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2016届高考数学(理)一轮复习学案:2.8+函数与方程(苏教版含解析)


§2.8

函数与方程

1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数 y=f(x) (x∈D),把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x) (x∈D)的零点. (2)几个等价关系 方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点?函数 y=f(x)有零点. (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f(a)·f(b)<0,那 么,函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0,这个__c__也 就是方程 f(x)=0 的根. 2.二次函数 y=ax +bx+c (a>0)的图象与零点的关系 Δ >0 Δ =0 Δ <0
2

二次函数

y=ax2+bx+c
(a>0)的图象

与 x 轴的交点 零点个数 3.二分法

(x1,0),(x2,0) 2

(x1,0) 1

无交点 0

对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0 的函数 y=f(x),通过不断地把函数 f(x)的 零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点近似值的方法叫 做二分法. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点.( × ) (2)函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则 f(a)·f(b)<0.( × (3)二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)在 b -4ac<0 时没有零点.( √ ) (4)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值.( × )
2 2

)

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(5)函数 y=2sin x-1 的零点有无数多个.( √ ) 1 (6)函数 f(x)=kx+1 在[1,2]上有零点,则-1<k<- .( 2 × )

1.(2013·重庆改编)若 a<b<c,则函数 f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-

a)的两个零点分别位于区间________内.
答案 (a,b)和(b,c) 解析 由于 a<b<c,所以 f(a)=0+(a-b)(a-c)+0>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c -a)(c-b)>0.因此有 f(a)·f(b)<0,f(b)·f(c)<0,又因 f(x)是关于 x 的二次函数,函数 的图象是连续不断的曲线,因此函数 f(x)的两零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内.
?1 1 ?1 2.若 x1,x2 是方程 2 ? ( ) x 的两个实根,则 x1+x2=________. 2 x

答案 -1
?1 ?1 1 ?1 x 解析 ∵ 2 ? ( ) x ,∴ 2 ? 2 x , 2
x

1

1 2 ∴x= -1 即 x +x-1=0,

x

∴x1+x2=-1. 3.(2014·湖北改编)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x -3x,则函数
2

g(x)=f(x)-x+3 的零点的集合为________.
答案 {-2- 7,1,3} 解析 令 x<0,则-x>0, 所以 f(-x)=(-x) -3(-x)=x +3x. 因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 所以 f(-x)=-f(x). 所以当 x<0 时,f(x)=-x -3x. 所以当 x≥0 时,g(x)=x -4x+3.令 g(x)=0,即 x -4x+3=0,解得 x=1 或 x=3.当 x<0 时,g(x)=-x -4x+3.令 g(x)=0,即 x +4x-3=0,解得 x=-2+ 7>0(舍去)或 x=- 2- 7.所以函数 g(x)有三个零点,故其集合为{-2- 7,1,3}. 4.已知函数 f(x)=ln x-x+2 有一个零点所在的区间为(k,k+1) (k∈N ),则 k 的值为 ________. 答案 3 解析 由题意知,当 x>1 时,f(x)单调递减,因为 f(3)=ln 3-1>0,f(4)=ln 4-2<0,
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* 2 2 2 2 2 2 2

所以该函数的零点在区间(3,4)内,所以 k=3.

题型一 函数零点的判断和求解 例 1 (1)根据表格中的数据,可以判定方程 e -x-2=0 的一个零点所在的区间为(k,k+ 1)(k∈N),则 k 的值为________.
x

x
e
x

-1 0.37 1

0 1 2

1 2.72 3

2 7.39 4

3 20.09 5

x+2
2

?ln x-x +2x,x>0, ? (2)函数 f(x)=? ?4x+1, x≤0 ?

的零点个数是________.

