 2 ?

f 2 ? x ? ? 4 , 2 ? f ?x ? ? 2 。

第 16 页 共 23 页

【例 5】求函数 y ? 3x ? 6 ? 8 ? x 的值域。
【解析】此题可以看作 y ? u ? v 和 u ? 3x ? 6 , v ? ? 8 ? x 的复合函数,显然函数 u ? 3x ? 6 为单调递增 函数,易验证 v ? ? 8 ? x 亦是单调递增函数,故函数 y ? 3x ? 6 ? 8 ? x 也是单调递增函数。而此函数的定 义域为 [?2, 8] 。 当 x ? ?2 时, y 取得最小值 ? 10 。当 x ? 8 时, y 取得最大值 30 。 故而原函数的值域为 [? 10, 30] 。 九. 图像法(数型结合法):函数图像是掌握函数的重要手段,利用数形结合的方法,根据函数图 像求得函数值域,是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义(如两点间距离,直 线的斜率、截距等)或当一个函数的图象易于作出时,借助几 求出其值域。
y

何图形的直观性可

【例 1】求函数 y ?| x ? 3 | ? | x ? 5 | 的值域。
??2 x ? 2 ( x ? ?3) ? 【解析】∵ y ?| x ? 3 | ? | x ? 5 |? ?8 (?3 ? x ? 5) , ?2 x ? 2 ( x ? 5) ?
8 o

-3

5

x

∴ y ?| x ? 3 | ? | x ? 5 | 的图像如图所示, 由图像知:函数 y ?| x ? 3 | ? | x ? 5 | 的值域为 [8, ??)
2 2 【例 2】求函数 y ? (x ? 2) ? (x ? 8) 的值域。

【解析】原函数可化简得: y ?| x ? 2 | ? | x ? 8 | 上式可以看成数轴上点 P(x)到定点 A(2), B(?8) 间的距离之和。 由上图可知,当点 P 在线段 AB 上时, y ?| x ? 2 | ? | x ? 8 |?| AB |? 10 当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时, y ?| x ? 2 | ? | x ? 8 |?| AB |? 10 故所求函数的值域为: [10,?? ]
2 2 【例 3】求函数 y ? x ? 6x ? 13 ? x ? 4x ? 5 的值域。

【解析】原函数可变形为:
第 17 页 共 23 页

y ? (x ? 3) 2 ? (0 ? 2) 2 ? (x ? 2) 2 ? (0 ? 1) 2
上式可看成 x 轴上的点 P( x,0) 到两定点 A(3,2), B(?2,?1) 的距离之和,
2 2 由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时, y min ?| AB |? (3 ? 2) ? (2 ? 1) ? 43 ,

故所求函数的值域为 [ 43,?? ]

十、 基本不等式法:利用基本不等式 ,求函数的最值,其题型特征 解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 【例 1】求下列函数的值域:(1) y ? x ?

k x2 ? 2 ? 3 (k>0);(2) y ? 。 x x2 ? 1

【解析】(1)若 x>0 时,则 y ? x ?

k k ? 3 ? 2 x ? ? 3 ? 3 ? 2 k ,等号仅当 x=k/x,即 x ? k 时成立; x x

若 x<0 时,则 y ? x ?

k k ? 3 ? ?2 ? x ? (? ) ? 3 ? 3 ? 2 k ,等号仅当-x=-k/x,即 x ? ? k 时成立; x x

故,

y ? (??,3 ? 2 k ] ? [3 ? 2 k ,??)
解法一: y ?

(2)

x2 ? 2 x ?1
2

= ? x2 ?1 ?

1 x2 ?1

? 2 ,故 y ? [2,??)

解法二:令 t

? x 2 ? 1 ,则 y ? t ?

1 (t ? 1) .即方程 f (t ) ? t 2 ? ty ? 1 ? 0 t

在[1,+∞)上有解.

所以 t1t 2 ? 1 .从而 f(x)=0 在区间[1,+∞)只能有一根,另一根在(0,1)内,从而 f(1)≤0,即 y≥2.
x 2 ? 2x ? 2 的最小值 2x ? 2

【例 2】若 ? 4 ? x ? 1 ,求

x 2 ? 2 x ? 2 1 ( x ? 1) 2 ? 1 1 1 1 1 【解析】 ? ? ? [(x ? 1) ? ] ? ? [?( x ? 1) ? ] 2x ? 2 2 x ?1 2 x ?1 2 ? ( x ? 1)
第 18 页 共 23 页

∵? 4 ? x ?1

∴ 0 ? ?( x ? 1) ? 3

???

1 1 ? ? ( x ? 1) 3

从而 [?( x ? 1) ?

1 ]? 2 ? ( x ? 1)

1 1 ? [?( x ? 1) ? ] ? ?1 , 2 ? ( x ? 1)

当且仅当 ? ( x ? 1) ?

