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2014高考模拟三角函数、解三角形与平面向量


三角函数、解三角形与平面向量 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知全集 U=R,集合 P={x |x2 ≤1},那么?UP=( A.(-∞,-1) C.(-1,1) 【解析】 B.(1,+∞ ) D.(-∞,-1)∪ (1,+∞) ∵x2 ≤1?-1≤x ≤1, )

∴?UP=(-∞,-1)∪(1,+∞). 【答案】 D )

2.(2013· 江西高考)函数 y= x ln(1-x )的定义域为( A.(0,1) C.(0,1] 【解析】 【答案】 B.[0,1) D.[0,1] ?1-x >0 由? 得,函数定义域为[0,1). ? x ≥0 B

3. (2012· 重庆高考)已知 f (x )是定义在 R 上的偶函数, 且以 2 为周期, 则“f (x ) 为[0,1]上的增函数”是“f (x )为[3,4]上的减函数”的( A.既不充分也不必要的条件 B.充分而不必要的条件 C.必要而不充分的条件 D.充要条件 【解析】 ①∵f (x )在 R 上是偶函数,∴f (x )的图象关于 y 轴对称. )

∵f (x )为[0,1]上的增函数,∴f (x )为[-1,0]上的减函数. 又∵f (x )的周期为 2,∴f (x )为区间[-1+4,0+4]=[3,4]上的减函数. ②∵f (x )为[3,4]上的减函数,且 f (x )的周期为 2, ∴f (x )为[-1,0]上的减函数.

又∵f (x )在 R 上是偶函数,∴f (x )为[0,1]上的增函数. 由①②知 “f (x ) 为 [0,1] 上的增函数 ” 是 “f (x) 为 [3,4] 上的减函数 ” 的充要条 件. 【答案】 D )

? π? ? 1? ?,若 a=f (lg 5),b=f ?lg ? ,则( 4.已知 f (x )=sin2 ? x + ? 4? ? 5? A.a+b=0 C.a+b=1 【解析】 B.a-b=0 D.a-b=1

1? π?? 1+sin 2x ? ?2x + ??= f (x )= ? 1 - cos , ? 2? 2?? 2

1 sin?2lg 5 ? ∴a= + , 2 2 1? ? sin? 2lg ? ? 1 5? 1 sin?2lg 5 ? b= + = - . 2 2 2 2 因此,a+b=1. 【答案】 C )

5.(2013· 重庆高考)命题“对任意 x ∈R,都有 x2 ≥0”的否定为( A.对任意 x ∈R,都有 x 2 <0 B.不存在 x ∈R,使得 x2 <0 C.存在 x0 ∈R,使得 x2 0≥0 D.存在 x 0 ∈R,使得 x2 0<0

【解析】 因为“?x ∈M,p(x )”的否定是“?x ∈M,綈 p(x )”,故“对任
2 意 x ∈R ,都有 x2 ≥0”的否定是“存在 x 0 ∈R,使得 x0 <0”.

【答案】

D )

6.在△ABC 中,若 sin2 A+sin2 B<sin2 C,则△ABC 的形状是( A.锐角三角形 C.钝角三角形 【解析】 ∴cos C= B.直角三角形 D.不能确定

由正弦定理,得 a2 +b2 <c2 , a2 +b2 -c2 <0,则 C 为钝角, 2ab

故△ABC 为钝角三角形.

【答案】

C

?3x +y-6≥0, 7. (2013· 天津高考)设变量 x , y 满足约束条件 ?x -y-2≤0, ?y-3≤0,
z=y-2x 的最小值为( A.-7 C .1 【解析】 ) B.-4 D.2 可行域如图阴影部分(含边界).

