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高中数学必修1综合测试题及答案

必修 1 综合检测 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.函数 y= xln(1-x)的定义域为( A.(0,1) B.[0,1) )

C.(0,1] D.[0,1]
? ?

1 ? ? 2.已知 U={y|y=log2x,x>1},P=?y|y=x,x>2?,则?UP=(
?1 ? A.?2,+∞? ? ?

)
?

1? ? B.?0,2?
? ?

?1 ? C.(0,+∞) D.(-∞,0)∪?2,+∞? ?

1 3.设 a>1,函数 f(x)=logax 在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为2,则 a= ( ) 2 D.4 )

A. 2 B.2 C.2

4.设 f(x)=g(x)+5,g(x)为奇函数,且 f(-7)=-17,则 f(7)的值等于( A.17 B.22 C.27 D.12

5.已知函数 f(x)=x2-ax-b 的两个零点是 2 和 3,则函数 g(x)=bx2-ax-1 的 零点是( )

1 1 1 1 A.-1 和-2 B.1 和 2 C.2和3 D.-2和-3 6.下列函数中,既是偶函数又是幂函数的是( )

A.f(x)= x B.f(x)=x2 C.f(x)=x-3 D.f(x)=x-1 7.直角梯形 ABCD 如图 Z1(1),动点 P 从点 B 出发,由 B→C→D→A 沿边运动,设点 P 运 动的路程为 x,△ABP 的面积为 f(x).如果函 数 y=f(x)的图象如图 Z1(2), 那么△ABC 的面 积为( ) C.18 D.16

A.10 B.32

2 ? ?x +bx+c,x≤0, 8.设函数 f(x)=? 若 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于 x ?2, x>0, ?

的方程 f(x)=x 的解的个数为(

)

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 9.下列四类函数中,具有性质“对任意的 x>0,y>0,函数 f(x)满足 f(x+y)= f(x)f(y)”的是( ) C.指数函数 D.一次函数

A.幂函数 B.对数函数

10. 甲用 1000 元人民币购买了一支股票, 随即他将这支股票卖给乙, 获利 10%, 而后乙又将这支股票返卖给甲,但乙损失了 10%,最后甲按乙卖给甲的价格九 折将这支股票卖给了乙,在上述股票交易中( A.甲刚好盈亏平衡 ) D.甲亏本 1.1 元

B.甲盈利 1 元 C.甲盈利 9 元

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)
1 ? 1 ? ? 11.计算:?lg4-lg25?÷ 100 2 =__________.

?

?

12. 已知 f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+3 是偶函数, 则 f(x)的最大值是__________. 13.y=f(x)为奇函数,当 x<0 时,f(x)=x2+ax,且 f(2)=6;则当 x≥0 时,f(x) 的解析式为_______. 14.函数 y= 2x-1 ,x∈[3,5]的最小值为________;最大值为________. x+1

三、解答题(共 80 分) 15.(12 分)已知全集 U=R,集合 A={x|log2(11-x2)>1},B={x|x2-x-6>0}, M={x|x2+bx+c≥0}。(1)求 A∩B;(2)若?UM=A∩B,求 b,c 的值。

bx 16.(12 分)已知函数 f(x)= 2 (b≠0,a>0)。(1)判断 f(x)的奇偶性;(2)若 f(1) ax +1 1 1 =2,log3(4a-b)=2log24,求 a,b 的值。

17.(14 分)方程 3x2-5x+a=0 的一根在(-2,0)内,另一根在(1,3)内,求参数 a 的取值范围.

5 17 19.(14 分)已知函数 f(x)=2x+2ax+b,且 f(1)=2,f(2)= 4 。(1)求 a,b 的值;(2) 判断 f(x)的奇偶性;(3)试判断 f(x)在(-∞,0]上的单调性,并证明;(4)求 f(x) 的最小值.

20.(14 分)已知函数 f(x)=lnx+2x-6。(1)证明:函数 f(x)在其定义域上是增函 数;(2)证明:函数 f(x)有且只有一个零点;(3)求这个零点所在的一个区间,使 1 这个区间的长度不超过4。

参考答案:1.B 1? ? ?1 ? 2.A 解析:由已知 U=(0,+∞).P=?0,2?,所以?UP=?2,+∞?.故选 A. ? ? ? ? 3.D 4.C 8.C 5.D 6.B 7.D

解析:由 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,可得 b=4,c=2,

2 ?x +4x+2,x≤0, ?x>0, ?x≤0, 所以 f(x)=? 所以方程 f(x)=x 等价于? 或? 2 x>0, ?2, ?x=2 ?x +4x+2=x.