1 ,即 x=-2 时”=”成立 ? ( x ? 1)

即(

x 2 ? 2x ? 2 ) min ? ?1 2x ? 2
2

【例 3】求函数 y ? 2 x ?

3 , ( x ? 0) 的最小值 x

【解析】 y ? 2 x 2 ?

3 3 3 3 3 9 3 ? 2x 2 ? ? ? 33 2 x 2 ? ? ? 33 ? 3 36 x 2x 2x 2x 2x 2 2

当且仅当 2 x 2 ?

3 3 3 6 即x ? 时 y min ? 3 36 2x 2 2

【例 4】求 y=

1 4 ? ? (x? (0, ) )的最小值。 cos x sin x 2

【解析】y>0,y2=(sec x+4csc x)2= sec2 x+16csc2 x+ 8sec xcsc x
? cos 2 x ? sin 2 =(tan2x+1)+16(cot2x+1)+8 ? ? cos x sin x ? x? ? ? ?

=17+(tan2x+4cot x+4cot x)+ (16cot2 x+ 4tan x+4tan x)
? 1 ? ( 3 16 ) 3 ? 33 tan 2 x ? 4 cot x ? 4 cot x ? 33 16 cot 2 x ? 4 tan x ? 4 tan x
= 1 ? 3 16

?

?

3

当且仅当 ?

? t an2 x ? 4 cot x ? 4 cot x
2 ?16 cot x ? 4 t an x ? 4 t an x

即?

? t an3 x ? 4
3 ?4 cot x ? 1

(这是两个相同的方程),

即当 x=arctan 3 4 ? (0,

?
2

) 时,“=”成立(达到最小值)。

【例 5】若函数 y=f(X)的值域为 [ ,3] ,则函数 F ( x ) ? f ( x ) ?

1 2

1 的值域是 f ( x)

[ 2,

10 ] 3



第 19 页 共 23 页

解析: f(x)>0, F ( x ) ? f ( x ) ?

1 1 1 1 而 g ( t ) ? t ? 在 t? [ ,1] 时单调递减, g ( t ) ? t ? 在 ? 2 ,并且当 f(x)=1 时等号成立。 t t 2 f ( x)

1 1 5 1 1 在区间 [ ,1] 上的值域为 [ g (1), g ( )] ? [2, ] ; g ( t ) ? t ? 在区间 [1,3] 上的值域为 t 2 2 t 2 10 ] [g(1),g(3)]=[2,10/3].综合知 F(x)的值域为 [ 2, 3
t?[1 , 3] 时单调递增。从而

g (t ) ? t ?

【例 6】求函数 y ?

x?2 的值域。 x?3
,则

【解析】令

(1)当

时,

,当且仅当 t=1,即

时取等号,所以

(2)当 t=0 时,y=0。

综上所述,函数的值域为:

注:先换元,后用不等式法

十一、利用向量不等式
性质 1 若 ,则

当且仅当 性质 2 性质 3 类型(1)

时等式成立 ,当且仅当 a, 同向平行时右边等式成立,a, ,当且仅当 型( 同号) 反向平行时左边等式成立。

方向相同且两两平行时等式成立。

【例 1】 求函数 y ? 5 x ?1 ? 10 ? x 的最大值。
【解析】构造向量 由性质 1,得

当且仅当 解 2:显然 1≤x≤10,

,即

时,

x ? 1 ? 9sin 2 ? ? 3sin ? (? ? [0, ]) ? 10 ? x ? 9(1 ? sin 2 ? ) ? 3cos ? 4 1 y ? 15sin ? ? 3cos? ? 3 26 sin(? ? ?) (其中 ? ? arctan ) 5 ? ? 1 5 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? (sin(? ? ? ))min ? min{sin ? ,sin( ? ? )} ? { , }? 2 2 26 26 26
第 20 页 共 23 页

?

?1 2 所以 3≤ y ? 15sin ? ? 3cos? ? 3 26 sin(? ? ?) ? 3 26 即
类型(2) 型 求函数

(sin(? ? ? )) max ? sin

?

【例 2】

y ? x ? 3 ? 10 ? 9 x 2

的最大值。

【解析】原函数可变为





构造向量 由性质 1,得

从而

当且仅当 类型(3)
2

,即

时, 型(
2



【例 3】求函数 y ? x ? 4 ? (3 ? x) ? 9 的最小值。
【解析】构造向量 由性质 2,得 当且仅当 a 与 b 同向平行时等式成立

所以 (此时 类型(4)其它类型



【例 4】

设 x1(i=1,2,??,2003)为正实数,且

x1 ? x1 ? ? ? x2015 ? 2015 ,试求
的最小值。

y ? x1 ? x2 ? x2 ? x3 ? ? ? x2014 ? x2015 ? x2015 ? x1
【解析】构造向量

由性质 3,得

即 第 21 页 共 23 页

【例 5】

已知 【解析】构造向量

,求

的最小值。

从而 由性质 3,得

当且仅当 a=b=c=1/2 时“=”成立。

所以

十二、一一映射法

原理:因为

y?

ax ? b (c ? 0) cx ? d 在定义域上 x 与 y 是一一对应的。故两个变量中,若知道一个变量范围,就可

以求另一个变量范围。

【例 1】求函数

y?