则目标函数

令 z=0,得直线 l0 :y-2x =0,平移直线 l0 知,当直线 l 过 A 点时, z 取得 最小值. ?y=3, 由? 得 A(5,3). ?x -y-2=0 ∴z 最小=3-2×5=-7. 【答案】 A

8.(2013· 课标全国卷Ⅱ)已知函数 f (x )=x3 +ax 2 +bx +c,下列结论中错误的 是( ) A.?x 0 ∈R,f (x 0 )=0 B.函数 y=f (x )的图象是中心对称图形 C.若 x0 是 f (x )的极小值点,则 f (x )在区间(-∞,x0 )上单调递减 D.若 x 0 是 f (x )的极值点,则 f ′(x0 )=0 【解析】 若 c=0,则有 f (0)=0,所以 A 正确.由 f (x )=x3 +ax 2 +bx +c 得 f (x )-c=x 3 +ax2 +bx ,因为函数 f (x )=x3 +ax2 +bx 的对称中心为(0,0),所以 f (x ) =x3 +ax2 +bx +c 的对称中心为(0,c),所以 B 正确.由三次函数的图象可知, 若 x0 是 f (x )的极小值点,则极大值点在 x0 的左侧,所以函数在区间(-∞,x0 )单 调递减是错误的,D 正确. 【答案】 C

第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在题中横线 上) 9.(2013· 江西高考)设 f (x )= 3sin 3x +cos 3x ,若对任意实数 x 都有|f (x )|≤a, 则实数 a 的取值范围是________. 【解析】 由于 f (x )= 3sin 3x +cos 3x =

π? π ?? ? ? ? 2sin?3x + ?,则|f (x )|=2?sin? 3x + ??≤2,要使|f (x )|≤a 恒成立,则 a≥2. ? ? ? ? 6 6 ?? 【答案】 [2,+∞)

π 10.设 e1 ,e2 为单位向量, 且 e1 ,e2 的夹角为 ,若 a=e1 +3e2 ,b=2e1 , 3 则向量 a 在 b 方向上的射影为________. 【解析】 由于 a=e1 +3e2 ,b=2e1 ,

1 2 所以|b|=2,a· b=(e1 +3e2 )· 2e1 =2e1 +6e1 · e2 =2+6× =5, 2 所以 a 在 b 方向上的射影为|a|· cos<a,b>= 【答案】 5 2 a· b 5 = . |b| 2

11.(2013· 安徽高考改编)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b, c.若 b+c=2a,3sin A=5sin B,则角 C=________. 【解析】 由 3sin A=5sin B,得 3a=5b.又因为 b+c=2a,

5 7 所以 a= b,c= b, 3 3 5 2 7 2 ? ? b? ? +b2 -? ? b? ? ? ? ? a +b -c 3 3 ? 1 2π 所以 cos C= = =- .因为 C∈(0, π), 所以 C= . 2ab 5 2 3 2× b×b 3
2 2 2

【答案】

2π 3

12. 若非零向量 a, b 满足|a|=|b|, (2a+b)· b=0, 则 a 与 b 的夹角为________. 【解析】 ∵(2a+b)· b=0,

∴2a· b+b2 =0,

1 ∴a· b=- b2 , 2 设 a 与 b 的夹角为 θ,又|a|=|b|, 1 - b2 a· b 2 1 ∴cos θ= = =- , |a||b| |a||b| 2 ∴θ=120° . 【答案】 120°

13.(2013· 北京高考)已知点 A(1 ,-1) ,B(3,0) ,C(2,1).若平面区域 D 由所 → → → 有满足AP=λAB+μAC(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点 P 组成,则 D 的面积为________. 【解析】 → =(2,1),AC → =(1,2). 设 P(x ,y),且AB

→ =OA → +AP → =(1,-1)+λ(2,1)+μ (1,2), ∴OP ?x =1+2λ+μ, ?3μ=2y-x +3, ∴? ∴? ?y=-1+λ+2μ, ?3λ=2x -y-3, 又 1≤λ≤2,0≤μ≤1, ?0≤x -2y≤3, ∴? 表示的可行域是平行四边形及内部. ?6≤2x -y≤9 如图,点 B(3,0)到直线 x -2y=0 的距离 d= 3 5 .又|BN|= 5. 5

∴区域 D 的面积 S= 【答案】 3

3 5 × 5 =3. 5

1 14.在△ABC 中,∠C=90° , M 是 BC 的中点.若 sin∠ BAM= ,则 sin∠ 3 BAC=________. 1 2 2 【解析】 因为 sin∠ BAM= ,所以 cos∠BAM= .在△ABM 中,利用正 3 3

