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2015-2016学年高中数学 2.5第1课时 等比数列的前n项和课件 新人教A版必修5


成才之路 ·数学
人教A版 ·必修5

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第二章 数列

第二章
2.5 等比数列的前n项和 等比数列的前n项和

第1课时

1

自主预习学案

2

课堂探究学案

3

课 时 作 业

自主预习学案

1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.
2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些 简单问题.

一天,小林和小明做“贷款” 游戏,他们签订了一份合同.从签 订合同之日起, 在整整一个月(30 天) 中,小明第一天贷给小林 1 万元, 第二天贷给小林 2 万元??以后每 天比前一天多贷给小林 1 万元.而小林按这样的方式还贷:小 林第一天只需还 1 分钱, 第二天还 2 分钱, 第三天还 4 分钱?? 以后每天还的钱数是前一天的两倍.

合同开始生效了,第一天小林支出1分钱,收入1万元;第
二天,他支出 2分钱,收入 2万元;第三天,他支出 4 分钱,收 入3万??到了第10天,他共得55万元,付出的总数只有10元2 角3分.到了第20天,小林共得210万元,而小明才支出了1 048 575分,共1万元多一点.小林想:要是合同订两个月,三个月 该多好!果真是这样吗?我们一起来帮他算一算.

an+1 =q, a 1.如何用数学语言表述等比数列的定义?若___________ n

其中 n∈N*,q是非零常数 ,则称数列{an}为等比数列. ________________________
n-1(n∈N*) a = a · q n 1 2.等比数列的通项公式是:____________________.

3.等差数列{an}的前 n 项和公式是:
n?a1+an? 1 Sn= =na1+2n(n-1)d 2
倒序相加法 . ___________________________求和方法是____________

1.等比数列的前 n 项和 已知等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和为 Sn=a1+a1q+ a1q2+?+a1qn-1, (1)若 q=1,则 Sn 与 a1 有何关系? (2)当 q≠1 时,易知 Sn=a1+q(a1+a1q+?+a1qn 2)=a1+


qSn-1 据此你能得出用 a1,q 表示 Sn 的公式吗? a1-anq Sn = a1 + qSn - 1 = a1 + q(Sn - an) , 解 出 Sn = = 1-q a1?1-qn? . 1- q

(3)当 q≠1 时,计算 Sn-qSn,想一想你能用 a1 和 q 表达 Sn 吗? a2 a3 an (4)由等比数列的定义,得a =a =?= =q,想一想依 a - 1 2 n 1 据等比性质可得出什么结论? a2+a3+?+an Sn-a1 根据等比性质,得 = =q, a1+a2+?+an-1 Sn-an

Sn-a1 a1-anq a1?1-qn? 即 =q?(1-q)Sn=a1-anq?Sn= = . Sn-an 1-q 1-q 由上面的讨论可得 已知数列{an}是等比数列,首项为 a1,q 为公比,则其前 n 项和为 ?na1,q=1, ? Sn=?a1?1-qn? a1-anq = ,q≠1. ? 1 - q 1 - q ?

注意:(1)等比数列前 n 项和公式及通项公式中共有五个量 a1、q、an、n、Sn,这五个量可“知三求二”. (2)利用等比数列的前 n 项和公式求和时,要特别注意公比 q 的取值,应当按 q=1 和 q≠1 分别求解,如果其中含有参数 不能确定时,必须进行分类讨论.

1 已知 a1=27,a9=243,q<0,求这个等比数列前 5 项的和.
[ 分析 ] 出S5. 由 a1 , a9 可求出 q ,再用等比数列前 n 项和公式求

1 [解析] ∵a1=27,a9=243, 1 243 1 8 ∴q = 27 =38, 1 又∵q<0,∴q=-3, 15 a1?1-q5? 27[1-?-3? ] 61 ∴S5= = 1 =3. 1-q 1-?-3?