所以 x=2 或 x=-1 或 x=-2.故选 C. 10 .B 1(元). 12.3

9.C

解析:由题意知,甲盈利为 1000×10%- 1000×(1 + 10%)×(1 - 10%)×(1 -0.9) = 11.-20 解析:∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x),即(m-2)· (-x)2-(m-1)x+3=(m-2)x2+(m ∴m=1.∴f(x)=-x2+3.f(x)max=3. 13.-x2+5x

-1)x+3, 5 14.4

2x-1 2x+2-3 3 3 解析: y = = = 2 - ,显然在(-1,+∞)单调递增, 2 x+1 x+1 x+1

5 3 故当 x∈[3,5]时,f(x)min=f(3)=4,f(x)max=f(5)=2.
2 ?11-x >0, 15.解:(1)∵? ? -3<x<3,∴A={x|-3<x<3}. 2 ?11-x >2

∵x2-x-6>0,∴B={x|x<-2 或 x>3}.

∴A∩B={x|-3<x<-2}.

(2)?UM=A∩B={x|-3<x<-2}={x|x2+bx+c<0}, ?-b=?-3?+?-2?, ?b=5, ∴-3,-2 是方程 x2+bx+c=0 的两根,则? ?? ?-2? ?c=?-3?· ?c=6. 16.解:(1)函数 f(x)的定义域为 R,f(-x)= (2)由 f(1)= b 1 =2,则 a-2b+1=0. a+1 ?a-2b+1=0, ?a=1, 由? 得? ?4a-b=3, ?b=1. -bx =-f(x),故 f(x)是奇函数. ax2+1

又 log3(4a-b)=1,即 4a-b=3.

17.解:令 f(x)=3x2-5x+a,则其图象是开口向上的抛物线. 因为方程 f(x)=0 的两根分别在(-2,0)和(1,3)内,

?f?0?<0, 故? f?1?<0, ?f?3?>0,

f?-2?>0,

?a<0, 即? 3-5+a<0, ?3×9-5×3+a>0,


3×?-2?2-5×?-2?+a>0,

解得-12<a<0.

故参数 a 的取值范围是(-12,0). ?a=-1, 解得? ?b=0.

a b 5 2 + 2 =2, ? ? 19.解:(1)由已知,得? 2a b 17 ? ?4+2 = 4 ,


(2)由(1),知 f(x)=2x+2-x,任取 x∈R, 有 f(-x)=2-x+2-(-x)=2-x+2x=f(x),∴f(x)为偶函数. (3)任取 x1,x2∈(-∞,0],且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=( 2 x + 2 ? x )-( 2 x + 2 ? x )
1

1

2

2

=( 2 x - 2 x )+ ?
1 2

1 ? 1 ? x2 x1 2 ?2

1 ? x1 x2 ? ? =( 2 - 2 ) ? 1 ? x1 x2 2 2 ? ?
1 2

2x1 2x2 ? 1 ? x1 x2 2 2 = ( - ) . ? 2x1 2x2 ?

∵x1,x2∈(-∞,0]且 x1<x2,∴0< 2 x < 2 x ≤1.
2 x -1<0, 2 x · 2 x >0,故 f(x1)-f(x2)>0. ∴f(x)在(-∞,0]上单调递减. 从而 2 x - 2 x <0, 2 x ·
1 2 1 2 1 2

(4)∵f(x)在(-∞,0]上单调递减,且 f(x)为偶函数,可以证明 f(x)在[0,+∞)上单调递增(证 明略).∴当 x≥0 时,f(x)≥f(0);当 x≤0 时,f(x)≥f(0). 从而对任意的 x∈R,都有 f(x)≥f(0)=20+20=2, ∴f(x)min=2.

20.(1)证明:函数 f(x)的定义域为(0,+∞),设 0<x1<x2,则 lnx1<lnx2,2x1<2x2. ∴lnx1+2x1-6<lnx2+2x2-6. ∴f(x1)<f(x2). ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数. ∴f(x)在(2,3)上至少有一个零点,

(2)证明:∵f(2)=ln2-2<0,f(3)=ln3>0,∴f(2)· f(3)<0.

又由(1),知 f(x)在(0,+∞)上是增函数,因此函数至多有一个根, 从而函数 f(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点. (3)解:f(2)<0,f(3)>0, 5 5 ?5? ∴f(x)的零点 x0 在(2,3)上,取 x1=2,∵f?2?=ln2-1<0, ? ? 11 11 1 ?11? ?5? ?11? ?5 11? ? ?<0.∴x0∈?2, 4 ?. 取 x1= 4 ,∵f? 4 ?=ln 4 -2>0,∴f?2?· ? ? ? ? ?4? ? ?

?5? ?5 ? ∴f?2?· f(3)<0.∴x0∈?2,3?. ? ? ? ? ?11 5? 1 1 而? - ? = ≤ , ? 4 2? 4 4

?5 11? ∴? , ?即为符合条件的区间. ?2 4 ?


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