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阶段性测试题五(平面向量)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每 小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2014· 淮南市高三第一次模拟)已知 a=(3,-2),b=(1,0)向 量 λa+b 与 a-2b 垂直,则实数 λ 的值为( 1 A.-6 1 C.-7 [答案] C [解析] 向量 λa+b 与 a-2b 垂直,则(λa+b)(a-2b)=0,又因 为 a=(3,-2),b=(1,0),故(3λ+1,-2λ)(1,-2)=0,即 3λ+1+ 1 4λ=0,解得 λ=-7. 2. 已知两非零向量 a, b 则 a· b=|a||b|”是“a 与 b 共线”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] A [解析] 因为 a· b=|a||b|cos<a,b>=|a||b|,所以 cos<a,b>=1, 所以<a,b>=0,此时 a 与 b 共线,若 a 与 b 共线,则有<a,b>=0 或<a,b>=π,当<a,b>=π 时,a· b=|a||b|cos<a,b>=-|a||b|,所以 “a· b=|a||b|”是“a 与 b 共线”的充分不必要条件,选 A. 3.(2014· 湖北八校联考)若两个非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b| B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) 1 B.6 1 D.7 )

=2|a|,则向量 a+b 与 a 的夹角为( π A.6 2π C. 3 [答案] B [解析]
2 2

) π B.3 5π D. 6

由|a-b|=|a+b|,平方得|a-b|2=|a+b|2,a2-b2-2a· b

?a+b?· a a2+b· a 1 π =a · b +2a· b,则 a· b=0,则 cosθ= = =2,θ=3. |a+b|×|a| 2|a|×|a| 4.(2014· 德州月考)设 x,y∈R,向量 a=(x,1),b=(1,y) ,c =(2,-4)且 a⊥c,b∥c,则|a+b|=( A. 5 C.2 5 [答案] B [解析] ∵向量 a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4), 且 a⊥c,b∥c,∴2x-4=0,-4-2y=0, 解得 x=2,y=-2,故 a+b=(3,-1), 故有|a+b|= 32+?-1?2= 10,故选 B 5.(2014· 淮南一模)关于平面向量 a,b,c,有下列三个命题: ①若 a· b=a· c,则 b=c; ②若 a=(1,k),b=(-2,6),a∥b,则 k=-3; ③非零向量 a 和 b 满足|a|=|b|=|a-b|, 则 a 与 a+b 的夹角为 30° . 其中真命题的序号为( A.①② C.②③ [答案] C [解析] ①当 a=0 时,b,c 不一定相等,故①不正确;②若 a ) B.①③ D.①②③ )

B. 10 D.10

→ ∥b,则有 1×6-k(-2)=0,解得 k=-3,故②正确;③令 a=OA, → → → → b=OB,则 a-b=OA-OB=BA,因为|a|=|b|=|a-b|,所以△OAB 为正三角形.设以 OA,OB 为邻边的平行四边形 OACB,因为△OAB 为正三角形,所以 OACB 为菱形且∠AOB=60° .由向量加法的平行四 → 边形法则可知 a+b=OC,所以∠AOC=30° ,故③正确. 6.(2014· 南通市调研)如图,平行四边形 ABCD 中,AB=2,AD → → 1 =1, ∠A=60° , 点 M 在 AB 边上, 且 AM=3AB, 则DM· DB等于( )

3 A.- 2 C.-1 [答案] D

3 B. 2 D.1

→ → → 1→ → [解析] 根据图形得:DM=AM-AD=3AB-AD, → → → → → 1→ → → → DB=AB-AD,故DM· DB=(3AB-AD)(AB-AD) → 4→ → 1→2 =3AB +AD 2 -3AD· AB 1 4 =3×22+12-3×1×2×cos60° =1.