2.等比数列前 n 项和公式与函数的关系 我们已知等差数列前 n 项和 Sn 是 n 的二次函数,可依据二 次函数的图象与性质解决等差数列的有关问题,那么等比数列 的前 n 项和 Sn 是 n 的函数吗? 当公比 q≠1 时,我们已经知道等比数列的前 n 项和公式 a1?1-qn? a1 n a1 Sn= ,它可以变形为 Sn=(- )q + ,设 A= 1-q 1-q 1-q a1 ,上式可写成 Sn=-Aqn+A,由此可见,非常数等比数列 1-q 的前 n 项和 Sn 是由关于 n 的一个指数式与一个常数的和构成的, 而指数式的系数与常数项互为相反数.反过来也成立.

即数列{an}是非常数列的等比数列的充要条件是前 n 项和 公式为 Sn=-Aqn+A,(A≠0,q≠0,且 q≠1,n∈N*) 当公比 q=1 时,因为 a1≠0,所以 Sn=na1 是 n 的正比例 函数.

等比数列{an}的前n项和Sn=2×3n+a,则a等于( A.3 C.0 [答案] D B.1 D.-2

)

[解析]

数列{an}是非常数列的等比数列的充要条件是前 n

项和公式为Sn=-Aqn+A,由此可知a=-2.

3.等比数列前 n 项和的性质 (1)我们已知等差数列前 n 项和 Sn 满足 Sm,S2m-Sm,S3m- S2m(m∈N*)成等差数列, 在等比数列中, 你能得比类似结论吗? 设等比数列前 n 项和为 Sn, 则如 Sm, S2m-Sm, S3m-S2m, ? 仍组成等比数列(注意这连续 m 项的和必须非零才能成立). (2)在等差数列中,若项数 n 为偶数,则 S 偶-S 奇=nd,类 比上述结论你能得出等比数列的类似性质吗? 设等比数列公比为 q,前 n 项和为 Sn,积为 Tn 若项数为偶 S偶 T偶 数,则 =q, =qn. S奇 T奇

在正项等比数列 {an} 中, Sn 是其前 n 项和,若 S10 = 10 , S30

=130,则S20的值为________.
[答案] 40 [解析] 由S10,S20-S10,S30-S20成等比数列, 得(S20-S10)2=S10(S30-S20),即(S20-10)2=10(130-S20), 解方程得S20=40或S20=-30,∵S20>0,∴S20=40.

课堂探究学案

等比数列求和公式
(2015· 重庆文, 16)已知等差数列{an}满足 a3=2, 9 前 3 项和 S3=2. (1)求{an}的通项公式; (2)设等比数列{bn}满足 b1=a1, b4=a15, 求{bn}的前 n 项和 Tn.

[分析]

考查等差(等比)数列的通项公式及前n项和公式及

方程思想;解答本题(1)用首项和公差依据等差数列通项公式及 前n项和公式列方程组求解;(2)先求首项b1和公比q,再代入前 n项和公式求解.

[解析]

(1)设{an}的公差为 d,则由已知条件得 a1+2d=

3×2 9 3 2,3a1+ 2 d=2,化简得 a1+2d=2,a1+d=2,解得 a1=1,d n-1 n+1 1 =2,故通项公式 an=1+ 2 ,即 an= 2 . 15+1 (2)由(1)得 b1=1,b4=a15= 2 =8.设{bn}的公比为 q,
n b ? 1 - q ? b 1 4 3 则 q =b =8,从而 q=2.故{bn}的前 n 项和 Tn= = 1-q 1

1×?1-2n? n =2 -1. 1-2

[方法规律总结] 在等比数列{an}的五个量 a1,q,an,n, Sn 中, a1, q 是最基本的元素, 当条件与结论间的联系不明显时, 均可以用 a1,q 列方程组求解.

