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2015届高三数学一轮复习导学案(数列)


2015 届高三数学一轮复习导学案

第四章 数列 数列的概念及简单表示法
学习目标: 了解数列是一种离散函数,可用通项公式(解析法) 、图表、递推公式等来表示. 掌握数列通项求解的常见方法:观察、归纳;和项转化;累加;累乘;简单构造. 能从函数的角度分析简单数列的性质:单调性、周期性、最值. 学习重点:数列通项的求法和简单性质的分析. 一 小题自测 1.设函数 f ?x ? 的定义如下图,定义数列{an}: a1 ? 5 , an ?1 ? f ?an ?, n ? N ? ,则 a 5 ? 2.根据数列的前几项,写出各数列的一个通项公式. (1)4,6,8,10,…; an= 1 1 1 1 (2)- , ,- , ,…; 1×2 2×3 3×4 4×5 an= ; ; ; ;

x

1

2

3

4

5

f ?x ? 1 4 2 5 3

(3)a,b,a,b,a,b,…(其中 a,b 为实数);an= (4)9,99,999,9999,….


an=

?2· 3n 1?n为偶数?, ? 3.已知数列{an}的通项公式是 an=? 则 a4· a3=________ ?2n-5?n为奇数?, ?

4.已知数列 {an }中,a1 ? 2, a2 ? 5, an?2 ? an?1 ? an , 则a100 ? 5. 数列{a n }中, a n ?
n (n ? N ? ), 则数列中的最大项是 n ? 156
2

. .

? ??3-a?x-3,x≤7, 6.已知函数 f(x)=? x-6 数列{an}满足 an=f(n),n∈N*,且数列{an}是递增 ?a , x>7, ?

数列,则实数 a 的取值范围是________. 7.数列 {an }的前 n项和 S n ?

n ?1 , 则a3 ? n?2

. .

8.数列 {an} 的前n项和Sn ? ?n 2 ? 21n, 则 Sn 的最大值是________;此时 n ?

二 例题精析 例 1.已知数列{an}的前 n 项和 Sn,求{an}的通项公式:(1)Sn=2n2-3n;(2)Sn=3n+b.

1

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例 2. 已知数列{an}的前 n 项和 Sn,分别求下列数列{an}的通项公式: (1)各项均为正数的数列{an}满足 Sn>1,6Sn=(an+1)(an+2),n∈N*,求{an}的通项公式. 1 (2)数列{an}满足 an+2Sn· Sn-1=0 (n≥2),a1= .求{an}的通项公式. 2

n+2 例 3.(1) 已知数列{an}中,a1=1,前 n 项和 Sn= a . 求 an;(2) 已知 a1=2,an+1=an+ 3 n 3n+2,求 an;(3)数列{an}满足 a1=1,an+1=3an+2,求 an .

例 4.已知数列{an}的通项公式为 an=n2-21n+20.(1)n 为何值时,an 有最小值?并求出最小 值;(2)n 为何值时,该数列的前 n 项和最小?;(3)设 b n ?

an ,则 n 为何值时, bn 有最小 n

值,并求最小值;(4)若 an=n2- ? n+20,且{an}是增数列,求 ? 的取值范围.

2

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等差数列的概念
学习目标:1.掌握等差数列的概念;2 熟练掌握等差数列的通项公式及简单的性质 学习重点:1.掌握等差数列判断、证明的基本方法;2.利用通项公式及简单性质求解基本量 一、小题自测 1.写出下列等差数列中的未知项 (1) x, lg 3, lg 6, y (2) a, b,-10,c,-20

x? a?

; y? ;

;

b?

;

c

;

2.写出下列各组数的等差中项 (1) 7 ? 3 5 和 7 ? 3 5 (2) ?m ? n ? 和 ?m ? n ?
2 2

3.等差数列{an}中, (1)若 a1 ? ?1, d ? 4, 则 a8 ? (3)若 a 4 ? 4, a8 ? ?4, 则 a12 ? 4.在等差数列{an}中, (1)已知 a 3 ? 31 , a7 ? 76 ,则 a1 ? ;d ? .

; (2)若 a7 ? 8, d ? ? , 则 a1 ?

