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2014年人教A版必修四教案 1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象


函数 y=Asin(?x+?)( A ? 0, ? ? 0 )的图象

一.教材分析: 本节课内容是人教 A 版数学必修 4 第一章第五节《函数 y=Asin(ω x+φ ) 的图象》,是在学生已经学习了正、余弦函数的图象和性质的基础上,进一步 研究生活生产实际中常见的函数类型:y=Asin(ω x+φ )函数的图象.本节内容 从一个物理问题引入,根据从具体到抽象的原则,通过参数赋值,从具体函数 的讨论开始,把从函数 y=sinx 的图像到函数 y=Asin(ω x+φ )的图像的变换过 程,分解为先分别考察参数 φ 、ω 、A 对函数图像的影响,然后整合为对 y=

Asin(ω x+φ )的整体考察。在解决这个问题的过程中,借助计算机画出函数 y =Asin(ω x+φ )的图像,并观察参数 φ 、ω 、A 对函数图像变化的影响,同时
借助具体函数图像的变化,领会由简单到复杂、特殊到一般的化归数学思想。 同时还力图向学生展示观察、归纳、类比、联想等数学思想方法,通过本节内 容的学习可以使学生将已有的知识形成体系,对于进一步探索、研究其他数学 问题有很强的启发与示范作用。 二、教学目标: 1.知识与技能目标: 能借助几何画板,通过探索、观察参数 A、ω 、φ 对函数图象的影响, 并能概括出三角函数图象各种变换的实质和内在规律;会用图象变换画出函 数 y=Asin(ω x+φ )的图象。 2.过程与方法目标: 通过对函数 y=sinx 到 y=Asin(ω x+φ )的图象变换规律的探索过程的 体验,培养学生的观察能力和探索问题的能力,数形结合的思想;领会从特

殊到一般,从具体到抽象的思维方法,从而达到从感性认识到理性认识的飞 跃。 3.情感态度,价值观目标: 通过对问题的自主探究,培养独立思考能力;小组交流中,学会合作意识; 在解决问题的难点时,培养解决问题抓主要矛盾的思想. 三、教学重点,难点 1.重点:考察参数ω 、φ 、A 对函数图象的影响,理解由 y=sinx 的图象到

y=Asin(ω x+φ )的图象变化过程。这个内容是三角函数的基本知识进行综合和
应用问题接轨的一个重要模型。学生学习了函数 y=Asin(ω x+φ )的图象,为后 面高中物理研究《单摆运动》、《简谐运动》、《机械波》等知识提供了数学 模型。所以,该内容在教材中具有非常重要的意义,是连接理论知识和实际问 题的一个桥梁。 2.难点:对 y=Asin(ω x+φ )的图象的影响规律的发现与概括是本节课的难 点。因为相对来说, 、A 对图象的影响较直观,ω 的变化引起图象伸缩变化, 学生第一次接触这种图象变化,不会观察,造成认知的难点,在教学中,抓住 “ 对图象的影响”的教学,使学生学会观察图象,经历研究方法,理解图象 变化的实质,是克服这一难点的关键。 四、教法与教具选择: 1.教学方法:开放式探究、启发式引导、互动式讨论. 2.教学手段:运用几何画板、多媒体. 五、教学过程 (一)、创设情景,导入新课: 1、物理中简谐振动中平衡位置的位移 y 随时间 x 的变化关系图像:

2、图(1)是某次实验测得的交流电的电流 y 随时间 x 变化的图象,图(2) 是放大后的图象:

【设计意图】采用两个物理知识引出函数 y=Asin(ω x+φ )的图象,体现该 函数图象与生活实际的紧密联系,体现函数图象在物理学上的重要性,激发学生 研究该函数图象的兴趣。引导学生思考 y=Asin(ω x+φ )与正弦函数的一般与特 殊的关系,进而引导学生探讨正弦曲线与函数 y=Asin(ω x+φ )的图象的关系。 问题 1:观察它们的图象与正弦曲线有什么联系? 【设计意图】 复习回顾, 直接切入研究的课题。 (揭示课题: 函数 y=Asin(ω

x+φ )的图象)
问题 2:你认为怎样讨论参数 A、ω 、φ 对函数 y=Asin(ω x+φ )的图象的 影响? 【设计意图】引导学生思考研究问题的方法,先分别讨论参数 A、ω 、φ 对

y=Asin(ω x+φ )的图象的影响,然后再进行整合。
(二)、自主探究,构建数学: I、探究 φ 对 y ? sin( x ? ? ), x ? R 的图像的影响。