(2015·安徽理,14)已知数列{an}是递增的等比数列,a1+

a4=9,a2a3=8,则数列{an}的前n项和等于________.
[答案] 2n-1

[解析] 考查 1.等比数列的性质; 2.等比数列的前 n 项和公 式.
? ?a1+a4=9, 由题意,? ? a3=8. ?a2· ? ?a1+a4=9, ∴? ? a4=8, ?a1·

解得 a1=1,a4=8

或者 a1=8, a4=1, 而数列{an}是递增的等比数列, 所以 a1=1, a4 a4=8,即 q =a =8,所以 q=2,因而数列{an}的前 n 项和 Sn 1
3

a1?1-qn? 1-2n = = =2n-1. 1 -q 1-2

等比数列前n项和的性质 (2014·大纲全国卷文,8) 设等比数列 {an}的前 n 项和为Sn.若S2=3,S4=15,则S6=( )

A.31
C.63 [分析]

B.32
D.64 已知S2,S4,可列出关于a1,q的方程组求解;观

察下标可以发现,2,4,6成等差列,故可应用性质求解. [答案] C

[解析] 解法 1:由条件知:an>0,且
? ?a1+a2=3, ? ? ?a1+a2+a3+a4=15, ? ?a1?1+q?=3, ∴? 2 3 ? a ? 1 + q + q + q ?=15, ? 1

∴q=2.

1-26 ∴a1=1,∴S6= =63. 1-2 解法 2:由题意知,S2,S4-S2,S6-S4 成等比数列,即(S4 -S2)2=S2(S6-S4),即 122=3(S6-15),∴S6=63.

[方法规律总结]

下标成等差的等差、等比数列的项或前n

项和的问题,常考虑应用等差、等比数列的性质求解.

S6 S9 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若S =3,则S =( 3 6 A.2 8 C.3 7 B.3 D.3

)

[答案] B

S6-S3 S6 [解析] ∵S =3,∴S6=3S3,∴ S =2, 3 3 S9-S6 2 ∵S3,S6-S3,S9-S6 成等比,∴ S =2 , 3 ∴S9=4S3+S6=7S3, S9 7S3 7 ∴S =3S =3,∴选 B. 6 3

错位相减法求数列的前n项和
2n-1 1 3 5 7 求数列2,4,8,16,?, 2n 的前 n 项和.

1 1 1 1 [分析] 本题中的数列是由数列 1,3,5,7, ?与2, ? 4, 8, 16, 的各项对应相乘得到的,前面的数列是等差数列,后面的数列 是等比数列,可用错位相减法求和.
2n-1 1 3 5 [解析] 设 Sn=2+22+23+?+ 2n , 2n-1 3 5 则 2Sn=1+2+22+?+ n-1 . 2 ① ②

2n-1 1 1 1 1 ①-②,得-Sn=-1-2(2+22+23+?+ n-1)+ 2n 2 1 1 2?1-2n-1? 2n-1 =-1-2× 1 + 2n 1-2 2n-1 2n+3 =-1-2+ n-2+ 2n =-3+ 2n , 2 1 2n+3 ∴Sn=3- 2n .

[方法规律总结] 法.

一般地,若{bn}成等差数列,{cn}成等比

数列,an=bn·cn,求数列{an}的前n项和Sn可用乘公比错位相减

(2015· 太原市二模)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,S3=9,数列{bn}中 b1=1,b3=20.
?bn? (1)若数列?a ?是公比 ? n?

q>0 的等比数列,求 an,bn;

(2)在(1)的条件下,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

[解析] (1)由题意得 S3=3a2=9,∴a2=3, 又∵a1=1,∴d=2,∴an=2n-1,
?bn? b1 b3 20 bn ? ? ∴a =1,a = 5 =4,∴数列 a 的公比 q=2,∴a =2n-1, ? n? n 1 3

∴bn=2n 1an=(2n-1)· 2n 1.
- -

(2)由(1)得 bn=(2n-1)· 2n-1, ∴Tn=1×20+3×21+5×22+?+(2n-1)×2n-1, 2Tn=1×21+3×22+5×23+?+(2n-1)×2n, 1)×2n,
n-1 4 × ? 1 - 2 ? n ∴Tn=(2n-1)×2 -1- , 1-2

① ②

①-②得,-Tn =1 +2×21+2×22+?+ 2×2n-1-(2n-

∴Tn=(2n-3)×2n+3.