1 3



;(2) 已知 a1 ? a6 ? 12, a4 ? 7 ,则 a9 ?

5.设数列{an},{bn}都是等差数列,若 a1+b1=7,a3+b3=21,则 a5+b5=________. 6. 在等差数列{an}中,已知 a3+a8=10,则 3a5+a7=________. 7. 在等差数列{an}中,若 a3+a9+a27=12,则 a13=________ 8.教材利用了叠加法推导了等差数列{an}的通项公式,请写出推导过程.

若数列{an}满足 a1 ? 1, an ? an ?1 ? 2n ? 2?n ? 2? ,你能借助以上思路求出其通项吗?

二、例题精析 2 2 2 1. 设{an}是公差不为零的等差数列,满足 a2 2+a3=a4+a5, a1 ? a7 ? 2 .(1)求{an}的通项公 amam+1 式;(2)求所有的正整数 m,使得 为数列{an}中的项. am+2

3

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例 2.等差数列{an}中, a4 ? a2 ? 8, a1 ? a10 ? 38 .(1)求通项公式 an;(2)设 p, q ? N ? ,试判 断 a p aq 是否仍是{an}中的项?说明理由.

1 例 3.数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a1= ,an=-2SnSn-1(n≥2 且 n∈N*).(1)求证:数 2
?1? 列?S ?是等差数列.(2)求 Sn 和 an. ? n?

例 4.已知数列{an}满足 a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ) . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若数列 {bn } 满足 4 1
b ?1 b2 ?1

4

...4bn ?1 ? (an ?1)bn .(n ? N * ) ,证明数列 {bn } 是等差数列.

, 2, ) 例 5.数列{an}满足 a1 ? 1 ,an?1 ? (n2 ? n ? ? )an ( n ? 1 ,? 是常数. (1)当 a2 ? ?1
时,求 ? 及 a3 的值; (2)数列{an}是否可能为等差数列?若可能,求出它的通项公式;若 不可能,说明理由.

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等比数列的概念
学习目标:1.掌握等比数列的概念;2 熟练掌握等比数列的通项公式及简单的性质. 学习重点:1.掌握等比数列判断、证明的基本方法;2.利用通项公式及简单性质求解基本量 一、小题自测 ? an ? 1.已知等比数列{an}.在①{an+an+1},②{an+1-an},③?a ?,④{an an+1 }这四个数列中, ? n+1? 一定是等比数列的有________(填序号). 2.在等比数列{an}中, (1) 已知 a2 ? 18, a4 ? 8, 则 a1 ? (3) a4 ? 4, a9 ? 972,则 an ? 3. 45 和 80 的等比中项是 ;q ? ;(2) 已知 a 4 ? 27, q ? ?3, 则 a7 ? . . . ;

; (4) 若 a2=-2,a6=-32,则 a4= ;若 k ? 9 , 6 ? k 的等比中项是 2 k ,则 k ?

4. 在数列{an}中,a1 ? 1, log2 an ?1 ? log2 an ? 1 n ? N ? , 当 an ? 1 0 2 5 时,n 的范围是

?

?

* 5.函数 y=x2(x>0)的图像在点(ak,a2 k )处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1,其中 k∈N .若

a1=16,则 a1+a3+a5 的值是________. 6.数列{an}满足对于任意 n ? N 有 an+Sn=n,则{an}的通项公式是 7.在等比数列{an}中,若 a3a5a7=-8,则 a2a8=________
* 8.若等比数列{an}满足 am-3=4 且 amam-4=a2 4(m∈N 且 m>4),则 a1a5 的值为________.
?



9.设四个实数依次成等比数列,其积为 2 ,中间两项的和为 4,则公比为

10



10.是否存在三个实数,在成等差数列的同时又成等比数列,若无,请说明理由;若有,请 写出符合条件的三组实数 二、例题精析 例 1.在 .

1 1 和 n ? 1 之间插入 n 个正数,使之成为以 为首项, n ? 1 为末项的等比数列,求 n n

所插入的 n 个正数的积.

