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2.1.5平面直角坐标系中的距离公式 教案 (高中数学必修二北师大版)

1.5 平面直角坐标系中的距离公式 (教师用书独具) ●三维目标 1.知识与技能 (1)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求点点距、点线距、两平行线距 离. (2)会根据图形建立适当的平面直角坐标系,并用解析法解决几何问题. 2.过程与方法 (1)通过公式方法的发现,培养学生观察发现、分析归纳、抽象概括、教学表达等基本 数学思维能力. (2)在推导过程中,渗透数形结合、转化、化归等数学思想以及特殊与一般的方法. 3.情感、态度与价值观 引导学生体验在探究问题的过程中受挫感和成功感, 培养合作意识和创新精神, 同时感 受数学的形式美与简洁美,从而激发学习兴趣. ●重点难点 重点:两点间的距离公式及点到直线的距离公式. 难点:公式的推导. (教师用书独具) ●教学建议 点到直线的距离的教学情境设计 (1)教师帮助学生回忆学习过的两点间距离公式 已知 P1(x1,y1),P2(x2,y2)则|P1P2|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2把其中一个元素换成直线,提 出新的问题,即已知点 P0(x0,y0),直线 l:Ax+By+C=0,如何用 x0,y0,A,B,C 表示 点 P 到直线 l 的距离. (2)数形结合,分析任务,理清思路,画出框图. 学生已经有点到直线的距离的概念,即由点 P0 画直线 l 的垂线,垂足是 Q,只要求两 点 P0 与 Q 之间的距离. 这里体现了“化归”数学思想方法, 把一个新问题转化为一个曾经解决过的问题, 一个 自己熟悉的问题. ●教学流程 创设问题情境,提出问题?通过引导学生回答问题,进一步理解两点距离公式、点到直 线距离公式?通过例 1 及变式训练, 使学生掌握两点间距离公式的应用?通过例 2 及互动探 究, 使学生掌握点到直线距离公式的应用?通过例 3 及变式训练, 使学生掌握用解析法证明 几何问题?归纳整理,进行课堂小结,整体认识所学知识?完成当堂双基达标,巩固所学知 识,并进行反馈、矫正 课标解读 1.掌握平面直角坐标系中两点间的距离公式、点到直线的距 离公式,并能简单应用(重点). 2.能准确求出两平行直线间的距离. 3.会用解析法证明几何问题(难点). 两点间的距离公式 【问题导思】 (1)若两点 A(-5,1),B(6,1),它们的距离是多少呢? (2) 若 A(x1,y1),C(x2,y1),B(x2,y2),能否求出|AC|,|BC|,|AB|? 【提示】 (1)|AB|=|6-(-5)|=11. (2)能,|AC|=|x2-x1||BC|=|y2-y1|由勾股定理得|AB|= = ?x2-x1?2+?y2-y1?2. 若 A(x1,y1),B(x2,y2),则有两点 A,B 间的距离公式,|AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2. 点到直线的距离公式 【问题导思】 (1)点(x0,y0)到 x 轴,y 轴的距离怎样用坐标表示? (2)点(x0,y0)直线 x=a,y=b 的距离是多少? (3)如何求点到直线的距离呢? 【提示】 (1)到 x 轴距离|y0|,到 y 轴距离是|x0|. (2)|x0-a|,|y0-b|. (3)转化为点点距,即过点作直线的垂线,求点与垂足的距离即可. 已知点 P(x0,y0),直线 l 的方程是 Ax+By+C=0,则点 P 到直线 l 的距离公式是 d |Ax0+By0+C| = . A2+B2 |AC|2+|BC|2 两点间的距离公式 已知点 A(0,3), B(-1,0), C(3,0), 试求 D 点坐标, 使四边形 ABCD 为等腰梯形. 【思路探究】 根据两腰相等利用两点间的距离公式解决. 【自主解答】 设 D 点的坐标为(x,y),若|AB|=|CD|且 AD∥BC, 则 { { ?0+1?2+?3-0?2= ?x-3?2+y2, y=3, 解得 x=2, y=3, 或 x=4, y=3. 当 x=4,y=3 时,kAB=kCD,应舍去.∴D(2,3). 若|BC|=|AD|且 AB∥CD, 则? { ? ? ? ?-1-3?2+02= x2+?y-3?2, 3-0 y-0 = , 0+1 x-3 16 ? 解得?x= 5 , 3 y= , 或 x=4, y=3. 5 { 16 3 当 x=4,y=3 时,kBC=kAD,应舍去.∴D( , ). 5 5 16 3 故 D 点的坐标为(2,3)或( , ). 5 5 1.本题通过一组对边相等,另一组对边平行来求解,很容易产生增解(x=4,y=3 时, 四边形 ABCD 为平行四边形),也很容易遗漏其中的情形(|BC|=|AD|,AB∥CD).处理时,可 以画出草图予以解决. 2.使用两点间距离公式要注意结构特点,公式与两点的先后顺序无关,使用于任意两 点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),但对于特殊情况结合图形求解会更便捷. 已知 A(-1,2),B(2, 7),在 x 轴上求一点 P,使得|PA|=|PB|,并求|PA|的值. 【解】 设所求的点为 P(x,0)于是有|PA|= |PB|= ?x-2?2+?0- 7?2= x2-4x+11, ?1+1?2+?0-2?2=2 2. ?x+1?2+?0-2?2= x2+2x+5, 由|PA|=|PB|得 x=1,所以所求点为 P(1,0),且|PA|= 点到直线的距离公式 求点 P(3,-2)到下列直线的距离. 3 1 (1)y= x+ ;(2)y=1;(3)y 轴. 4 4 【思路探究】 (1)先将直线化成一般式,再代入公式求值.(2)、(3)可考虑点 P 坐标的 几何意义求解. 3 1 【自主解答】 (1)把方程 y= x+ 写成一般式 3x-4y+1=0, 4 4 由点到直线的距离公式得 |3×3-4×?-2?+1| 18 d= = . 5 32+?-4?2 (2)结合图形可知 d=|-2-1|=3. (3)结合图形可知 d=

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