综合应用 以数列 {an} 的任意相邻两项为横、纵坐标的点

Pn(an,an+1)(n∈N*)均在一次函数y=2x+k的图象上,数列bn=
an+1-an(n∈N*,b1≠0). (1)求证:数列{bn}是等比数列; (2)设数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若S6= T4, S5=-9,求k的值.

[分析]

(1)本题考查等比数列与函数知识.先由点 P(an ,

an+1)在一次函数y=2x+k上,结合bn=an+1-an,求出bn与bn+1 之间的关系;(2)利用(1)中得到的结论求出Sn,Tn及其关系后利 用S6=T4,S5=-9,求k的值.

[解析] (1)由题意,得 an+1=2an+k,bn=an+1-an, ∴bn=2an+k-an=an+k, ∴bn+1=an+1+k=(2an+k)+k=2(an+k). 即 bn+1=2bn. ∵b1≠0, bn+1 ∴ b =2(n∈N*), n ∴数列{bn}是以 2 为公比的等比数列.

(2)由(1),得 bn=an+k 及{bn}是公比为 2 的等比数列,得 b1?1-2n? Tn= =b1(2n-1), 1-2 由 bn=an+k 得 Tn=Sn+nk, ∴Sn=b1(2n-1)-nk. ∵S6=T4,S5=-9,
? ?63b1-6k=15b1, ∴? ? ?31b1-5k=-9,

解得 k=8.

[方法规律总结] 1.等差数列与等比数列综合应用的问题, 一般通过基本量和通项公式,前 n 项和公式,等差、等比中项 及相关性质列方程求解. 2. 与函数交汇的数列问题, 一般通过函数提供数列具备的 某种条件或满足的某种关系式,解题时要先等价转化为纯数列 问题,按数列相关知识方法求解.

已知 f(x)=a1x+a2x2+a3x3+?+anxn,且 a1,a2,a3,?, an 组成等差数列(n 为正偶数),又 f(1)=n2,f(-1)=n. (1)求数列的通项公式 an; 1 (2)试比较 f(2)与 3 的大小,并说明理由.

[解析] (1)∵f(x)=a1x+a2x2+a3x3+?+anxn, f(1)=n2,f(-1)=n, ∴f(1)=a1+a2+a3+?+an=n2, f(-1)=-a1+a2-a3+a4-?-an-1+an=n. n?a1+an? 2 n 由题意,得 =n ,2d=n. 2 ∴a1+an=2n,d=2, ∴2a1+(n-1)×2=2n, ∴a1=1,∴an=2n-1.

1 1 12 1n (2)∵f(2)=2+3×(2) +?+(2n-1)×(2) , 1 1 12 13 1n 1n ∴2f(2)=(2) +3×(2) +?+(2n-3)×(2) +(2n-1)×(2)
+1

1 1 1 12 13 .以上两式左右两边分别相减,得2f(2)=2+2×(2) +2×(2)

1n 1 n+1 +?+2×(2) -(2n-1)×(2) ,

1 1 12 1 n-1 1n ∴f(2)=1+2×(2)+2×(2) +?+2×(2) -(2n-1)×(2) 1 1 n-1 2[1-?2? ] 1 1 1 =1+2× 1 -(2n-1)×2n=3-2n-2-(2n-1)×2n<3, 1- 2 1 综上所述,f(2)<3.

数列的实际应用
从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进 行生态环境建设,并以此发展旅游产业.根据规划,本年度投 1 入 800 万元, 以后每年投入将比上年减少5, 本年度当地旅游业 收入估计 400 万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计 1 今后的旅游业收入每年会比上年增加4. (1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元,旅游业总 收入为 bn 万元,写出表达式; (2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?

[解析] (1)第一年投入为 800 万元,第二年投入为 800(1 1 1 n-1 -5)万元,第 n 年的投入为 800(1-5) 万元. 1 所以, n 年内的总投入为: an=800+800(1-5)+?+800(1 1 n-1 4n -5) =4 000-4 000(5) (万元);

第一年旅游业收入为 400 万元, 1 第二年旅游业收入为 400(1+4)万元, 1 n-1 第 n 年旅游业收入为 400(1+4) 万元. 所以 n 年内的旅游业总收入为 1 1 n-1 bn=400+400(1+4)+?+400(1+4) 5n =1 600(4) -1 600(万元).

