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14.1(2)平面及基本性质


14.1 (2)平面的基本性质

——三个推论

一、复习回顾
点A在直线l上 点A在直线l外 点A在平面? 内 点A在平面? 外 直线l在平面? 内 直线l在平面? 外


A


l

A
?

l


A


A

?
?
l l l

A?l A?l A ?? A ??
l ??

?

?

l ??

3、平面的基本性质的三种语言描述:
公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直 线上所有的点都在这个平面内. B A ? A ?? ? 符号语言: ? ? 直线 AB ? ? B ?? ? 公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点, 这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.

P ?? ? 符号语言: ? ?? P?? ?

? ? l且P ? l

公理3:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. 符号语言:A, B, C三点不共线 ? 有且只有一个平面?,使A ?? , B ?? , C ??

二、新课讲解
推论1:经过一条直线和这条直线外的一点有 且只有一个平面.
图形语言:

符号语言:A ? l ? 有且只有一个平面? , 使A ?? , l ? ?

推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有 一个平面. B a A 已知:点A? a.

C

求证:过点A和直线a可以确定一个平面. 证明: 因为A? a,在a上任取两点B,C. 所以过不共线的三点A,B,C有一个平面?.(公理3) 因为B∈?,C∈?, 所以a ? ?.(公理1) 故经过点A和直线a有一个平面?.

【例1】已知: A ? l , B ? l , C ? l , D ? l 求证:直线 AD、BD、CD 共面.
证明: D ? l

? 直线 l 与点 D 可以确定一个平面(推论1)


A?l ? A ?? 又 D ?? ? AD ? ? (公理1)
? 直线 AD、BD、CD 在同一个平面? 内
即直线AD、BD、CD共面.

同理: BD ? ? , CD ? ?

推论2:经过两条相交直线,有且只有一个 平面.
图形语言:

符号语言:a b ? P ? 有且只有一个平面? , 使a ? ? , b ? ?

例3
? 过空间任意一点引三条直线,最多可 以确定几个平面? ? 过空间任意一点引四条直线,最多可 以确定几个平面?

推论3:经过两条平行的直线有且只有一个 平面.
图形语言:

a,b

符号语言:a // b ? 有且只有一个平面? , 使a ? ? , b ? ?

课堂练习:
1、判断下列命题是否正确 (1)如果一条直线与两条直线都相交,那么这三条直 线确定一个平面. ( ×) (2)经过一点的两条直线确定一个平面. (√ ) (3)经过一点的三条直线确定一个平面. (× ) (4)平面? 和平面 ? 交于不共线的三点A、B、C. ( ×) (5)矩形是平面图形. (√ )

课堂小结:
1.平面的基本性质的三个推论. 2.三个推论的应用.


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