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17-18版 第2章 热点探究课1 导数应用中的高考热点问题

热点探究课(一) 导数应用中的高考热点问题 [命题解读] 函数是中学数学的核心内容,导数是研究函数的重要工具,因 此,导数的应用是历年高考的重点与热点,常涉及的问题有:讨论函数的单调性 (求函数的单调区间)、求极值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、 求参数的范围、证明不等式等,涉及的数学思想有:函数与方程、分类讨论、数 形结合、转化与化归思想等,中、高档难度均有. 热点 1 利用导数研究函数的单调性、极值与最值(答题模板) 函数的单调性、极值是局部概念,函数的最值是整体概念,研究函数的性质 必须在定义域内进行,因此,务必遵循定义域优先的原则,本热点主要有三种考 查方式:(1)讨论函数的单调性或求单调区间;(2)求函数的极值或最值;(3)利用 函数的单调性、极值、最值,求参数的范围. (本小题满分 12 分)(2015· 全国卷Ⅱ)已知函数 f(x)=ln x+a(1-x). (1)讨论 f(x)的单调性; (2)当 f(x)有最大值,且最大值大于 2a-2 时,求 a 的取值范围. [思路点拨] (1)求出导数后对 a 分类讨论, 然后判断单调性; (2)运用(1)的结 论分析函数的最大值, 对得到的不等式进行等价转化,通过构造函数并分析该函 数的单调性求 a 的范围. 1 [规范解答] (1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)= x-a.2 分 若 a≤0,则 f′(x)>0,所以 f(x)在(0,+∞)上单调递增.3 分 1? ? 若 a>0,则当 x∈?0,a?时,f′(x)>0; ? ? ?1 ? 当 x∈?a,+∞?时,f′(x)<0.5 分 ? ? 1? ? ?1 ? 所以 f(x)在?0,a?上单调递增,在?a,+∞?上单调递减.6 分 ? ? ? ? (2)由(1)知,当 a≤0 时,f(x)在(0,+∞)上无最大值;7 分 1 当 a>0 时,f(x)在 x=a取得最大值,最大值为 1 1? ?1? ?1? ? f?a?=ln?a?+a?1-a?=-ln a+a-1.9 分 ? ? ? ? ? ? ?1? 因此 f?a?>2a-2 等价于 ln a+a-1<0.10 分 ? ? 令 g(a)=ln a+a-1,则 g(a)在(0,+∞)上单调递增,g(1)=0. 于是,当 0<a<1 时,g(a)<0;当 a>1 时,g(a)>0. 因此,a 的取值范围是(0,1).12 分 [答题模板] 讨论含参函数 f(x)的单调性的一般步骤 第一步:求函数 f(x)的定义域(根据已知函数解析式确定). 第二步:求函数 f(x)的导数 f′(x). 第三步:根据 f′(x)=0 的零点是否存在或零点的大小对参数分类讨论. 第四步:求解(令 f′(x)>0 或令 f′(x)<0). 第五步:下结论. 第六步:反思回顾,查看关键点、易错点、注意解题规范. 温馨提示:1.讨论函数的单调性,求函数的单调区间、极值问题,最终归结 到判断 f′(x)的符号问题上,而 f′(x)>0 或 f′(x)<0,最终可转化为一个一元 一次不等式或一元二次不等式问题. 2.若已知 f(x)的单调性,则转化为不等式 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 在单调区间 上恒成立问题求解. ?2? [对点训练 1] 已知函数 f(x)=x3+ax2-x+c,且 a=f′?3?. ? ? (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间; (3)设函数 g(x)=(f(x)-x3)· ex,若函数 g(x)在 x∈[-3,2]上单调递增,求实数 c 的取值范围. [解] (1)由 f(x)=x3+ax2-x+c, 得 f′(x)=3x2+2ax-1.1 分 2 2 ?2? ?2? 当 x=3时,得 a=f′?3?=3×?3?2+2a×3-1, ? ? ? ? 解得 a=-1.3 分 (2)由(1)可知 f(x)=x3-x2-x+c, 2 ? 1? 则 f′(x)=3x2-2x-1=3?x+3?(x-1),列表如下: ? ? x f′(x) f(x) 1? ? ?-∞,-3? ? ? + ? 1 -3 0 极大值 ? 1 ? ?-3,1? ? ? - ? 1 0 极小值 (1,+∞) + ? 1? ? 所以 f(x)的单调递增区间是?-∞,-3?和(1,+∞); ? ? ? 1 ? f(x)的单调递减区间是?-3,1?.8 分 ? ? (3)函数 g(x)=(f(x)-x3)· ex=(-x2-x+c)· ex, 有 g′(x)=(-2x-1)ex+(-x2-x+c)ex =(-x2-3x+c-1)ex, 因为函数 g(x)在 x∈[-3,2]上单调递增, 所以 h(x)=-x2-3x+c-1≥0 在 x∈[-3,2]上恒成立, 只要 h(2)≥0,解得 c≥11, 所以 c 的取值范围是[11,+∞).12 分 热点 2 利用导数研究函数的零点或曲线交点问题 研究函数零点的本质就是研究函数的极值的正负,为此,我们可以通过讨论 函数的单调性来解决, 求解时应注重等价转化与数形结合思想的应用,其主要考 查方式有:(1)确定函数的零点、图象交点的个数;(2)由函数的零点、图象交点 的情况求参数的取值范围. (2016· 北京高考节选)设函数 f(x)=x3+ax2+bx+c. (1)求曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)设 a=b=4,若函数 f(x)有三个不同零点,求 c 的取值范围. [解] (1)由 f(x)=x3+ax2+bx+c,得 f′(x)=3x2+2ax+b.2 分 因为 f(0)=c,f′(0)=b, 所以曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 y=bx+c.4 分 3 (2)当 a=b=4 时,f(x)=x3+4x2+4x+c, 所以 f′(x)=3x2+8x+4.6 分 2 令 f′(x)=0,得 3x2+8x+4=0,解得 x=-2

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