答案 (1)1 (2)3 解析 (1)令 f(x)=e -x-2,f(1)=e-3<0,
x

f(2)=e2-2-2=e2-4=7.39-4=3.39>0.
∴f(x)的零点在区间(1,2)内,∴k=1. (2)当 x>0 时,作函数 y=ln x 和 y=x -2x 的图象,
2

由图知,x>0 时,f(x)有两个零点; 1 当 x<0 时,由 f(x)=0 得 x=- , 4 综上,f(x)有三个零点. 思维升华 函数零点的求法: (1)直接求零点:令 f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点. (2) 零 点 存 在 性 定 理 : 利 用 定 理 不 仅 要 函 数 在 区 间 [a , b] 上 是 连 续 不 断 的 曲 线 , 且

f(a)·f(b)<0, 还必须结合函数的图象与性质(如单调性、 奇偶性)才能确定函数有多少个零
点. (3)利用图象交点的个数:将函数变形为两个函数的差,画两个函数的图象,看其有几个交 点,就有几个不同的零点. (1)函数 f(x)=2 +3x 的零点所在的一个区间是________. ①(-2,-1) ②(-1,0) ③(0,1) ④(1,2) (2)若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x),且当 x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数 y
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x

=f(x)-log3|x|的零点个数是________. 答案 (1)② (2)4
-2 -1

解析 (1)∵f(-2)=2 -6<0,f(-1)=2 -3<0,

f(0)=20=1>0,f(1)=2+3=5>0,f(2)=22+6=10>0,∴f(-1)·f(0)<0.
故函数 f(x)在区间(-1,0)上有零点. (2)由题意知,f(x)是周期为 2 的偶函数. 在同一坐标系内作出函数 y=f(x)及 y=log3|x|的图象,如下:

观察图象可以发现它们有 4 个交点, 即函数 y=f(x)-log3|x|有 4 个零点. 题型二 二次函数的零点问题 例 2 已知函数 f(x)=x +ax+2,a∈R. (1)若不等式 f(x)≤0 的解集为[1,2],求不等式 f(x)≥1-x 的解集; (2)若函数 g(x)=f(x)+x +1 在区间(1,2)上有两个不同的零点,求实数 a 的取值范围. 解 (1)因为不等式 f(x)≤0 的解集为[1,2], 所以 a=-3,于是 f(x)=x -3x+2. 由 f(x)≥1-x 得,1-x ≤x -3x+2, 1 解得 x≤ 或 x≥1, 2 1 2 所以不等式 f(x)≥1-x 的解集为{x|x≤ 或 x≥1}. 2
2 2 2 2 2 2 2

? ?g?2?>0, (2)函数 g(x)=2x +ax+3 在区间(1,2)上有两个不同的零点,则? a 1<- <2, 4 ? ?a -24>0,
g?1?>0,
2 2

a+5>0, ? ?2a+11>0, 即? -8<a<-4, ? ?a<-2 6或a>2

解得-5<a<-2 6. 6,

所以实数 a 的取值范围是(-5,-2 6). 思维升华 解决二次函数的零点问题: (1)可利用一元二次方程的求根公式; (2)可用一元二
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次方程的判别式及根与系数的关系;(3)利用二次函数的图象列不等式组. 已知 f(x)=x +(a -1)x+(a-2)的一个零点比 1 大,一个零点比 1 小,求实 数 a 的取值范围. 解 方法一 设方程 x +(a -1)x+(a-2)=0 的两根分别为 x1,x2(x1<x2),则(x1-1)(x2 -1)<0, 即 x1x2-(x1+x2)+1<0, 由根与系数的关系, 得(a-2)+(a -1)+1<0, 即 a +a-2<0,∴-2<a<1. 方法二 函数图象大致如图, 则有 f(1)<0, 即 1+(a -1)+a-2<0, 故-2<a<1. 题型三 函数零点和参数的范围 例 3 若关于 x 的方程 2 +2 a+a+1=0 有实根,求实数 a 的取值范围. 解 方法一 (换元法) 设 t=2 (t>0),则原方程可变为 t +at+a+1=0,(*) 原方程有实根,即方程(*)有正根. 令 f(t)=t +at+a+1. ①若方程(*)有两个正实根 t1,t2, Δ =a -4?a+1?≥0, ? ? 则?t1+t2=-a>0, ? ?t1·t2=a+1>0,
2 2 2x 2 2 2 2 2 2 2

x

x

2

解得-1<a≤2-2 2;

