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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学(北师大版,必修二)课时作业 2.2.2 第二章解析几何初步]


2. 2

圆的一般方程

【课时目标】 1.正确理解圆的一般方程及其特点.2.会依据不同条件利用待定系数 法求圆的一般方程,并能简单应用.

1.圆的一般方程的定义 (1) 当 D2 + E2 - 4F>0 时,方程 x2 + y2 + Dx+ Ey + F= 0 叫做圆的一般方程,其圆心为 ______________,半径为________________. (2)当 D2+E2-4F=0 时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示点______________. (3)当________________时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 不表示任何图形. 2.由圆的一般方程判断点与圆的位置关系 已知点 M(x0,y0)和圆的方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0). ,则其位置关系如下 表: 位置关系 代数关系 2 2 点 M 在圆外 x0+y0+Dx0+Ey0+F____0 2 点 M 在圆上 x2 0+y0+Dx0+Ey0+F____0 2 点 M 在圆内 x2 0+y0+Dx0+Ey0+F____0

一、选择题 1.圆 2x2+2y2+6x-4y-3=0 的圆心坐标和半径分别为( ) 3 19 19 ? A.? B.(3,2)和 ?-2,1?和 4 2 3 3 19 19 ? ? C.? D.? ?-2,1?和 2 ?2,-1?和 2 2.方程 x2+y2+4x-2y+5m=0 表示圆的条件是( ) 1 A. <m<1 B.m>1 4 1 C.m< D.m<1 4 3.M(3,0)是圆 x2+y2-8x-2y+10=0 内一点,过 M 点最长的弦所在的直线方程是( A.x+y-3=0 B.x-y-3=0 C.2x-y-6=0 D.2x+y-6=0 4.圆 x2+y2-2x+4y+3=0 的圆心到直线 x-y=1 的距离为( ) 2 A.2 B. C.1 D. 2 2 5.已知圆 x2+y2-2ax-2y+(a-1)2=0(0<a<1), 则原点 O 在( ) A.圆内 B.圆外 C.圆上 D.圆上或圆外 6.若圆 M 在 x 轴与 y 轴上截得的弦长总相等,则圆心 M 的轨迹方程是( ) A.x-y=0 B.x+y=0 C.x2+y2=0 D.x2-y2=0

)

二、填空题 7.如果圆的方程为 x2+y2+kx+2y+k2=0,那么当圆面积最大时,圆心坐标为________. 8.已知圆 C:x2+y2+2x+ay-3=0(a 为实数)上任意一点关于直线 l:x-y+2=0 的对称 点都在圆 C 上,则 a=________. 9.已知圆的方程为 x2+y2-6x-8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为 AC 和

BD,则四边形 ABCD 的面积为________. 三、解答题 10.平面直角坐标系中有 A(-1,5),B(5,5),C(6,-2),D(-2,-1)四个点能否在同一 个圆上?

11.如果方程 x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0 表示一个圆. (1)求 t 的取值范围; (2)求该圆半径 r 的取值范围.

能力提升 12.求经过两点 A(4,2)、B(-1,3),且在两坐标轴上的四个截距之和为 2 的圆的方程.

13.求一个动点 P 在圆 x2+y2=1 上移动时,它与定点 A(3,0)连线的中点 M 的轨迹方程.

1.圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0,来源于圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2.在 应用时,注意它们之间的相互转化及表示圆的条件. 2.圆的方程可用待定系数法来确定,在设方程时,要根据实际情况,设出方程,以便简 化解题过程. 3.涉及到的曲线的轨迹问题,要求作简单的了解,能够求出简单的曲线的轨迹方程,并 掌握求轨迹方程的一般步骤.

