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北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》全部教案姚连省编制


第四章《定积分》 北师大版高中数学选修 2-2 第四章《定积分》全部教案 扶风县法门高中 §1 第一课时 姚连省

定积分概念 曲边梯形的面积

一、教学目标:理解求曲边图形面积的过程:分割、以直代曲、逼近,感受在其过程中渗透的思 教学目标: 想方法。 二、教学重难点: 教学重难点: 重点:掌握过程步骤:分割、以直代曲、求和、逼近(取极限) 重点

难点: 难点:对过程中所包含的基本的微积分 “以直代曲”的思想的理解 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 教学方法: 四、教学过程 1、创设情景 我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积,这些图形都是由直线段围成的。那么, 如何求曲线围成的平面图形的面积呢?这就是定积分要解决的问题。定积分在科学研究和实际生 活中都有非常广泛的应用。本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用,初步体会 定积分的思想及其应用价值。 一个概念:如果函数 y = f ( x) 在某一区间 I 上的图像是一条连续不断的曲线,那么就把函数 连续函数. y = f ( x) 称为区间 I 上的连续函数 (不加说明,下面研究的都是连续函数) 连续函数 2、新课探析 新课探析 问题:如图,阴影部分类似于一个梯形,但有一边是 线 曲

y = f ( x)

的 一 段 , 我 们 把 由 直 线 称

x = a , x = b (a ≠ b) , y = 0 和曲线 y = f ( x) 所围成的图形
为曲边梯形.如何计算这个曲边梯形的面积?
2 例题:求图中阴影部分是由抛物线 y = x ,直线 x = 1 以及 x 轴所围成的平面图形的面积 S。

1

思考: (1)曲边梯形与“直边图形”的区别?(2)能否将求这个曲边梯形面积 S 的问题转化为 思考: 求“直边图形”面积的问题? 分析: “直边图形”的所有边 分析:曲边梯形与“直边图形”的主要区别:曲边梯形有一边是曲线段, 都是直线段. 以直代曲”的思想的应用. “以直代曲”

y

y

y

x 1
y

x 1 1

x

y

=

x

2

O

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

1

x

把区间 [ 0 ,1] 分成许多个小区间,进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形,对每个小曲边梯形“以 直代取” ,即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的近似值,对这 些近似值求和,就得到曲边梯形面积的近似值.分割越细,面积的近似值就越精确。当分割无限 分割越细,面积的近似值就越精确。 分割越细 变细时, 变细时,这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积 S.也即:用划归 为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积. 解: (1) 分割 .分割 在区间 [ 0 ,1] 上等间隔地插入 n ? 1 个点,将区间 [ 0 ,1] 等分成 n 个小区 间: ? 0 ,
y y=x 2

O

i-1 i n n

1x

? ?

1? ?1 2? ? n ?1 ? ? , ? n , n ? ,…, ? n ,1? n? ? ? ? ? ? i ?1 i ?

y

y=x 2

记 第 i 个 区 间 为 ? , (i = 1, 2 , L , n) , 其 长 度 为 ? n n? ?

?x =

i i ?1 1 ? = n n n

O

i-1 i n n

1x

个小曲边梯形, 作 轴的垂线, 分别过上述 n ? 1 个分点作 x 轴的垂线,从而得到 n 个小曲边梯形,他
2

们的面积分别记作: 们的面积分别记作:

?S1 , ?S 2 ,…, ?S n 显然, S = ∑ ?Si
i =1

n

(2)近似代替 近似代替 如图所示, n 很大, ?x 很小时, 当 即 在区间 ? 记 f ( x) = x ,
2

? i ?1 i ? 2 可以认为函数 f ( x ) = x , ? 上, ? n n?
i ?1 处的函数值 n

的值变化很小,近似的等于一个常数,不妨认为它近似的等于左端点

? i ?1 ? f? ?, ? n ?