②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根,不合题意,舍去),则 f(0)=a+1<0,解 得 a<-1; ③若方程(*)有一个正实根和一个零根,则 f(0)=0 且- >0,解得 a=-1. 2 综上,a 的取值范围是(-∞,2-2 2]. 方法二 (分离变量法) 2 +1 x 由方程,解得 a=- x ,设 t=2 (t>0), 2 +1 则 a=- 2 t2+1 ? -1? =-?t+ ? t+1 ? t+1 ? 2 ? ,其中 t+1>1, t+1? ?
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2x

a

=2-??t+1?+

? ?

由基本不等式,得(t+1)+

2 ≥2 2,当且仅当 t= 2-1 时取等号,故 a≤2-2 2. t+1

思维升华 对于“a=f(x)有解”型问题,可以通过求函数 y=f(x)的值域来解决,解的个 数也可化为函数 y=f(x)的图象和直线 y=a 交点的个数. (2014·江苏)已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数, 当 x∈[0,3)时, f(x) 1 2 =|x -2x+ |.若函数 y=f(x)-a 在区间[-3,4]上有 10 个零点(互不相同),则实数 a 的 2 取值范围是________. 1 答案 (0, ) 2 解析 作出函数 y=f(x)在[-3,4]上的图象,f(-3)=f(-2)=f(-1)=f(0)=f(1)=f(2) 1 1 =f(3)=f(4)= ,观察图象可得 0<a< . 2 2

数形结合思想在函数零点问题中的应用 典例:(1)方程 log3x+x-3=0 的解所在的区间是______. (2)已知函数 f(x)=logax+x-b(a>0, 且 a≠1), 当 2<a<3<b<4 时, 函数 f(x)的零点 x0∈(n,

n+1),n∈N*,则 n=________.
思维点拨 (1)利用零点存在性定理;(2)利用临界情况时 f(x)的图象观察零点的大小. 答案 (1)(2,3) (2)2 解析 (1)设 f(x)=log3x+x-3, 则 f(2)=log32-1<0,

f(3)=log33+3-3=1>0,
∴f(x)=0 在(2,3)有零点, 又 f(x)为增函数,∴f(x)=0 的零点在(2,3)内. (2)在直角坐标系下分别作出 y=log2x,y=log3x 及 y=3-x,y=4-x 的图象,如图所示, 显然所有可能的交点构成图中的阴影区域(不含边界), 其中各点的横坐标均落于(2,3)之内, 又因为 x0∈(n,n+1),n∈N ,故 n=2.
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*

温馨提醒 (1)零点问题可转化为函数图象的交点问题进行求解, 体现了数形结合的思想. (2) 求零点范围时用数形结合求解可减少思维量,作图时要尽量准确.

方法与技巧 1.函数零点的判定常用的方法有 (1)零点存在性定理;(2)数形结合;(3)解方程 f(x)=0. 2.研究方程 f(x)=g(x)的解,实质就是研究 G(x)=f(x)-g(x)的零点. 3.转化思想:方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题;已知方程有解求 参数范围问题可转化为函数值域问题. 失误与防范 1.函数 f(x)的零点是一个实数,是方程 f(x)=0 的根,也是函数 y=f(x)的图象与 x 轴交 点的横坐标. 2.函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件,而不是必要条件;判断零点个数还要 根据函数的单调性、对称性或结合函数图象.

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟)
? ?2 -1, 1.已知函数 f(x)=? ?1+log2x, ?
x

x≤1, x>1,

则函数 f(x)的零点为________.