问题 1:作出函数 y ? sin( x ? ) 在一个周期的图像。分别在 y ? sin( x ? ) 和 3 3 y=sinx 的图像上各恰当地选取一个纵坐标相同的点,同时移动这两个点并观察 其横坐标的变化,你能从中发现 ? 对图像有怎样的影响? 【设计意图】学生利用“五点作图法”作出函数 y ? sin( x ? ) 在一个周期的 3 图像,与函数 y=sinx 进行比较。教师用几何画板动态演示变换过程,引导学生 观察变化过程中的变量和不变量,从而得出结论。 问题 2:对 ? 任取不同的值,作出的 y ? sin( x ? ? ) 图像,看与 y=sinx 的图像 是否有类似的关系?请你概括一下如何从正弦曲线出发,经过怎样的图像变换 得到 y ? sin( x ? ? ) 的图像? 【设计意图】特殊到一般的学习方法比较符合学生的认知规律,同时也培 养了学生抽象概括能力。由于在高一上学期函数部分进行过较多的图象平移类 变换,所以这部分内容不难,老师可以让学生自主探究得到结论。只不过在叙 述结论的时候,学生的语言可能不规范,易出现如“把图象进行平移”的描 述,教师可指出精确的描述应为:把“图象上的每一点”进行平移) II、探索 ? (? ? 0) 对 y ? sin(? x ? ? ) 的图像的影响。 问题 4、 由正弦函数与 y=sinx 图象如何变换得到函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象? 猜想(1) y ? sin x ? y ? sin( x ? ) ? y ? sin(2 x ? ) 。
3

?

?

?

?

?

?

3

猜想(2) y ? sin x ? y ? sin 2 x ? y ? sin(2 x ? ) 。 【设计意图】观察函数 y ? sin(2 x ? ) 解析式,容易发现参数 、 都发生了
3

?

3

?

3

变化,根据已有的知识基础,自然恰当地提出本节的核心问题:两种变换能否 任意排序,最后确定研究方向。

A、 自主实验,形成初步结论:小组合做,根据自己的兴趣在两种变换中 选择一种进行研究: 问题 5: 按照第一种方法由函数 y ? sin x 的图象如何变换到 y ? sin(2 x ? ? ) 的图
3

象? 按照第二种方法由函数 象? 的图像如何变换到函数 y ? sin(2 x ? ? ) 的图
3

学生投影回答,结合自己画的函数图像,说明变换方法。

①. 把
y ? sin( x ?

的图象上的所有的点__左___平移 __ _个单位长度,得到
) 的图象。

?
3

②.再把 y ? sin( x ? ? ) 的图象上各点的_横__坐标_缩短__
3

到原来的_ _

倍(纵坐标不变),得到 y ? sin(2 x ? ? ) 的图象。
3

学生总结上述变换过程: ① . 把 y ? sin x 的图象上的所有的点 向左 ( ? ? 0 )或 向右 (? ? 0) 平行移 动 个单位长度,得到 y ? sin( x ? ? ) 的图象。

②.再把 y ? sin( x ? ? ) 的图象上各点的_横_坐标__缩短_ (? ? 1) 或_伸长 _ (0 ? ? ? 1) 到原来的_ _倍(_纵_坐标不变),得到 y ? sin(? x ? ? ) 的图象。

B、 深入探究,讨论分析: 问题 6:第二种变换方法,平移量是 ,还是 ,为什么?

【设计意图】这部分内容是本堂课的难点,突破的方法先是从直观的“形” 上“粉碎”了学生错误的直觉,使学生“一惊”!渴望知道个中原因使他们积 极探寻,当最终发现可以用已有的知识来解释时,又让他们“一喜”,这“形” 中的直观和“数”中的严谨,让学生在“一惊一喜”中达到一悟皆通的效果。 学生总结第二种变换的规律: 把 y=sinω x 的图象上的所有的点 向左 (? ? 0) 或 向右 (? ? 0) 平行移动
|? |

?

(? ? 0) 个单位长度,得到 y=sin(ω x+φ )的图象。

对比两种变换过程说明:先相位变换后周期变换平移 期变换后相位变换平移
|? |

个单位长度。先周

?

(? ? 0) 个单位长度。

【设计意图】使学生由正弦曲线变化得到函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0) 的图象的不同方案有一个整体的认识,并在掌握图象变化实质的基础上,择优 选择。 Ⅲ、探索 A( A ? 0) 对 y ? Asin(? x ? ? ) 的图像的影响。 问题 7:类似的,你能讨论一下参数 A( A ? 0) 对 y ? Asin(2 x ? ) 的图像的影 3 响吗?

?

【设计意图】学生作出 A 取不同值时,函数 y ? Asin(2 x ? ) 的图像,并概 3 括 A 对 y ? Asin(2 x ? ) 的图像的影响的规律。此类图象在前面学生已经作过, 3 难度不大,在总结规律的时候,教师可借助几何画板作图动态演示变换过程, 学生观察变换过程中的变量和不变量,总结规律。注意语言描述的严密性,强 调每一点的横坐标不变的情况下纵坐标变为原来的 A 倍。 问题 8:通过上述问题的讨论与研究,如何由正弦曲线通过图像变换得到函 数 y ? Asin(? x ? ? ) 的图像 ? 图像变换规律总结:
y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的图像可由 y ? sin x 的图像经过如下变换得到:

?