(2)设至少经过 n 年旅游业的总收入才能超过总投入,由此 bn-an>0, 5n 4n 即 1 600(4) -1 600-4 000+4 000(5) >0, 5n 4n 化简得 2(4) +5(5) -7>0, 4n 设(5) =x,代入上式得 5x2-7x+2>0. 2 解此不等式,得 x<5,或 x>1(舍去), 4n 2 即(5) <5,由此得 n≥5. 答:至少经过 5 年旅游业的总收入才能超过总投入.

[方法规律总结]

解答与等比数列有关的实际应用问题,

要通过审题, 弄清项与项之间的关系, 弄清通项还是前 n 项和, 注意项数,不要出现多一项或少一项的错误.

国家计划在西部地区退耕还林6 370万亩,2010年底西部已
退耕还林的土地面积为 515 万亩,以后每年退耕还林的面积按 12%递增. (1)试问从2010年底,到哪一年底西部地区才能完成退耕还 林计划?(1.128≈2.476,1.127≈2.211)(精确到年) (2)为支持退耕还林工作,国家财政从2011年起补助农民当 年退耕地每亩 300斤粮食,每斤粮食按0.7元折算,并且补助当 年退耕地每亩20元.试问:西部完成退耕还林计划,国家财政

共需支付多少亿元?(精确到亿元)

[解析] 设从 2010 年底起以后每年的退耕还林的土地依次 为 a1,a2,a3,?,an,?万亩.则 (1)a1=515(1+12%),a2=515(1+12%)2,?,an=515(1+ 12%)n,? Sn=a1+a2+?+an 515?1+0.12??1-1.12n? = =6 370-515 1-1.12 ?515×1.12×(1.12n-1)=5 855×0.12 ∴1.12n=2.22, ∴n=7. 故到 2017 年底西部地区才能完成退耕还林计划.

(2)设财政补助费为 W 亿元. 则 W=(300×0.7+20)×(6 370-515)×10-4 =134.6(亿元) 所以西部完成退耕还林计划,国家财政共需支付 134.6 亿 元.

忽视特殊情形致误 设数列{an}是由正数组成的等比数列,Sn 是其 lgSn+lgSn+2 前 n 项和.求证: <lgSn+1. 2

[错解] 设{an}的公比为 q. a1?1-qn? ∵Sn= , 1-q a1?1-qn+1? a1?1-qn+2? ∴Sn+1= ,Sn+2= , 1-q 1-q

2 n n 2 2 n 1 2 a ? 1 - q ?? 1 - q ? a ? 1 - q ? 1 1 2 ∴ SnSn + 2 - S n+1 = - =-a2 2 2 1 ?1-q? ?1-q?
+ +

qn<0. 根据对数的单调性知 lg(SnSn+2)<lgS2 n+1, lgSn+lgSn+2 即 <lgSn+1. 2
[辨析] 没有分 q=1 和 q≠1 两种情况证明,求和公式 Sn a1?1-qn? = 只适合 q≠1 这种情况. 1-q

[正解] 设{an}的公比为 q.当 q=1 时,Sn=na1,Sn+1=(n +1)a1, Sn+2=(n+2)a1,
2 故 SnSn+2-S2 n+1=-a1<0,

即 SnSn+2<S2 n+1. lgSn+lgSn+2 两边同时取对数并整理,得 <lgSn+1. 2 当 q≠1 时,同错证证得结论成立.

[警示]

在含字母参数的等比数列求和时,应分q=1和q≠1

两种情况进行讨论.

等?等比数列的前n项和公式 比? ? ?等比数列的前n项和公式 数? ? 列?及数列前n项和求法?等比数列前n项和公式的应用 的? ?“错位相减法”求数列前n项和 ? 前? n ?等比数列前n项和的 ? ?等比数列前n项和的性质 ? ? 项 ? ? 性质及与函数的关系 ?等比数列前n项和公式与函数关系 ? 和


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