BM AM BM sin∠BAM 1 1 弦定理,得 = ,所以 = = = . sin∠BAM sin B AM sin B 3sin B 3cos∠BAC 在 Rt△ACM 中,有 CM,所以 CM =sin∠CAM=sin(∠ BAC-∠BAM) .由题意知 BM= AM

1 =sin(∠ BAC-∠BAM ). 3cos∠BAC

化简,得 2 2sin∠ BACcos∠BAC-cos2 ∠BAC=1. 所以 2 2tan∠BAC-1 =1,解得 tan∠BAC= 2. tan2 ∠BAC+1 6 . 3

再结合 sin2 ∠BAC+cos2 ∠BAC=1,∠BAC 为锐角可解得 sin∠ BAC= 【答案】 6 3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或 演算步骤) π 15.(本小题满分 12 分)函数 f (x )=Asin(ωx - )+1(A>0,ω>0)的最大值为 3, 6 π 其图象相邻两条对称轴之间的距离为 . 2 (1)求函数 f (x )的解析式; π α (2)设 α∈(0, ),f ( )=2,求 α 的值. 2 2 【解】 (1)∵函数 f (x )的最大值为 3,

∴A+1=3,即 A=2. π ∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为 , 2 ∴最小正周期 T=π,∴ω=2, π ∴函数 f (x )的解析式为 y=2sin(2x - )+1. 6 α π (2)∵f ( )=2sin(α- )+1=2, 2 6 π 1 ∴sin(α- )= . 6 2 π ∵0<α< , 2

π π π ∴- <α- < , 6 6 3 π π π ∴α- = ,∴α= . 6 6 3 16.(本小题满分 12 分)(2013· 北京高考)在△ABC 中,a=3,b=2 6 ,∠B =2∠A, (1)求 cos A 的值; (2)求 c 的值. 【解】 (1)因为 a=3,b=2 6 ,∠B=2∠A,

3 2 6 所以在△ABC 中,由正弦定理得 = . sin A sin 2A 所以 2sin Acos A 2 6 6 = .故 cos A= . sin A 3 3 6 3 ,所以 sin A= 1-cos2 A= . 3 3

(2)由(1)知 cos A=

1 又因为∠B=2∠A,所以 cos B=2cos2 A-1= . 3 所以 sin B= 1-cos2 B= 2 2 . 3

在△ABC 中,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+ cos Asin B= 所以 c= 5 3 . 9

asin C =5. sin A

π? ? 17.(本小题满分 14 分)(2013· 广东高考)已知函数 f (x )= 2cos?x - ?,x ∈ ? 12 ? R. ? π? (1)求 f ?- ?的值; ? 6? 3 π? ?3π ? ? (2)若 cos θ= ,θ∈? ,2π? ,求 f? 2θ+ ? . ? ? ? 5 2 3? 【解】 π? ? ? (1)因为 f (x )= 2cos? ?x -12?,

? π? ? π π? 所以 f?- ?= 2cos ?- - ? ? 6? ? 6 12?

π 2 ? π? = 2cos?- ?= 2cos = 2 × =1. ? 4? 4 2 3 ?3π ? ? (2)因为 θ∈ ? ? 2 ,2π?,cos θ=5, 所以 sin θ=- 1-cos2 θ=- 4 ? 3? ?2=- , 1-? ? 5? 5

7 ?3? cos 2θ=2cos2 θ-1=2×? ?2 -1=- , ?5? 25 3 ? 4? 24 sin 2θ=2sin θcos θ=2× ×? - ? =- . ? ? 5 5 25 π? π π ? ?= 2cos ? ?2θ+ - ? ? 所以 f? 2 θ + ? ? 3? 3 12? π? ? ? ? ?= 2 ×? 2cos 2θ- 2sin 2θ ? = 2cos? 2 θ + ? 4? ?2 ? 2 =cos 2θ-sin 2θ=- 7 ? 24? 17 -?- ?= . 25 ? 25? 25 3x 3x x ,sin ),b=(-sin ,-cos 2 2 2

18.(本小题满分 14 分)已知向量 a=(cos x π ),其中 x ∈[ ,π]. 2 2 (1)若|a+b|= 3 ,求 x 的值;