2. 2
知识梳理 D E? 1.(1)? ?- 2 ,- 2 ? D E? (2)? ?- 2 ,- 2? 2. 位置关系 点 M 在圆外 点 M 在圆上 点 M 在圆内 作业设计

圆的一般方程

答案

1 D2+E2-4F 2

(3)D2+E2-4F<0 代数关系 2 x2 + y + Dx0+Ey0+F>0 0 0 2 2 x0+y0+Dx0+Ey0+F=0 2 x2 0+y0+Dx0+Ey0+F<0

D E? 1 2 2 1.C [由一般方程圆心? ?- 2 ,- 2 ?,半径 r=2 D +E -4F两公式易得答案.] 2.D [表示圆应满足 D2+E2-4F>0.] 3.B [过 M 最长的弦应为过 M 点的直径所在直线.] 4.D [先求出圆心坐标(1,-2),再由点到直线距离公式求之.] 5.B [先化成标准方程(x-a)2+(y-1)2=2a,将 O(0,0)代入可得 a2+1>2a(0<a<1),即 原点在圆外.] 6.D [圆心应满足 y=x 或 y=-x,等价于 x2-y2=0.] 7.(0,-1) 1 1 解析 r= k2+4-4k2= 4-3k2. 2 2 当 k=0 时,r 最大,此时圆面积最大,圆的方程可化为 x2+y2+2y=0, 即 x2+(y+1)2=1,圆心坐标为(0,-1). 8.-2 a? a 解析 由题意知圆心? ?-1,-2?应在直线 l:x-y+2=0 上,即-1+2+2=0,解得 a=-2. 9.20 6 解析 点(3,5)在圆内,最长弦|AC|即为该圆直径, 1 ∴|AC|=10,最短弦 BD⊥AC,∴|BD|=4 6,S 四边形 ABCD= |AC|· |BD|=20 6. 2 10.解 设过 A、B、C 三点的圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0, D-5E-F=26 ? ? 则?5D+5E+F=-50 ? ?6D-2E+F=-40 D=-4 ? ? ,解得?E=-2 ? ?F=-20 .

所以过 A、B、C 三点的圆的方程为 x2+y2-4x-2y-20=0. 将点 D(-2,-1)代入上述方程等式不成立.

故 A、B、C、D 四点不能在同一个圆上. 11.解 (1)方程 x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0 表示一个圆必须有: D2+E2-4F=4(t+3)2+4(1-4t2)2-4(16t4+9)>0, 即:7t2-6t-1<0, 1 ∴- <t<1. 7 (2)该圆的半径 r 满足: D2+E2-4F r2= 4 =(t+3)2+(1-4t2)2-(16t4+9) =-7t2+6t+1 3?2 16 =-7? ?t-7? + 7 , 16? ? 4 7? ∴r2∈? ?0, 7 ?,∴r∈?0, 7 ?. 12.解 设圆的一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,令 y=0,得 x2+Dx+F=0, 所以圆在 x 轴上的截距之和为 x1+x2=-D; 令 x=0,得 y2+Ey+F=0, 所以圆在 y 轴上的截距之和为 y1+y2=-E; 由题设,x1+x2+y1+y2=-(D+E)=2, 所以 D+E=-2. ① 又 A(4,2)、B(-1,3)两点在圆上, 所以 16+4+4D+2E+F=0, ② 1+9-D+3E+F=0, ③ 由①②③可得 D=-2,E=0,F=-12, 故所求圆的方程为 x2+y2-2x-12=0. 13.解 设点 M 的坐标是(x,y),点 P 的坐标是(x0,y0).由于点 A 的坐标为(3,0)且 M 是 x0+3 y0 线段 AP 的中点,所以 x= ,y= 2 2 于是有 x0=2x-3,y0=2y. 2 因为点 P 在圆 x2+y2=1 上移动,所以点 P 的坐标满足方程 x2 0+y0=1, 2 2 则(2x-3) +4y =1, 3 1 x- ?2+y2= . 整理得? ? 2? 4 3?2 2 1 所以点 M 的轨迹方程为? ?x-2? +y =4.



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