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2015-2016学年高中数学 1.2.2同角三角函数的基本关系课时作业 新人教A版必修4


课时作业 5

同角三角函数的基本关系
分值:100 分

时间:45 分钟 一、选择题(每小题 6 分,共计 36 分)

1.已知 α 是锐角,且 tanα 是方程 4x +x-3=0 的根,则 sinα =( A. C. 4 5 2 5 B. D. 3 5 1 5

2

)

3 2 解析:由 4x +x-3=0 得 x=-1 或 x= 4 又 α 是锐角,∴tanα >0,sinα >0. 3 sinα 3 ∴tanα = ,又 tanα = = , 4 cosα 4 且 sin α +cos α =1 4 3 2 2 ∴sin α +( sinα ) =1,解得 sinα = . 3 5 答案:B 2.若 3sinα +cosα =0,则 A. C. 10 3 2 3 1 的值为( cos α +2sinα cosα
2 2 2

)

B.

5 3

D.-2

1 解析:由 3sinα +cosα =0,得 tanα =- , 3 ∴ 1 sin α +cos α = 2 cos α +2sinα cosα cos α +2sinα cosα
2 2 2 2

1 2 ?- ? +1 3 tan α +1 10 = = = . 1+2tanα 1 3 1+2×?- ? 3 答案:A 3.若 sinθ +sin θ =1,则 cos θ +cos θ +cos θ 的值等于( A.0 C.-1 B.1 D. 5-1 2
1
2 2 6 8

)

解析:由 sinθ +sin θ =1, 得 sinθ =1-sin θ =cos θ , ∴cos θ +cos θ +cos θ =sinθ +sin θ +sin θ =sinθ +sin θ (sinθ +sin θ ) =sinθ +sin θ =1. 答案:B 1 4.若△ABC 的内角 A 满足 sinAcosA= ,则 sinA+cosA 的值为( 3 A. C. 5 3 15 3 B.- 5 D.- 3 15 3 )
2 2 2 2 6 8 3 4 2 2

2

1 5 解析:由 sinAcosA= ,得 1+2sinAcosA= 3 3 5 2 ∴(sinA+cosA) = ,又 A 为三角形的一内角. 3 1 则由 sinAcosA= 得 sinA>0,cosA>0. 3 ∴sinA+cosA= 答案:A 5.已知 sinα -cosα = 2,则 tanα =( A.-1 C. 2 2 ) B.- D.1 2 2 5 15 = . 3 3

解析:将等式 sinα -cosα = 2两边平方, 得到 2sinα cosα =-1, 整理得 1+2sinα cosα =0, 即 sin α +cos α +2sinα cosα =0, 所以(sinα +cosα ) =0,所以 sinα +cosα =0, 由 sinα -cosα = 2和 sinα +cosα =0, 解得 sinα = 2 2 ,cosα =- , 2 2
2 2 2

sinα ∴tanα = =-1.故选 A. cosα

2

答案:A cosx 1 1+sinx 6.已知 = ,则 等于( sinx-1 2 cosx A. 1 2 ) 1 B.- 2 D.-2
2 2

C.2 解析:由 1-sin x=cos x,可得 1+sinx cosx 1 =- =- . cosx sinx-1 2 答案:B 二、填空题(每小题 8 分,共计 24 分) 7.在△ABC 中,若 tanA= 解析:在△ABC 中,tanA= ∴ sin A 2 2 = ,① cos A 9
2 2 2

2 ,则 sinA=________. 3 2 sinA 2 ,则 = , 3 cosA 3

又 sin A+cos A=1,② 2 22 2 由①、②得 sin A= ,即 sinA= . 11 11 答案: 22 11

1 8.已知 f(tanx)= 2 ,则 f(- 3)=________. cos x 1 sin x+cos x 解析:f(tanx)= 2 = 2 cos x cos x =tan x+1, ∴f(x)=x +1.∴f(- 3)=4. 答案:4 9.化简 1-2sin10°·cos10° 的值为________. 2 sin10°- 1-sin 10° ?cos10°-sin10°? |cos10°-sin10°| = sin10°-cos10° sin10°-cos10°
2 2 2 2 2

解析:原式= =

cos10°-sin10° =-1. sin10°-cos10°

答案:-1 三、解答题(共计 40 分,其中 10 题 10 分,11、12 题各 15 分)
3

1+2sinxcosx 1+tanx 10.证明:(1) . 2 2 = cos x-sin x 1-tanx sinα sin α 2 (2) 2 -2sinα +cos α sinα = 2 . cos α cos α cos x+sin x+2sinxcosx 证明:(1)左边= 2 2 cos x-sin x = = ?cosx+sinx? ?cosx-sinx??cosx+sinx? cosx+sinx cosx-sinx
2 2 2 5

sinx 1+ cosx 1+tanα = = =右边, sinx 1-tanα 1- cosx ∴原等式成立. sinα 2 (2)等式左边= 2 -2sinα +cos α sinα cos α = = = = 1 2 4 (sinα -2sinα cos α +cos α sinα ) 2 cos α 1 2 4 sinα (1-2cos α +cos α ) 2 cos α sinα ?1-cos α ? sinα ·?sin α ? = 2 2 cos α cos α sin α =等式右边, 2 cos α
5 2 2 2 2

则原等式成立. 11.已知 解:因为 = = = 1+sinα - 1-sinα 1+sinα - 1-sinα
2

1-sinα =-2tanα ,试确定使等式成立的角 α 的集合. 1+sinα 1-sinα 1+sinα ?1-sinα ? 2 cos α
2

?1+sinα ? - 2 cos α

|1+sinα | |1-sinα | - |cosα | |cosα | 1+sinα -1+sinα 2sinα = . |cosα | |cosα | 1+sinα - 1-sinα 1-sinα =-2tanα , 1+sinα

又因为

4

2sinα 2sinα 所以 + =0, |cosα | cosα 即得 sinα =0 或|cosα |=-cosα ≠0, π 3 则 α =kπ 或 2kπ + <α <2kπ + π ,k∈Z, 2 2 所以,角 α 的集合为: π 3π {α |α =2kπ 或 2kπ + <α <2kπ + ,k∈Z}. 2 2 12.已知关于 x 的方程 2x -( 3+1)x+m=0 的两根为 sinθ ,cosθ ,θ ∈(0,2π ). (1)求 sin θ cos θ + 的值; sinθ -cosθ cosθ -sinθ
2 2 2

(2)求 m 的值. 解:(1)由根与系数的关系可知 sinθ +cosθ = sinθ cosθ = , 2 则 sin θ cos θ + sinθ -cosθ cosθ -sinθ
2 2 2 2

3+1 ,① 2

m

sin θ -cos θ = sinθ -cosθ =sinθ +cosθ = 3+1 . 2

2+ 3 (2)由①式平方,得 1+2sinθ cosθ = , 2 ∴sinθ cosθ = 经检验,m= 3 3 ,∴m= . 4 2

3 满足题意. 2

5


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