(2)函数 f (x )=a· b+|a+b|2 ,若 c>f (x )恒成立,求实数 c 的取值范围. 【解】 (1)∵a+b=(cos ?cos 3x x 3x x -sin ,sin -cos ), 2 2 2 2

∴|a+b|=

3x x 3x x -sin ?2 +?sin -cos ?2 = 2-2sin 2x , 2 2 2 2

1 由|a+b|= 3 ,得 2-2sin 2x = 3 ,即 sin 2x =- . 2 π ∵x ∈[ ,π],∴π≤2x ≤2π. 2 π π 7π 11π 因此 2x =π+ 或 2x =2π- ,即 x = 或 x = . 6 6 12 12 (2)∵a· b=-cos 3x x 3x x sin -sin cos =-sin 2x , 2 2 2 2

∴f (x )=a· b+|c+b|2 =2-3sin 2x , ∵π≤2x ≤2π,∴-1≤sin 2x ≤0,

∴2≤f (x )=2-3sin 2x ≤5,∴[f (x )]max =5. 又 c>f (x )恒成立, 因此 c>[f (x )]max ,则 c>5. ∴实数 c 的取值范围为(5,+∞). 19.(本小题满分 14 分)(2013· 湖北高考)在△ABC 中,角 A,B,C 对应的边 分别是 a,b,c,已知 cos 2A-3cos( B+C)=1. (1)求角 A 的大小; (2)若△ABC 的面积 S=5 3 ,b=5,求 sin Bsin C 的值. 【解】 (1)由 cos 2A-3cos(B+C)=1,得

2cos2 A+3cos A-2=0,即(2cos A-1)(cos A+2)=0. 1 解得 cos A= 或 cos A=-2(舍去). 2 π 因为 0<A<π,所以 A= . 3 1 1 3 3 (2)由 S= bcsin A= bc· = bc=5 3 ,得 bc=20. 2 2 2 4 又 b=5,所以 c=4. 由余弦定理,得 a2 =b2 +c2 -2bccos A=25+16-20=21,故 a= 21. b c bc 2 20 3 5 又由正弦定理,得 sin Bsin C= sin A·sin A= 2 · sin A= × = . a a a 21 4 7 20.(本小题满分 14 分)已知函数 f (x )=x2 +ax +b,g(x )=ex(cx +d).若曲线 y=f (x )和曲线 y=g(x )都过点 P(0,2),且在点 P 处有相同的切线 y=4x +2. (1)求 a,b,c,d 的值; (2)若 x ≥-2 时,f (x )≤kg(x ),求 k 的取值范围. 【解】 (1)∵曲线 y=f (x )和曲线 y=g(x )都过点 P(0,2),

∴b=d=2. ∵f ′(x )=2x +a,故 f ′(0)=a=4. ∵g′(x )=ex(cx +d+c), ∴g′(0)=2+c=4,故 c=2. 从而 a=4,b=2,c=2,d=2. (2)令 F(x )=kg(x )-f (x ),

则 F′(x )=(k ex-1)(2x +4), 由题设可得 F(0)≥0,故 k ≥1, 令 F′(x )=0 得 x1 =-ln k ,x 2 =-2, ①若 1≤k <e2 ,则-2<x1 ≤0, 从而当 x ∈[-2,x1 )时,F′(x )<0, 当 x ∈(x1 +∞)时,F′(x )>0, 即 F(x ) 在 [ - 2 ,+ ∞) 上最小值为 F(x1 ) = 2x1 + 2 -x 2 1 - 4x 1 - 2 =-x1 (x1 + 2)≥0,此时 f (x )≤kg(x )恒成立; ②若 k =e2 ,F′(x )=(ex 2 -1)(2x +4),


故 F(x )在[-2,+∞)上单调递增, 因为 F(-2)=0,所以 f (x )≤kg(x )恒成立; ③若 k >e2 ,则 F(-2)=-2k e-2 +2=-2e-2 (k -e2 )<0, 从而当 x ∈[-2,+∞)时, f (x )≤kg(x )不可能恒成立. 综上所述 k 的取值范围为[1,e2 ].



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