例 2.在数列{an}中有 a1=1, an an ?1 ? 2 n ? N ,求(1) a2015 , a2010 ;(2)求通项 an
n

?

?

?

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例 3.已知数列{an}满足 Sn ? 2an ? n n ? N ? .(1)求通项公式;(2)设 bn ? log2 ?an ? 1? , 且对任意 n ? N ,都有
?

?

?

b2 b3 b4 b ? ? ? ? n ?1 ? k n 成立,求实数 k 的最大值. b1 b2 b3 bn

例 4.已知数列 ?a n ?满足 a1 ? 1, a2 ? 2, an ? 2 ?

a n ? a n ?1 n ? N ? .(1)令 bn ? an ?1 ? an ,证 2

?

?

明数列 ?bn ?是等比数列; (2)求 ?a n ?的通项公式.

例 5. 数列{an}中 a1 ? 1, a2 ? 2, an ?1 ? ?1 ? q?an ? qan ?1 ?n ? 2, q ? 0?. (1) 令 bn ? an ?1 ? an , 证明数列{bn}是等比数列;(2) 求{an}的通项公式;(3)若 a 3 是 a6 , a9 的等差中项,求 q 的值, 并证明:对任意 n ? N , an 是 an ?3 和 an ? 6 的等差中项.
?

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数列的综合应用 学习目标:熟练掌握两类数列的公式和基本性质,关注运算的选择性和准确性 学习重点:突出基本量的运算,合理利用性质;关注运算中的整体思想、函数与方程思想。 1.等差数列{an}的公差 d≠0,a1=4d,若 ak 是 a1 与 a2k 的等比中项,则 k 的值为________. 2.设 Sn 是等比{an}的前 n 项和,S3,S9,S6 成等差数列,且 a2+a5=2am,则 m=________. 3. 数列 ?xn ? 满足 lg xn?1 ? 1 ? lg xn (n ? N ? ) , x1 ? x2 ? 则 lg( x11 ? x12 ?

x10 ? 10 ,

x20 ) ? ________.

S12 S10 4.等差数列{an}中,a1=-2 013,若 - =2,则 S2 013 的值等于________. 12 10 5.在等差数列{ an }的前 m 项的和是 30, 前 2m 项的和是 100,则数列的前 3m 项的和是______. 6.已知实数 a ? 0 ,则

1 2 3 10 ? 2 ? 3 ? ? ? 10 =_______ a a a a

. .

7.等比数列{an}的前 n 项的和是 Sn ? 2 ? 3n ? k ,则{an}的通项公式为_ 8.实数 x, a1, a2 , y 成等差数列,x, b1, b2 , y 成等比数列, 则

?a1 ? a2 ?2 的取值范围是________.
b1b2

S1 S2 S15 9.等差数列{an}中, 其前 n 项和是 Sn, 若 S15>0, S16<0, 则在 , , …, 中最大的是________. a1 a2 a15 10.{an} 是 等 差 数 列 , 公 差 d ? 0 , {an} 中 的 部 分 项 ak1 , ak 2 ,?, ak n 成 等 比 数 列 , 若

k1 ? 1, k2 ? 5 , k3 ? 17 ,则 kn ? ________.
11.将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . . . . . . 按照以上排列的规律,第 n 行(n ≥3)从左向右的第 3 个数为 二、例题精析 【例 1】已知数列{an}的前 n 项和为 Sn. (1)若数列{an}是等比数列,满足 2a1+a3=3a2,a3+2 是 a2,a4 的等差中项,求数列{an} 的通项公式; (2)是否存在等差数列{an},使对任意 n∈N*,都有 an· Sn=2n2(n+1)?若存在,请求出所 有满足条件的等差数列;若不存在,请说明理由.



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【例 2】设数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 an+Sn=An2+Bn+1(A≠0). 3 9 (1)若 a1= ,a2= ,求证数列{an-n}是等比数列,并求数列{an}的通项公式; 2 4 B-1 (2)已知数列{an}是等差数列,求 的值. A

【例 3】已知数列{an}是等比数列,且 an>0. (1)若 a2-a1=8,a3=m.①当 m=48 时,求数列{an}的通项公式;②若数列{an}是唯一的, 求 m 的值; (2)若 a2k+a2k-1+…+ak+1-(ak+ak-1+…+a1)=8,k∈N*,求 a2k+1+a2k+2+…+a3k 的最小 值.