π π 7. (2014· 安徽名校联考)函数 f(x)=2sin(ωx+φ), (ω>0, -2<φ<2) → → 的图像如图示,AB· BD=( )

A.8 π2 C. 8 -8 [答案] C

B.-8 π2 D.- 8 +8

T π π π [解析] 由图可知,4=3-12=4,所以 T=π, π π 故 ω=2,又 2· + φ = π ,得 φ = 3 3, → π → π π 7π 从而 A(-6,0),B(12,2),D(12,-2),所以AB=(4,2),BD= π (2,-4), → → π π π2 AB· BD=(4,2)(2,-4)= 8 -8,故选 C. 8. (2014· 山东聊城模拟)设向量 a=(cosα, sinα), b=(cosβ, sinβ), 其中 0<α<β<π,若|2a+b|=|a-2b|,则 β-α 等于( π A.2 π B.-2 )

π C.4 [答案] A [解析] 由|2a+b|=|a-2b|知 3|a|2-3|b|2+8a· b=0. 而|a|=1,|b|=1,故 a· b=0,

π D.-4

即 cos(α-β)=0,由于 0<α<β<π, π 故-π<α-β<0,故 β-α=2,选 A. 9.(文)(2014 陕西西工大附中适应性训练)已知向量 m,n 满足 m → → 3 3 =(2,0),n=(2, 2 ).在△ABC 中,AB=2m+2n,AC=2m-6n,D → 为 BC 边的中点,则|AD|等于( A.2 C.6 [答案] A → 1→ → 1 → → [解析] 由 D 为 BC 边的中点得, |AD|=2|AB+AC|.又∵2(AB+AC) 1 =2(4m-4n)=2m-2n=(1,- 3), → ∴|AD|=2,故选 A. (理)(2014· 洛阳示范高中联考)若△ABC 的三个内角 A,B,C 成 → → → 等差数列,且(AB+AC)· BC=0,则△ABC 一定是( A.等腰直角三角形 C.等边三角形 ) ) B.4 D.8

B.非等腰直角三角形 D.钝角三角形

[答案] C → → → [解析] ∵(AB+AC)· BC=0, → → → → ∴(AB+AC)(AC-AB)=0, → → → → 2 2 ∴AC -AB =0,即|AC|=|AB| 又 A,B,C 成等差数列,∴B=60° . 从而 C=A=60° .故△ABC 为等边三角形. 10.(2014· 兰州诊断)在△ABC 所在平面上有三点 P,Q,R,满 → → → → → → → → → → → → 足PA+PB+PC=AB,QA+QB+QC=BC,RA+RB+RC=CA,则△ PQR 的面积与△ABC 的面积之比为( A.1:2 C.1:4 [答案] B → → → → [解析] 由题意可得:2PA+PC=0,QA=-2QB, → → RB=-2RC, 2 1 ∵S△PQR=S△ABC-(S△PRC+S△RQB+S△QPA)=S△ABC-3×9S△ABC=3S
△ABC

) B.1:3 D.1:5

, ∴ S△PQR 1 = . S△ABC 3 第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,把正确

答案填在题中横线上)

→ 11.(文)(2014· 洛阳统考)若 A、B、C、D 四点共线,且满足AB= → (3a,2a)(a≠0),CD=(2,t),则 t=________. 4 [答案] 3 [解析] 因为 A、B、C、D 四点共线,所以 3at-4a=0, 4 又 a≠0,所以 t=3. 1 (理)(2014· 商丘模拟)已知向量 a=(1-sinθ,1),b=(2,1+sinθ), 若 a∥b.则锐角 θ=________. [答案] 45° 1 [解析] 因为 a∥b, 所以(1-sinθ)×(1+sinθ)-1×2=0, 得 sin2θ 1 2 =2,sinθ=± 2 ,锐角 θ 为 θ=45° . 12 . ( 文 ) 向量 a = (3,4) 在向量 b = (1 ,- 1) 方向上的投影为 ________. 2 [答案] - 2 [解析] 向量投影的定义知,向量 a 在向量 b 方向上的投影是 ?3,4?· ?1,-1? 3-4 a· b acos<a,b>,它还等于 |b| ,故所求投影为 = =- |?1,-1?| 2 2 2. (理)(2014· 衡阳六校联考) 已知向量 a、b 的夹角为 120° ,|a|=2, |b|=3,则 |2a-b|=________. [答案] [解析] 37 由向量 a、b 的夹角为 120° ,|a|=2,|b|=3 得 a· b=

|a|· |b|· cos120° =-3, 故|2a-b|= 4a2-4a· b+b2= 37. 13.(2012· 扬州模拟)已知向量 a=(sinq,-2)与 b=(1,cosq)互 π 相垂直,其中 q∈(0,2),则 cosq=________. [答案] 5 5