?

方法一:
y ? sin x ???????? ? y ? sin( x ? ? ) ??????? ?
纵坐标变为原来的A倍 y ? sin(? x ? ? ) ??????? ? y ? A sin (?x ? ? ) 横坐标不变 向左(? ?0) 或向右(? ?0) 平移|? |个单位 1 横坐标变为原来的 倍 ? 纵坐标不变

方法二:
向左(? ?0) 或向右(? ?0) ? y ? sin x ??????? ? y ? sin ? x ???????? ? ? 纵坐标不变 平移| |个单位 ? 纵坐标变为原来的A倍 y ? sin(? x ? ? ) ??????? ? y ? A sin (?x ? ? ) 横坐标不变 1 横坐标变为原来的 倍

【设计意图】组织学生进行讨论,学生通过自己作图,教师几何画板演示, 进一步认识有 y ? sin x 经图象变换得到 y ? Asin(? x ? ? ) 的方法,并体会有简单到 复杂、特殊到一般的化归思想。 (三)、知识应用: 应用一:作出下列函数在一个周期内的简图,并说明其图象是由 y ? sin x 图 象如何变换得到的:

(1) y ? sin( x ? )
3

?

(2) y ? sin 3x
1 3

(3) y ? sin x

应用二:画出函数 y ? 2 sin( x ? ) 的简图,并说明如何由 y ? sin x 图象如何变
6

?

1 2

换得到的。 【设计意图】用“五点法”作函数 y ? Asin(? x ? ? ) 的图象并从图象变换的 角度认识函数 y ? sin x 与函数 y ? Asin(? x ? ? ) 的关系。 (四)、总结归纳,掌握规律 问题 1:怎样由函数 y=sinx 到 y=Asin(ω x+φ ) ( A ? 0, ? ? 0) 的图象? 问题 2:本节讨论问题的数学思想方法是什么? 【设计意图】引导学生对所学的知识、数学思想方法进行小结,并对学生 的学习过程进行反思,为今后的学习进行有效调控打下坚实的基础。 (五)、课堂检测: 1、选择题:已知函数 y ? 3sin( x ? ) 的图象为 C. (1)为了得到函数 y ? 3sin( x ? ) 的图象,只要把 C 上所有的点(
5

?

?

5



? ? (B) 向左平行移动 个单位长度 5 5 2? 2? (C)向右平行移动 个单位长度 (D) 向左平行移动 个单位长度 5 5 ? (2) 为了得到函数 y ? 3sin(2 x ? ) 的图象,只要把 C 上所有的点( ) 5

(A)向右平行移动 个单位长度

(A)横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 (B) 横坐标伸长缩短到原来的 倍,纵坐标不变 (C)纵坐标伸长到原来的 2 倍,横坐标不变 (D) 纵坐标伸长缩短到原来的 倍,横坐标不变 (3)为了得到函数 y ? 4 sin( x ? ) 的图象,只要把 C 上所有的点(
5 1 2 1 2

?



(A)横坐标伸长到原来的 倍,纵坐标不变 (B) 横坐标伸长缩短到原来的 倍,纵坐标不变
3 4

4 3

(C)纵坐标伸长到原来的 倍,横坐标不变 (D) 纵坐标伸长缩短到原来的 倍,横坐标不变 【设计意图】课堂检测是对本节课重点和难点知识的应用和巩固,通过学 生的回答,可了解学生对于函数图像变换的“形”、“数”思维的形成过程是否 得到落实。 (六)、布置作业: 【设计意图】布置作业有梯度,避免一刀切,使学有余力的学生进一步训练 逆向思维,使知识掌握更加深刻 (七)、板书设计 函数 y=Asin(?x+?) ( A ? 0, ? ? 0) 的图象 1. y ? sin x ? y ? sin( x ? ? ) 的图像变 换。 2 y ? sin(x ? ? ) ? y ? sin(?x ? ? ) 的图像 变换。 3. y ? sin(?x ? ? ) ? y ? A sin(?x ? ? ) 的图 像变换。 例1 例2 多 媒 体 演 示
3 4

4 3

【教学反思】 心理学家布鲁纳指出:“教学过程是一种提出问题和解决问题的持续不断 的活动.”思维永远是从问题开始的,因此,本节课采用了逐步设疑、诱导、解 疑,指导学生去发现的方法,使学生始终处于兴奋的状态之中。观察、归纳是 发现知识 、获得知识的基本思维形式,函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象是三角函

数中的一个重要问题,在教学过程中,通过问题设疑、多媒体动态演示等教学 措施,创设问题情境,引导学生从特殊的、个别的属性,通过联想、类比,归 纳出具有普遍性的、一般的、整体的性质。


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