答案 0 解析 当 x≤1 时,由 f(x)=2 -1=0,解得 x=0;当 x>1 时,由 f(x)=1+log2x=0,解 1 得 x= ,又因为 x>1,所以此时方程无解. 2 综上函数 f(x)的零点只有 0. 2.方程|x -2x|=a +1(a>0)的解的个数是________.
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2 2

x

答案 2 解析 (数形结合法) ∵a>0,∴a +1>1. 而 y=|x -2x|的图象如图, ∴y=|x -2x|的图象与 y=a +1 的图象总有两个交点. 3. 若关于 x 的方程 x +mx+1=0 有两个不相等的实数根, 则实数 m 的取值范围是________. 答案 (-∞,-2)∪(2,+∞) 解析 ∵方程 x +mx+1=0 有两个不相等的实数根, ∴Δ =m -4>0,∴m>2 或 m<-2. 4.函数 f(x)=xcos x 在区间[0,4]上的零点个数为________. 答案 6 解析 由 f(x)=xcos x =0,得 x=0 或 cos x =0. 又 x∈[0,4],所以 x ∈[0,16]. π 由于 cos( +kπ )=0(k∈Z), 2 π π 3π 5π 7π 9π 而在 +kπ (k∈Z)的所有取值中,只有 , , , , 满足在[0,16]内,故零点 2 2 2 2 2 2 个数为 1+5=6. 5.已知三个函数 f(x)=2 +x,g(x)=x-2,h(x)=log2x+x 的零点依次为 a,b,c,则 a,
x
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

b,c 的大小关系为________.
答案 a<c<b 1 1 解析 方法一 由于 f(-1)= -1=- <0,f(0)=1>0,且 f(x)为 R 上的增函数. 2 2 故 f(x)=2 +x 的零点 a∈(-1,0). ∵g(2)=0,∴g(x)的零点 b=2; 1 1 ?1? ∵h? ?=-1+ =- <0,h(1)=1>0, 2 2 ?2? 且 h(x)为(0,+∞)上的增函数,
x

?1 ? ∴h(x)的零点 c∈? ,1?,因此 a<c<b. ?2 ?
方法二 由 f(x)=0 得 2 =-x; 由 h(x)=0 得 log2x=-x 作出函数 y=2 ,
x x

y=log2x 和 y=-x 的图象(如图).

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由图象易知 a<0,0<c<1,而 b=2, 故 a<c<b. 6. 若函数 f(x)=x +ax+b 的两个零点是-2 和 3, 则不等式 af(-2x)>0 的解集是________. 3 答案 {x|- <x<1} 2 解析 ∵f(x)=x +ax+b 的两个零点是-2,3. ∴-2,3 是方程 x +ax+b=0 的两根, 由根与系数的关系知?
? ?a=-1, ?b=-6, ?
2 2 2 2

? ?-2+3=-a, ?-2×3=b. ?

∴?

∴f(x)=x -x-6. ∵不等式 af(-2x)>0, 即-(4x +2x-6)>0?2x +x-3<0, 3 解集为{x|- <x<1}. 2 7.函数 f(x)=3x-7+ln x 的零点位于区间(n,n+1)(n∈N)内,则 n=________. 答案 2 解析 由于 ln 2<ln e=1,所以 f(2)<0,f(3)=2+ln 3,由于 ln 3>1,所以 f(3)>0,所 以增函数 f(x)的零点位于区间(2,3)内,故 n=2.
? ?2 -1,x>0, 8.已知函数 f(x)=? 2 ?-x -2x,x≤0, ?
x
2 2

若函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零点,则实数 m 的

取值范围是________. 答案 (0,1) 解析 画出 f(x)=
? ?2 -1,x>0, ? 2 ?-x -2x,x≤0 ?
x

的图象,如图.