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二、例题精析 (2014· 扬州模拟)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn. (1)若数列{an}是等比数列,满足 2a1+a3=3a2,a3+2 是 a2,a4 的等差中项,求数列{an} 的通项公式; (2)是否存在等差数列{an},使对任意 n∈N*,都有 an· Sn=2n2(n+1)?若存在,请求出所 有满足条件的等差数列;若不存在,请说明理由. 解:(1)设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,
? ?2a1+a3=3a2, 依题意有? ?a2+a4=2?a3+2?, ? ?a1?2+q2?=3a1q, ? 即? 3 2 ?a1?q+q ?=2a1q +4. ?

① ②

由①得 q2-3q+2=0,解得 q=1 或 q=2. 当 q=1 时,不合题意,舍去; 当 q=2 时,代入②得 a1=2,所以 an=2· 2n 1=2n.


(2)假设存在满足条件的数列{an},设此数列的公差为 d. n?n-1? ? 法一:[a1+(n-1)d]?a1n+ d =2n2(n+1), 2 ? ? 即 1 2? d2 2 ?3 2 2 * ? 2 3 n + ?2a1d-d ? ? n + ?a1-2a1d+2d ? = 2n + 2n 对 任 意 n ∈ N 恒 成 立 , 则 2

? ?3 ?2a d-d =2, 1 ? a d+ d =0, ?a -3 2 2
1 2 2 1 1 2

d2 =2, 2

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2015 届高三数学一轮复习导学案 ? ? ?d=2, ?d=-2, 解得? 或? 此时 an=2n 或 an=-2n. ?a1=2 ? ? ?a1=-2.

故存在等差数列{an},使对任意 n∈N*, 都有 an· Sn=2n2(n+1),其中 an=2n 或 an=-2n. 法二:令 n=1,a2 2, 1=4 得 a1=±
2 令 n=2 得 a2 +a1a2-24=0,

①当 a1=2 时,a2=4 或 a2=-6, 若 a2=4,则 d=2,an=2n,Sn=n(n+1),对任意 n∈N*,都有 an· Sn=2n2(n+1); 若 a2=-6,则 d=-8,a3=-14,S3=-18,不满足 a3· S3=2×32×(3+1),舍去. ②当 a1=-2 时,a2=-4 或 a2=6, 若 a2=-4,则 d=-2,an=-2n,Sn=-n(n+1),对任意 n∈N*,都有 an· Sn=2n2(n +1); 若 a2=6,则 d=8,a3=14,S3=18,不满足 a3· S3=2×32×(3+1),舍去. 综上所述,存在等差数列{an},使对任意 n∈N*,都有 an· Sn=2n2(n+1),其中 an=2n 或 an=-2n.

(2014· 南通一调)已知数列{an}是等比数列,且 an>0. (1)若 a2-a1=8,a3=m. ①当 m=48 时,求数列{an}的通项公式; ②若数列{an}是唯一的,求 m 的值; (2)若 a2k+a2k-1+…+ak+1-(ak+ak-1+…+a1)=8,k∈N*,求 a2k+1+a2k+2+…+a3k 的 最小值. 解:设公比为 q,则由题意,得 q>0.
? ?a1q-a1=8, (1)①由 a2-a1=8,a3=m=48,得? 2 ?a1q =48, ?

?a1=16-8 3, ?a1=16+8 3, 解得? 或? ?q=3+ 3, ?q=3- 3.
所以数列{an}的通项公式为 an=(16-8 3)(3+ 3)n
-1

或 an=(16+8 3)(3- 3)n 1.


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2015 届高三数学一轮复习导学案 ? ?a1q-a1=8, ②要使满足条件的数列{an}是唯一的, 即关于 a1 与 q 的方程组? 2 有唯一正 ?a1q =m ?

数解. 所以方程 8q2-mq+m=0 有唯一解. 则 Δ=m2-32m=0,解得 m=32 或 m=0. 因为 a3=m>0,所以 m=32,此时 q=2. 经检验,当 m=32 时,数列{an}唯一,其通项公式为 an=2n 2.