1 ? 3x 2x ? 1 的值域。

1 1? ? ?x | x ? ? 或x ? ? ? 2 2? 【解析】∵定义域为 ?



y?

1 ? 3x x ? 1 ? y 2y ? 3 2x ? 1 得
1? y 1? y 1 1 ?? x? ?? 2y ? 3 2或 2y ? 3 2

x?


3 3 y ? ? 或y ? ? 2 2 解得
3? ? 3 ? ? ? ? ?,? ? ? ? ? ,?? ? 2? ? 2 ? 故函数的值域为 ?
十三、多种方法综合运用

【例 1】求函数

y?

x?2 x ? 3 的值域。

2 【解析】令 t ? x ? 2 (t ? 0) ,则 x ? 3 ? t ? 1

第 22 页 共 23 页

y?
(1)当 t ? 0 时,

t 1 1 ? ? 1 t ?1 t ? 1 2 0? y? t 2 ,当且仅当 t=1,即 x ? ?1时取等号,所以
2

(2)当 t=0 时,y=0。

? 1? ?0, ? 综上所述,函数的值域为: ? 2 ?
注:先换元,后用不等式法

【例 2】 求函数

y?

1 ? x ? 2x 2 ? x 3 ? x 4 1 ? 2x 2 ? x 4 的值域。
?1? x2 ?? ?1 ? x2 ? ? x ? ? ? 1? x2 ?
2

1 ? 2x 2 ? x 4 x ? x3 y? ? 1 ? 2x 2 ? x 4 1 ? 2x 2 ? x 4 【解析】

?1? x2 ? 2 ? ? ? x ? tan ? 1 ? x 2 ? ? cos ? ? 2 ,则 ? 令
x 1 ? sin ? 2 2 1? x

2

1? 17 ? 1 1 ? y ? cos ? ? sin ? ? ? sin 2 ? ? sin ? ? 1 ? ?? sin ? ? ? ? 4? 16 ? 2 2
2

2

∴当

sin ? ?

17 1 y max ? 16 4 时,

当 sin ? ? ?1时, y min ? ?2

此时

tan

17 ? ? ? ?? 2, 16 ? ? 2 都存在,故函数的值域为 ?

注:此题先用换元法,后用配方法,然后再运用 sin ? 的有界性。

第 23 页 共 23 页



推荐相关:

求函数值域的解题方法总结(16种)

高中数学 编讲:李老师 2016 年 11 月 求函数值域的 16 种解题方法 在具体求某个函数的值域时, 首先要仔细、 认真观察其题型特征, 然后再选择恰当的方法, ...


求函数值域的几种常见方法详解

求函数值域的几种常见方法详解 - 求函数值域的几种常见方法 1.直接法:利用常见函数的值域来求。 一次函数 y=ax+b(a ? 0)的定义域为 R,值域为 R; 反...


求函数值域的常用方法

求函数值域的常用方法 - 求函数值域(最值)的方法大全 函数是中学数学的一个重点 , 而函数值域 (最值 )的求解方法更是一个常考点 , 对 于如何求函数的值域,...


求函数的值域的方法大全

求函数值域的方法大全_高三数学_数学_高中教育_...无 6、值域有可能是一个数,也可能是几个数构成的...[1,4] 上的最小值为 13 从而 f ( x) 在 [...


高中数学求值域的10种方法

高中数学求值域的10种方法 - 求函数值域的十种方法 一 .直接法(观察法): 对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。 例 1.求函数 y ? x ? 1的值域...


高中数学必修一专题:求函数的定义域与值域的常用方法

高中数学必修一专题:求函数的定义域与值域的常用方法...函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系,是...3、判别式法 例 13. 求函数 y ? x2 ? 2 x...


求函数值域(最值)的方法大全

求函数值域(最值)的方法大全_高一数学_数学_高中...2 2 分析与解:由于函数本身是由一个对数函数(外层...例 13、求函数 y = x + 2 2 = 2。 2 ]。...


高一数学例析求函数值域的方法

高一数学例析求函数值域的方法 - 例析求函数值域的方法 曲靖市民族中学 张小琼 求函数的值域常和求函数的最值问题紧密相关,是高中数学的重点和难点。注意:求值域...


求函数值域的几种方法

求函数值域的种方法 - 求函数值域的种方法 函数的值域由函数的定义域和对应关系完全确定,但因函数千变万化,形式各异,值域 的求法也各式各样,因此求函数的...


高中函数值域求法大全

高中函数值域求法大全 - 十几种高中函数值域求法,有例题,有对应训练... 高中函数值域求法大全_数学_高中教育_教育专区。十几种高中函数值域求法,有例题,有对应训...

网站首页 | 网站地图
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com