由于函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零点, 结合图象得: 0<m<1, 即 m∈(0,1).

x 1 3 2 9.已知函数 f(x)=x -x + + . 2 4

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1 证明:存在 x0∈(0, ),使 f(x0)=x0. 2 证明 令 g(x)=f(x)-x. 1 1 1 1 1 ∵g(0)= ,g( )=f( )- =- , 4 2 2 2 8 1 ∴g(0)·g( )<0. 2 1 又函数 g(x)在[0, ]上连续, 2 1 ∴存在 x0∈(0, ),使 g(x0)=0.即 f(x0)=x0. 2 10.关于 x 的二次方程 x +(m-1)x+1=0 在区间[0,2]上有解,求实数 m 的取值范围. 解 方法一 设 f(x)=x +(m-1)x+1,x∈[0,2], ①若 f(x)=0 在区间[0,2]上有一解, ∵f(0)=1>0,则应有 f(2)<0, 又∵f(2)=2 +(m-1)×2+1, 3 ∴m<- . 2 ②若 f(x)=0 在区间[0,2]上有两解,则 Δ ≥0, ? ? m-1 ?0<- 2 <2, ? ?f?2?≥0, ?m-1? -4≥0, ? ? ∴?-3<m<1, ? ?4+?m-1?×2+1≥0.
2 2 2 2

m≥3或m≤-1, ? ?-3<m<1, ∴? 3 m≥- , ? ? 2
3 ∴- ≤m≤-1. 2 由①②可知 m 的取值范围是(-∞,-1]. 方法二 显然 x=0 不是方程 x +(m-1)x+1=0 的解, 0<x≤2 时,方程可变形为 1 1-m=x+ ,
2

x

1 又∵y=x+ 在(0,1]上单调递减,[1,2]上单调递增,

x

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1 ∴y=x+ 在(0,2]的取值范围是[2,+∞),

x

∴1-m≥2,∴m≤-1, 故 m 的取值范围是(-∞,-1]. B 组 专项能力提升 (时间:30 分钟) 1 ? ? -3, x∈?-1,0], 1.(2014·重庆改编)已知函数 f(x)=?x+1 ? ?x, x∈?0,1],

且 g(x)=f(x)

-mx-m 在(-1,1]内有且仅有两个不同的零点,则实数 m 的取值范围是________.

? 9 ? ? 1? 答案 ?- ,-2?∪?0, ? ? 4 ? ? 2?
解析 作出函数 f(x)的图象如图所示, 其中 A(1,1),B(0,-2).

1 因为直线 y=mx+m=m(x+1)恒过定点 C(-1,0), 故当直线 y=m(x+1)在 AC 位置时, m= , 2 可知当直线 y=m(x+1)在 x 轴和 AC 之间运动时两图象有两个不同的交点(直线 y=m(x+1) 1 可与 AC 重合但不能与 x 轴重合),此时 0<m≤ ,g(x)有两个不同的零点.当直线 y=m(x+ 2 1 ? ?y= - 3, 1)过点 B 时, m=-2; 当直线 y=m(x+1)与曲线 f(x)相切时, 联立? x+1 ? ?y=m?x+1?, 9 4



mx2+(2m+3)x+m+2=0,由 Δ =(2m+3)2-4m(m+2)=0,解得 m=- ,可知当 y=m(x+
1)在切线和 BC 之间运动时两图象有两个不同的交点(直线 y=m(x+1)可与 BC 重合但不能与 9 9 切线重合), 此时- <m≤-2, g(x)有两个不同的零点. 综上, m 的取值范围为(- , -2]∪(0, 4 4 1 ]. 2 2.若直角坐标平面内的两点 P,Q 满足条件:①P,Q 都在函数 y=f(x)的图象上;②P,Q 关于原点对称.则称点对[P,Q]是函数 y=f(x)的一对“友好点对”(点对[P,Q]与[Q,P]
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?log2x,x>0, ? 看作同一对“友好点对”).已知函数 f(x) =? 2 ?-x -4x,x≤0, ?