(2)由 a2k+a2k-1+…+ak+1-(ak+ak-1+…+a1)=8, 得 a1(qk-1)(qk 1+qk 2+…+1)=8,
- -

且 q>1. 则 a2k+1+a2k+2+…+a3k=a1q2k(qk 1+qk 2+…+1)=
- -

1 8q2k k =8?q -1+qk-1+2?≥32. k ? ? q -1

1 k 当且仅当 qk-1= k ,即 q= 2,等号成立. q -1 所以 a2k+1+a2k+2+…+a3k 的最小值为 32.

.(2014· 苏州质检)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 an+Sn=An2+Bn+1(A≠0). 3 9 (1)若 a1= ,a2= ,求证数列{an-n}是等比数列,并求数列{an}的通项公式; 2 4 B -1 (2)已知数列{an}是等差数列,求 的值. A 解:(1)证明:分别令 n=1,2,
?2a1=A+B+1, ? 代入条件得? ? ?2a2+a1=4A+2B+1.

?A=2, 3 9 又 a = ,a = ,解得? 2 4 3 ?B=2.
1 2

1

1 3 所以 an+Sn= n2+ n+1, 2 2 1 3 则 an+1+Sn+1= (n+1)2+ (n+1)+1. 2 2 ②-①得 2an+1-an=n+2. 1 则 an+1-(n+1)= (an-n). 2 1 因为 a1-1= ≠0, 2

① ②

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1 1 所以数列{an-n}是首项为 ,公比为 的等比数列. 2 2 1 1 所以 an-n= n,则 an=n+ n. 2 2 (2)因为数列{an}是等差数列,所以设 an=dn+c, n?d+c+dn+c? d 2 ? d? 则 Sn= = n +?c+2?n. 2 2 3d d c+ ?n+c. 所以 an+Sn= n2+? 2? ? 2 B-1 d 3d 所以 A= ,B=c+ ,c=1.所以 =3. 2 2 A

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数列的实际应用题 学习目标:能够将实际问题抽象为数列问题;将等差、等比数列的通项公式和前 n 项求和公 式应用到应用题的有关计算中去; 学习重点:等比数列通项公式和前 n 项和公式的应用. 一 基础练习 1.某种细菌在培养过程中,每 20 分种分裂一次(一个分裂为两个) ,经过 3 小时,这种细菌 由一个可以繁殖成

2.夏季山上的温度从山底起,每升高 100 m 降低 0.7?C ,已知山顶处温度是 14.8?C ,山底 处温度是 26?C ,则该山相对于山底处的高度为______

3.在制造纯净水的过程中,如果每增加一次过滤可减少水中杂质 20%,那么要使水中杂质减 少到原来的 50%以下,则至少需要过滤的次数为______ 4.用砖砌墙第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块,第二层用去了剩下砖块的一半多一 块, ,依次类推,每一层都用去了剩下砖块的一半多一块,到第 10 层恰好用完全部砖块,则 共用了_______块砖

二 例题精析 【例 1】某人于 1997 年 7 月 1 日在银行按一年定期储蓄的方式存入 a 元,1998 年 7 月 1 日, 他将到期存款的本息取出后添上 a 元再按一年定期储蓄存入银行, 此后他每年 7 月 1 日按照 同样的方法在银行取款和存款,设银行定期储蓄的年利率 r 不变,问到 2002 年 7 月 1 日他 的本息共有多少?

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【例 2 【某人年初向银行贷款 10 万元用于购房。 如果他向工商银行贷款, 年利率为 4%, 要按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息) ,分 10 次等额归还,每年一次,每年应 10 9 还多少元?(1.04 =1.48, 1.04 =1.42)

【例 3 【某地区荒山 2200 亩, 从 1995 年开始每年春季在荒山植树造林, 第一年植树 100 亩,以后每一年比上一年多植树 50 亩. (1)若所植树全部都成活,则到哪一年可将荒山全部绿化? (2)若每亩所植树苗、木材量为 2 立方米,每年树木木材量的自然增长率为 20%,那 么全部绿化后的那一年年底,该山木材总量为 S,求 S 的表达式. (3)若 1.28≈4.3 1.29≈5.2,计算 S (精确到 1 立方米).