[解析] 由 a⊥b,∴a· b=0,则 sinq-2cosq=0,又 sin2q+cos2q π 5 =1,且 q∈(0,2),所以 cosq= 5 . 14.(2014· 延吉市质检)若向量 a,b,满足|a|=1,|b|= 2,且 a ⊥(a+b),则 a 与 b 的夹角为________. [答案] 3π 4

[解析] 因为 a⊥(a+b),所以 a· (a+b)=a2+a· b=0,所以 a· b -1 a· b 2 =-a2=-1,所以 cos<a,b>=|a||b|= =- 2 ,所以 a 与 b 的 1× 2 3π 夹角为 4 . → → 15.(文)(2014· 合肥调研)在△ABC 中,∠A=120° ,AB· AC=-1, → → → 则|AB||AC|=________.|BC|的最小值是________. [答案] 2, 6 [解析] → ||AC|=2, → → → → → → → → → 2 2 2 | BC | = | AC | + | AB | - 2| AB || AC |cos120° ≥2| AB || AC | + | AB || AC | = → → → → → 1→ → AB· AC=|AB||AC|· cos120° =-2|AB||AC|=-1,所以|AB

→ → → 3|AB||AC|=6,所以|BC|≥ 6.

→ 1→ (理)(2014· 福州质检)如图,在 ABC 中,AN=3NC,P 是 BN 上的 → → 1→ 一点,若AP=mAB+8AC,则实数 m 的值为________. 1 [答案] 2 → → → [解析] 因为 B, P, N 三点共线, 所以可设AP=λAB+(1-λ)AN, → → 1-λ → → 1→ ?m=λ 故AP=λAB+ 4 · AC,又 AP=mAB+8AC,所以?1-λ 1 ? 4 =8 1 m=2. 三、 解答题(本大题共 6 个小题, 共 75 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分 12 分)已知向量 a=(3,-2),b=(-2,1),c= (7,-4),是否能以 a,b 为平面内所有向量的一组基底?若能,试 将向量 c 用这一组基底表示出来;若不能,请说明理由. [解析] ∵a=(3,-2),b=(-2,1). ∴a· b=3×1-(-2)×(-2)=-1≠0. ∴a 与 b 不共线,故一定能以 a,b 作为平面内的所有向量的一

,解得

组基底. 设 c=λa+ub 即(7,-4)=(3λ,-2λ)+(-2u,u)=(3λ-2u,-2λ +u),
?3λ-2u=7 ?λ=1, ? ? ∴? ,解得? ∴c=a-2b. ? ? ?-2λ+u=-4 ?u=-2.

17.(本小题满分 12 分)A、B、C 是△ABC 的内角,a、b、c 分别 B 是其对边,已知 m=(2sinB,- 3),n=(cos2B,2cos2 2 -1),且 m∥n, B 为锐角. (1)求 B 的大小; (2)如果 b=3,求△ABC 的面积的最大值. [解析 ] B (1)∵ m∥n,∴2sinB(2cos2 2 -1)-(- 3)cos2B=0,∴

sin2B+ 3cos2B=0, π π ∴2sin(2B+3)=0,∴2B+3=kπ(k∈Z), kπ π ∴B= 2 -6, π ∵B 为锐角,∴B=3. (2)由余弦定理,b2=a2+c2-2accosB, ∴9=a2+c2-ac, ∵a2+c2≥2ac,∴ac≤9.等号在 a=c 时成立, 1 1 3 9 3 ∴S△ABC=2acsinB≤2×9× 2 = 4 . 故△ABC 的面积的最大值为 9 3 4 .

18.(本小题满分 12 分)(2014· 东北三校联考) 如图,在等腰直角

三角形 ABC 中,∠ACB=90° ,CA=CB,D 为 BC 的中点,E 是 AB 上的一点,且 AE=2EB.求证:AD⊥CE.

