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湖南省湘阴县第一中学2016届高三数学上学期第三次月考试题 文


湘阴一中 2016 届第三次月考试卷 数 学(文 科)
时量:120 分钟

满分:150 分

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.设集合 U ? 1, 2, 3, 4 , M ? 1, 2, 3 , N ? 2, 3, 4 ,则 CU ( M ? N ) =(

?

?

?

?

?

?



A. 1 ,4

?

?

B. 2, 3

?

?

C. 2, 4

?

?
)

D.?

2.已知点 P (tan ? , cos ? ) 在第三象限,则角 ? 的终边在( A. 第一象限 B. 第二象限 C.第三象限

D.第四象限

3.设集合 M ? x 0 ? x ? 3 , N ? x 0 ? x ? 2 ,则 是 的( “a ? M ” “a ? N”

?

?

?

?



A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.已知函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?
2

), x ? R ,则 f ( x) 是(



A.最小正周期为? 的奇函数

B.最小正周期为? 的偶函数

C.最小正周期为 的奇函数 2
5.已知函数 f ( x) ? A.3
3

?

D.最小正周期为 的偶函数 2
( )

?

x ? 1,.若f (a ) ? 3, 则实数a ?
C.8

B.6

D.10 )

6.函数 f ( x) ? x ? 3 x ? 4b 在(0,1)内有零点.则( A.b>0 B.b<1 C.0<b<1 D.b<

1 2

π ? π? 7. 将函数 y=sin?x+ ?(x∈R)的图象上所有的点向左平行移动 个单位长度,再把图象上 6 4 ? ? 各点的横坐标扩大到原来的 2 倍(纵坐标不变),则所得到的图象的函数解析式为( 5π ? ? A.y=sin?2x+ ?(x∈R) 12 ? ? )

?x 5π ? B.y=sin? + ?(x∈R) ?2 12 ? ?x 5π ? D.y=sin? + ?(x∈R) ?2 24 ?
)

?x π ? C.y=sin? - ?(x∈R) ?2 12?
8.曲线 y=

1 3 x ? x 2 ? 5 在 x=1 处的切线的倾斜角为( 3

-1-

A.

?
6

B.

3? 4
2

C.

?
4

D.

?
3


9.已知 t an ? ? 2 ,则 sin

? ? sin ? cos ? ? 2 cos2 ? ? (
5 4 C. ? 3 4
) C. (0,1) ? (1, 2)
? 1 2

A. ?

4 3

B.

D.

4 5

10.函数 f ( x) ? A.

4 ? x2 的定义域为( ln x
B. (0, 2]

[?2, 2]

D. (0,1) ? (1, 2] ) (D) y ? z ? x

11. 已知 x ? ln ? , y ? log 5 2 , z ? e (A) x ? y ? z (B) z ? x ? y

,则(

(C) z ? y ? x

12.定义在 R 上的偶函数满足 f(X+1)+f(X)=0,且 f(X)在[3,4]上为增函数,若 A B 是锐角三角 形的两角,则( )

A.. f (sin A) ? f (cos B) D.. f (cos A) ? f (cos B)

B.. f (sin A) ? f (cos B)

C.. f (sin A) ? f (sin B)

二、填空题:本大题共 4 个小题,共 20 分,将答案填写在题中的横线上. 13.命题“ ?x ? R, x - x ? 3 ? 0 ”的否定是______________
2

14.已知直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P 是腰 DC 上的动点,则 的最小值为_______. 15.已知 cos ? ?

3 5 , cos(? ? ? ) ? ? , ? , ? 都是锐角,则 cos ? = 5 13

16.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不相同,则称这些函数为“孪生函数” 。 例如解析式为 y ? 2 x ? 1 ,值域为 ?9? 的“孪生函数”有 3 个:
2

(1) y ? 2 x ? 1,.x ? ?? 2?; (2) y ? 2 x ? 1,.x ? ?2?; (3) y ? 2 x ? 1,.x ? ?? 2,.2? .
2 2 2

1,5?的“孪生函数”有__________个 那么函数解析式为 y ? 2 x ? 1 ,值域为 ?
2

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)
-2-

已知函数 f ( x) ?

(sin x ? cos x) sin 2 x 。 sin x

(1)求 f ( x) 的定义域及最小正周期; (2)求 f ( x) 的单调递增区间。

18. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bsinA= 3 acosB。 (1)求角 B 的大小; (2)若 b=3,sinC=2sinA,求 a,c 的值.

19. (本小题满分 12 分)已知向量 m ? (sin x,1) , n ? ( 3 A cos x , A cos 2 x) ( A ? 0) ,函数

2

f ( x) ? m ? n 的最大值为 4.