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【例 1】某人于 1997 年 7 月 1 日在银行按一年定期储蓄的方式存入 a 元,1998 年 7 月 1 日, 他将到期存款的本息取出后添上 a 元再按一年定期储蓄存入银行, 此后他每年 7 月 1 日按照 同样的方法在银行取款和存款,设银行定期储蓄的年利率 r 不变,问到 2002 年 7 月 1 日他 的本息共有多少? 分析:逐年分析,寻找规律,建立数学模型. 解:由题意得:1998 年本息总数为 a(1+r), 2 1999 年本息总数为 a(1+r) +a(1+r), …… 2002 年本息总数为:a(1+r)5+a(1+r)4+a(1+r)3+a(1+r)2+a(1+r) 即 a(1+r)[1-(1+r)5] a = r 1-(1+r) [(1+r)6-(1+r)]

评述:解决等比数列应用题的关键是认真审题抓特点,仔细观察找规律,一般地,等比数列 的特点是增加或减少的百分数相同, 为了分析数列的规律, 一般需先写出数列的一些项加以 考查.

【例 2 【某人年初向银行贷款 10 万元用于购房。 如果他向工商银行贷款, 年利率为 4%, 要按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息) ,分 10 次等额归还,每年一次,每年应 10 9 还多少元?(1.04 =1.48, 1.04 =1.42) 解: (Ⅰ)若向建设银行贷款,设每年还款 x 元, 则 105×(1+10×5%)=x(1+9×5%)+x(1+8×5%)+x(1+7×5%)+…+x 105× 1.5 即:105×1.5=10x+45×0.05 元,解得 x= ≈12245(元) 12.25 (Ⅱ)若向工商银行贷款,每年需还 y 元,则: 9 8 105×(1+4%)10=y(1+4%) +y(1+4%) +…+y(1+4%)+y 1.0410-1 即 105×1.0410= ·y 1.04-1 其中:1.0410=1+10×0.04+45×0.04 +120×0.04 +210×0.04 +…≈1.4802.
2 3 4

105× 1.4802× 0.04 ∴y≈ ≈12330(元) 1.4802 答:向建设银行贷款,每年应付 12245 元;若向工商银行贷款,每年应付 12330 元.

【例 3 【某地区荒山 2200 亩, 从 1995 年开始每年春季在荒山植树造林, 第一年植树 100 亩,以后每一年比上一年多植树 50 亩. (1)若所植树全部都成活,则到哪一年可将荒山全部绿化? (2)若每亩所植树苗、木材量为 2 立方米,每年树木木材量的自然增长率为 20%,那 么全部绿化后的那一年年底,该山木材总量为 S,求 S 的表达式.
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2015 届高三数学一轮复习导学案

(3)若 1.28≈4.3 1.29≈5.2,计算 S (精确到 1 立方米). 分析:由题意可知,各年植树亩数为:100,150,200,……成等差数列 n(n-1) 解:(1)设植树 n 年可将荒山全部绿化,则:100n+ ×50=2200 2 解之得 n=8 或 n=-11(舍去) (2)1995 年所植树,春季木材量为 200 m3,到 2002 年底木材量则增为 200×1.28 m3. 1996 年所植树到 2002 年底木材量为 300×1.27 m3. …… 2002 年所植树到年底木材量为 900×1.2 m3,则:到 2002 年底木材总量为: 8 7 6 S=200×1.2 +300×1.2 +400×1.2 +…+900×1.2 (m3) 2 3 (3)S=900×1.2+800×1.2 +700×1.2 +…+200×1.28 2 3 8 1.2S=900×1.2 +800×1.2 +…+300×1.2 +200×1.29,两式相减得: 9 2 3 0.2S=200×1.2 +100(1.2 +1.2 +…+1.28)-900×1.2 1.22(1.27-1) 9 =200×1.2 +100× -900×1.2=1812 1.2-1 ∴S=9060( m3)

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