→ → → 1→ → 2→ [解析] AD· CE=(AC+2CB)· (CA+3AB) → 1→ → 2→ → 1→ → 2 =-|AC| +2CB· CA+3AB· AC+3AB· CB 1→ → 2 2 → 2→ =- |AC|2+ 2| CB || CA |cos90° + 3 | AC |2cos45° + 3 | AC |2cos45° = → → 2 -|AC| +|AC|2=0, → → ∴AD⊥CE,即 AD⊥CE. 19.(本小题满分 12 分)(2014· 深圳调研)已知 a=(cosα,sinα),b =(cosβ,sinβ),a 与 b 之间有关系|ka+b|= 3|a-kb|,其中 k>0, (1)用 k 表示 a· b; (2)求 a· b 的最小值,并求此时 a 与 b 的夹角的大小. [解析] (1)已知|ka+b|= 3|a-kb|,两边平方, 得|ka+b|2=( 3|a-kb|)2 k2a2+b2+2ka· b=3(a2+k2b2-2ka· b), ∴8k· a· b=(3k-k2)a2+(3k2-1)b2 ?3-k2?a2+?3k2-1?b2 a· b= , 8k

∵a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ), ∴a2=1,b2=1, 3-k2+3k2-1 k2+1 ∴a· b= = 4k . 8k k2+1 2k 1 (2)∵k +1≥2k,即 4k ≥4k=2,
2

1 ∴a· b 的最小值为2, 又∵a· b=|a|· |b|· cosγ,|a|=|b|=1, 1 ∴2=1×1×cosγ,∴γ=60° , 此时 a 与 b 的夹角为 60° .


20 . (本小题满分 13 分 )(2014· 山西四校联考 )已知向量 O P =

→ → → π π (2cos(2+x), -1), O Q =(-sin(2-x), cos2x), 定义函数 f(x)=O P · OQ.
(1)求函数 f(x)的表达式,并指出其最大值和最小值; (2)在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 f(A) =1,bc=8,求△ABC 的面积 S.

→ →
[解析] (1)f(x)=O P · O Q =(-2sinx, -1)· (-cosx, cos2x)=sin2x -cos2x π = 2sin(2x-4), ∴f(x)的最大值和最小值分别是 2和- 2. π 2 (2)∵f(A)=1,∴sin(2A-4)= 2 . π π π 3π ∴2A-4=4或 2A-4= 4 .

π π ∴A=4或 A=2. π 又∵△ABC 为锐角三角形,∴A=4, ∵bc=8, 1 ∴△ABC 的面积 S=2bcsinA 1 2 =2×8× 2 =2 2. 21.(本小题满分 14 分)(2014· 杭州第二次质检)已知 O 为坐标原

→ → →





点,向量 O A =(sinα,1),O B =(cosα,0),O C =(-sinα,2),点 P 满足 A B =B P . π π (1)记函数 f(α)=P B · C A ,α∈(-8,2),讨论函数 f(α)的单调性, 并求其值域;

→ →

→ → →
则 B P =(x-cosα,y).

→ →

(2)若 O,P,C 三点共线,求|O A +O B |的值. [解析] (1)A B =(cosα-sinα,-1),设 O P =(x,y),

→ →



由 A B =B P 得 x=2cosα-sinα,y=-1, 故 O P =(2cosα-sinα,-1).

→ → →



P B =(sinα-cosα,1),C A =(2sinα,-1). f(α)=P B · C A =(sinα-cosα,1)· (2sinα,-1)

=2sin2α-2sinαcosα-1=-(sin2α+cos2α) π =- 2sin(2α+4), π π π 5π 又 α∈(-8,2),故 0<2α+4< 4 , π π π π 当 0<2α+4≤2,即-8<α≤8时,f(α)单调递减; π π 5π π π 当2<2α+4< 4 ,即8<α<2时,f(α)单调递增, π π 故函数 f(α)的单调递增区间为(8,2), π π 单调递减区间为(-8,8], π 2 因为 sin(2α+4)∈(- 2 ,1], 故函数 f(α)的值域为[- 2,1).


由 O,P,C 三点共线可得



(2)O P =(2cosα-sinα,-1),O C =(-sinα,2),

4 (-1)×(-sinα)=2×(2cosα-sinα),得 tanα=3. sin2α= 2sinαcosα 2tanα 24 . 2 2 = 2 = sin α+cos α 1+tan α 25

∴|O A +O B |= ?sinα+cosα?2+1 74 = 2+sin2α= 5 .






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