-3-

(1)求 A ;

(2)求 f ( x) 在 x ? [0,

?
2

]上的值域.

20. (本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? x ? bx ? ax 在 x=1 处有极小值—1.
3 2

(1)求 a, b 的值;(2)求出函数 f(x)的单调区间.

21. (本小题满分 12 分)旅行社为某旅行团包飞机去旅游,其中旅行社的包机费为 16000 元. 旅行团中的每个人的飞机票按以下方式与旅行社结算:若旅行团的人数不超过 35 人时,飞机 票每张收费 800 元;若旅行团的人数多于 35 人时,则予以优惠,每多 1 人,每个人的机票费

-4-

减少 10 元,但旅行团的人数最多不超过 60 人.设旅行团的人数为 x 人,飞机票价格为 y 元, 旅行社的利润为 Q 元. (1) 写出飞机票价格 y 元与旅行团人数 x 之间的函数关系式; (2) 当旅行团人数 x 为多少时,旅行社可获得最大利润?求出最大利润.

22.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ae ? e , x ? R 有一个零点为 0,且函数 f ( x) 的导
x

?x

函数为 f ?( x) .(1)求实数 a 的值; (2)求函数 f ( x) 的单调区间及 f ?( x) 的最值; (3)请探究当 x ? [0, ??) 时,是否存在实数 k ,使得 f ( x) ? kx 恒成立, 若存在,请求出 k 的取值范围,若不存在请说明理由.

湘阴一中 2016 届第三次月考答题卷 数 学(文 科)

-5-

满分:150 分

时量:120 分钟

一、选择题:本小题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项符合题目要求.把答案填在下面表格中. 题 号 A 答 案 二、填空题:本大题 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在下面对应题号后的横线上。 13. ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 3 ? 0 ;14.
2

1 B

2 B

3 B

4 D

5 C

6 B

7 B

8 D

9 D

10 D

11 A

12

6



15.

33 65



16.

3

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

(sin x ? cos x) sin 2 x 。 sin x

(1)求 f ( x) 的定义域及最小正周期; (2)求 f ( x) 的单调递增区间。
f ( x) ? (sin x ? cos x)sin 2 x (sin x ? cos x)2sin x cos x ? ? 2(sin x ? cos x) cos x sin x sin x

解:

π? ? ? sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 , ? x | x ? kπ ,k ? Z? 4? ? 。

(1)原函数的定义域为 ? x | x ? kπ ,k ? Z? ,最小正周期为 π .
3π ? π ? ? ? (2)原函数的单调递增区间为 ? ? ? kπ , kπ ? k ? Z , ? kπ , ? kπ ? k ? Z 。 8 ? 8 ? ? ? 18. (本小题满分 12 分)

在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bsinA= 3 acosB。 (1)求角 B 的大小; (2)若 b=3,sinC=2sinA,求 a,c 的值. 【解析】 ( 1 ) ? bsinA=

3 acosB , 由 正 弦 定 理 可 得 sin B sin A ? 3 sin A cos B , 即 得

tan B ? 3 ,? B ?

?
3

.
-6-

( 2 ) ? sinC=2sinA , 由 正 弦 定 理 得 c ? 2a , 由 余 弦 定 理 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,

9 ? a 2 ? 4a 2 ? 2a ? 2a cos

?
3

,解得 a ? 3 ,? c ? 2a ? 2 3 .

19. (本小题满分 12 分)已知向量 m ? (sin x,1) , n ? ( 3 A cos x , A cos 2 x) ( A ? 0) ,函数

2

f ( x) ? m ? n 的最大值为 4.
(1)求 A ; (2)求 f ( x) 在 x ? [0,

?
2

]上的值域.

解: (1) f ( x) ?

A 3 A ? cos 2 x ? A sin 2 x ? cos 2 x ? A sin(2 x ? ) 2 2 2 6 f ( x) ? m ? n 的最大值为 4,所以 A ? 4 ???????????????????(4 分) 3 A sin x cos x ?

(2) 0 ? x ?

?
2

?

?
6

? 2x ?

?
6

?

7? 1 ? ? ? ? sin(2 x ? ) ? 1 6 2 6

? ?2 ? 4 sin(2 x ?

?

) ? 4 ,所以 f ( x) 在 x ? [0, ]上的值域为 [?2, 4] ?????(12 分) 6 2
3 2

?

20. (本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? x ? bx ? ax 在 x=1 处有极小值—1. (1)求 a, b 的值;(2)求出函数 f(x)的单调区间. 解析: (1) f ?( x) ? 3 x ? 2bx ? a
2

由题易知 ?

