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2.3 解三角形的实际应用举例

2.3 解三角形的实际应用举例 要点精讲 1. 解斜三角形在实际中的应用非常广泛.在解题过程中,要能正确理解应用题中的有关名 词、术语,如:仰角、俯角、方位角、视角、象限角、坡度、经纬度等. ① 仰角: 在包含观察点与目标物的连线的垂直平面内, 连线在通过观察点的水平线上面时, 连线和水平线所在的角叫做仰角. ② 俯角: 在包含观察点与目标物的连线的垂直平面内, 连线在通过观察点的水平线下面时, 连线和水平线所成的角叫做俯角. ③ 方位角:是指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角. ④ 视角:由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角. ⑤ 坡度:斜坡起止点的高度差与其水平距离的比值. ⑥ 经度:地球表面东西距离的度数,以本初子午线为零度,以东为东经,以西为西经,东 西各 180°.通过某地的经线与本初子午线夹角的度数,就是这个地点的经度. 纬度:地 球表面南北距离的度数,从赤道到南北两极各分 90°在北的叫北纬,在南的叫南纬.通过 某地的纬线与赤道所成的度数,就是这个地点的纬度. 2. 应用解三角形知识解实际问题的一般步骤: (1)读懂题意,理解问题的实际背景,明确一些名词的含义,如仰角、方位角、坡度、俯角 等,理清量与量之间的关系 (2)将实际问题中的各种要素提出来,分清已知与所求,抓住主要元素(角与线段)构造 出一个或多个三角形,根据题意画出示意图,将实际问题抽象解三角形模型; (3)选择正弦定理和余弦定理解三角形; (4)将三角形的解还原为实际意义,注意实际问题与抽象的数学问题在单位、近似计算上 的差异。 典型例题 例 1:雷达发现一艘船装有走私物品,海关缉私队立即由 A 港口乘快艇出发追击此船,若快 艇在 A 处时,观测到该船在北偏西 15°的 B 处,A、B 间的距离为 100 海里,且走私船以每 小时 40 海里的速度沿东北方向行驶, 快艇的速度可达每小时 60 海里, 问快艇沿什么方向追 击,才能最快追上走私船?共用去多少时间? 【解析】如图 1.2.3: 图 1.2.3 设用 t 小时快艇追上走私船,则 BC=40t,AC=60t.∠CBA=45° +75° =120° . 由余弦定理,有(60t)2=1002+(40t)2-2× 100× 40tcos120° , 3 600t2=10 000+1 600t2+4 000t, 20t2-40t-100=0, t2-2t-5=0. ∴t= 2 ? 24 ? 1 ? 6 (负值舍去). 2 ∴t≈3.45 小时. 由正弦定理,得 sinA= BC ? sin B 40t sin 120? 3 . ? ? AC 60t 3 ∴A≈35.2°. ∴35.2°-15°=20.2°,即快艇应沿北偏东 20.2°的方向追击,才能最快追上走私船.用时 3.45 小 时. 【小结】这是一道实际应用题,分三步建立数学模型:一是确立两船相对位置及走私船的航 向,二是讨论最短追击路线(形成三角形时追击的时间最短) ,三是形成三角形,并找到边 角关系 例 2:在海岛 A 上有一座海拔 1 千米的山,山顶设有一个观察站 P,上午 11 时,测得一轮 船在岛北 30°东,俯角为 30°的 B 处,到 11 时 10 分又测得该船在岛北 60°西、俯角为 60°的 C 处。 (1)求船的航行速度是每小时多少千米; (2)又经过一段时间后,船到达海岛的正西方向的 D 处,问此时船距岛 A 有多远? 【解析】如图 1.2.1: P 西 D 北 C B 东 A 图 1.2.1 (1)在 Rt△PAB 中,∠APB=60° PA=1,∴AB= 3 (千米)在 Rt△PAC 中,∠APC=30°,∴AC= 在△ACB 中,∠CAB=30°+60°=90° 3 (千米) 3 ? BC ? AC 2 ? AB 2 ? ( 3 2 30 ) ? ( 3)2 ? 3 3 30 1 ? ? 2 30 (千米 / 时) 3 6 (2)∠DAC=90°-60°=30° sinDCA=sin(180°-∠ACB)=sinACB= AB ? BC 3 30 3 ? 3 10 10 sinCDA=sin(∠ACB-30°)=sinACB·cos30°-cosACB·sin30° ? 3 10 10 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 3 1 3 (3 3 ? 1) 10 ? ? 1? ( 10 ) 2 ? 2 2 10 20 AD AC , ? sin DCA sinCDA 3 3 10 ? AC ? sin DCA 9? 3 10 ∴ AD ? ? 3 ? sin CDA 13 (3 3 ? 1) 10 20 9? 3 答:此时船距岛 A 为 千米 13 在△ACD 中,据正弦定理得 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/ 【小结】 本题主要考查三角形基础知识, 以及学生的识图能力和综合运用三角知识解决实际 问题的能力。主要利用三角形的三角关系,关键找准方位角,合理利用边角关系。如果对方 位角识别不准,计算易出错。 例 3:如图 1.2.5,在斜度一定的山坡上一点 A 测得山顶上一建筑物顶端 C 对于山坡的斜度 为 α,向山顶前进 a m 到达 B 点,从 B 点测得斜度为 β,设建筑物的高为 h m,山坡对于地 平面的倾斜角为 θ,求证:cosθ= a sin ? sin ? . h sin(? ? ? ) 图 1.2.

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