则此函数的“友好点

对”有________对. 答案 2 解析 函数 f(x)=
? ?log2x,x>0, ? 2 ?-x -4x,x≤0 ?

的图象及函数 f(x)=-x -4x(x≤0)的图象关

2

于原点对称的图象如图所示,则 A,B 两点关于原点的对称点一定 在函数 f(x)=-x -4x(x≤0)的图象上,故函数 f(x)的“友好点 对”有 2 对. 3.若方程 4-x =k(x-2)+3 有两个不等的实根,则 k 的取值范围是________. 5 3 答案 ( , ] 12 4 解析 作出函数 y1= 4-x 和 y2=k(x-2)+3 的图象如图所示, 函数
2 2 2

y1 的图象是圆心在原点, 半径为 2 的圆在 x 轴上方的半圆(包括端点),
函数 y2 的图象是过定点 P(2,3)的直线,因为点 A(-2,0),则 kPA= 3-0 3 = .直线 PB 是圆的切线,由圆心到直线的距离等于半径 2-?-2? 4 |3-2kPB| 5 得, =2,得 kPB= .由图可知当 kPB<k≤kPA 时,两函数图象有两个交点,即原方程 2 12 kPB+1 5 3 有两个不等实根.所以 <k≤ . 12 4
? ?a , 4.已知 0<a<1,k≠0,函数 f(x)=? ?kx+1, ?
x

x≥0, x<0,

若函数 g(x)=f(x)-k 有两个

零点,则实数 k 的取值范围是________. 答案 (0,1) 解析 函数 g(x)=f(x)-k 有两个零点,即 f(x)-k=0 有两个解,即 y=f(x)与 y=k 的图 象有两个交点.分 k>0 和 k<0 作出函数 f(x)的图象.当 0<k<1 时,函数 y=f(x)与 y=k 的 图象有两个交点;当 k=1 时,有一个交点;当 k>1 或 k<0 时,没有交点,故当 0<k<1 时满 足题意.

5.已知 a 是正实数,函数 f(x)=2ax +2x-3-a.如果函数 y=f(x)在区间[-1,1]上有零
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2

点,求 a 的取值范围. 1 2 解 f(x)=2ax +2x-3-a 的对称轴为 x=- . 2a 1 1 ①当- ≤-1,即 0≤a≤ 时, 2a 2 须使?
? ?f?-1?≤0, ?f?1?≥0, ?

即?

? ?a≤5, ?a≥1, ?

∴a 的解集为?. 1 1 ②当-1<- <0,即 a> 时, 2a 2 1 ? ?f?- ?≤0, 2a 须使? ? ?f?1?≥0, 1 ? ?- -3-a≤0, 即? 2a ? ?a≥1,

解得 a≥1,∴a 的取值范围是[1,+∞). e 2 6.已知函数 f(x)=-x +2ex+m-1,g(x)=x+ (x>0).
2

x

(1)若 y=g(x)-m 有零点,求 m 的取值范围; (2)确定 m 的取值范围,使得 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根. e 2 解 (1)方法一 ∵g(x)=x+ ≥2 e =2e,
2

x

等号成立的条件是 x=e, 故 g(x)的值域是[2e,+∞), 因而只需 m≥2e,则 y=g(x)-m 就有零点. e 方法二 作出 g(x)=x+ (x>0)的大致图象如图.
2

x

可知若使 y=g(x)-m 有零点,则只需 m≥2e. (2)若 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根,即 g(x)与 f(x)的图象有两个 不同的交点, e 作出 g(x)=x+ (x>0)的大致图象如图.
2

x

∵f(x)=-x +2ex+m-1=-(x-e) +m-1+e . ∴其图象的对称轴为 x=e,开口向下, 最大值为 m-1+e . 故当 m-1+e >2e,即 m>-e +2e+1 时,g(x)与 f(x)有两个交点,即 g(x)-f(x)=0 有两 个相异实根. ∴m 的取值范围是(-e +2e+1,+∞).
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