? f ?(1) ? 3 ? 2b ? a ? 0 ? a ? 1 ?? ? f (1) ? 1 ? b ? a ? ?1 ?b ? ?1

? f ( x) ? x 3 ? x 2 ? x ?????????????. 5 分 2 (2) f ?( x) ? 3 x ? 2 x ? 1 ? (3 x ? 1)( x ? 1) 1 由 f ?( x) ? 0 可得 x ? 1 或 x ? ? ; 3 1 由 f ?( x) ? 0 可得 ? ? x ? 1 3 1 所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 (??, ? ) , (1, ??) 3 1 函数 f ( x) 的单调递减区间为 (? ,1) ????????????. 10 分 3
21. (本小题满分 12 分)旅行社为某旅行团包飞机去旅游,其中旅行社的包机费为 16000 元. 旅行团中的每个人的飞机票按以下方式与旅行社结算:若旅行团的人数不超过 35 人时,飞机 票每张收费 800 元;若旅行团的人数多于 35 人时,则予以优惠,每多 1 人,每个人的机票费 减少 10 元,但旅行团的人数最多不超过 60 人.设旅行团的人数为 x 人,飞机票价格为 y 元, 旅行社的利润为 Q 元.

-7-

(3) 写出飞机票价格 y 元与旅行团人数 x 之间的函数关系式; (4) 当旅行团人数 x 为多少时,旅行社可获得最大利润?求出最大利润. 解: (1)依题意得,当 1 ? x ? 35 时, y ? 800 ; 当 35 ? x ? 60 时, y ? 800 ? 10( x ? 35) ? ?10 x ? 1150 ;

(1 ? x ? 35, 且x ? N ), ? 800 ?y ?? ?????????????????(4 分) ??10 x ? 1150 (35 ? x ? 60, 且x ? N ),
(2) 设利润为 Q ,则

(1 ? x ? 35, 且x ? N ), ? 800 x ? 16000 Q ? y ? x ? 16000 ? ? ??????(6 分) 2 ??10 x ? 1150 x ? 16000 (35 ? x ? 60, 且x ? N ).
当 1 ? x ? 35 且 x ? N 时, Qmax ? 800 ? 35 ? 16000 ? 12000 , 当 35 ? x ? 60 且 x ? N 时, Q ? ?10 x 2 ? 1150 x ? 16000 ? ?10( x ? 因为 x ? N ,所以当 x ? 57 或 x ? 58 时, Qmax ? 17060 ? 12000. 故当旅游团人数为 57 或 58 时,旅行社可获得最大利润为 17060 元. ??????(13 分) 22.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ae ? e , x ? R 有一个零点为 0,且函数 f ( x) 的导
x ?x

115 2 34125 , ) ? 2 2

函数为 f ?( x) .(1)求实数 a 的值; (2)求函数 f ( x) 的单调区间及 f ?( x) 的最值; (3)请探究当 x ? [0, ??) 时,是否存在实数 k ,使得 f ( x) ? kx 恒成立, 若存在,请求出 k 的取值范围,若不存在请说明理由. (1) 解:(1) 由题可知 f (0) ? ae ? e
0 ?0

?0

a ? 1 ??????. 4 分
(2)

? f ( x) ? e x ? e ? x
f ?( x) ? e x ?

即 f ( x) ? e ?
x

1 ex

1 1 ? 2 ex ? x ? 2 ? 0 x e e

所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 R, f ?( x) 的最小值为 2. ?????8 分 (3)假设当 x ? [0, ??) 时,存在实数 k ,使得 f ( x) ? kx 恒成立. 设 g ( x) ? f ( x) ? kx ? e ? e
x ?x

? kx
9分

g ?( x) ? e x ? e ? x ? k

??????.

-8-

当 k ? 2 时, g ?( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 [0, ??) 为单调递增函数,

? g ( x) ? g (0) ? 0 恒成立
所以 f ( x) ? kx 恒成立. ??????. 当 k ? 2 时, 不妨设 g ?( x) ? e ? e
x ?x

10 分

?k ? 0

则 x ? x1 ? ln

k ? k2 ? 4 k ? k2 ? 4 或 x ? x2 ? ln 2 2

? k ? 2,? x1 ? 0, x2 ? 0 ? 0 ? x ? x2 时, g ?( x) ? 0 , x ? x2 时, g ?( x) ? 0 ? g ( x) min ? g ( x2 ) ? g (0) ? 0
所以当 k ? 2 时 g ( x) ? 0 恒成立是不可能的. 综上所得:当 x ? [0, ??) 时,存在实数 k ? 2 ,使得恒成立.???? 12 分

-9-


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