从图形上看,就是用平行于 x 轴的直线段近似的代替小曲边梯形的曲边(如图) .这样,在区间

? i ?1 i ? ,则有 ? n , n ? 上,用小矩形的面积 ?Si′ 近似的代替 ?Si ,即在局部范围内“以直代取” ? ?

? i ?1 ? ? i ?1 ? ? i ?1 ? 1 ?Si ≈ ?Si′ = f ? (i = 1, 2,L , n) ① ? ?x = ? ? ?x = ? ? ? n ? ? n ? ? n ? n
2 2

(3)求和:由①,上图中阴影部分的面积 Sn 为 求和: 求和
n n n ? i ?1 ? ? i ?1 ? 1 ?S n = ∑ ?Si′ = ∑ f ? ?x = ∑ ? ? ? ? n ? i =1 i =1 i =1 ? n ? n 2

1 ?2 1 ( n ? 1) n ( 2n ? 1) 1 ?1? 1 2 ? n ?1 ? 1 = 0 +? ? +L + ? = 1 + 22 + L + ( n ? 1) ? = 3 = ? 3 ? ? n n 6 n ?n? n ? n ? n
2 2

1 ? 1 ?? 1 ? 1 ? 1 ?? 1 ? ?1 ? ??1 ? ? ,从而得到 S 的近似值 S ≈ S n = ?1 ? ??1 ? ? 3 ? n ?? 2n ? 3 ? n ?? 2n ?
(4)取极限:分别将区间 [ 0 ,1] 等分 8,16,20,…等份(如图) 取极限: ,可以看到,当 n 趋向于无穷大 取极限 时,即 ?x 趋向于 0 时, S n =

1 ? 1 ?? 1 ? ?1 ? ? ?1 ? ? 趋向于 S ,从而有 3 ? n ? ? 2n ?
n

1 ? 1 ?? 1 ? 1 ? i ?1 ? 1 S = lim S n = lim ∑ f ? ? = lim ?1 ? ??1 ? ? = n →∞ n →∞ n →∞ 3 ? n ? n ? n ?? 2n ? 3 i =1
从数值上的变化趋势:

3

3.求曲边梯形面积的四个步骤:第一步:分割.在区间 [ a , b ] 中任意插入 n ? 1 各分点,将它们等 求曲边梯形面积的四个步骤:第一步:分割. 步骤 分成 n 个小区间 [ xi ?1 , xi ] ( i = 1, 2 ,L , n ) ,区间 [ xi ?1 , xi ] 的长度 ?xi = xi ? xi ?1 ,第二步:近似 第二步: 第二步 代替, 以直代取” “ 。 代替, 以直代取” 用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,求出每个小曲边梯形面积的近似 值.第三步:求和.第四步:取极限。 第三步:求和.第四步:取极限。 第三步 说明:1.归纳以上步骤,其流程图表示为:分割 → 以直代曲 → 求和 → 逼近 说明

2.最后所得曲边形的面积不是近似值,而是真实值 练习:课本 P76 练习题:设 S 表示由曲线 y = 练习

x ,x=1,以及 x 轴所围成平面图形的面积。
( “以直代曲”

四、课堂小结:求曲边梯形的思想和步骤:分割 → 以直代曲 → 求和 → 逼近 课堂小结: 的思想) 五、教学后记

4

第二课时 一:教学目标

汽车行驶的路程

1、知识与技能目标:了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程的共同点; 知识与技能目标: 感受在其过程中渗透的思想方法:分割、以不变代变、求和、取极限(逼近) 。 2、过程与方法:通过与求曲边梯形的面积进行类比,求汽车行驶的路程有关问题,再一次体会 过程与方法: “以直代曲“的思想。 3、情感态度与价值观:在体会微积分思想的过程中,体会人类智慧的力量,培养世界是可知的 情感态度与价值观: 价值观 等唯物主义的世界观。 二:教学重难点 重点:掌握过程步骤:分割、以不变代变、求和、逼近(取极限)难点:过程的理解 难点: 重点 难点 三:教学方法:探析归纳,讲练结合 教学方法: 四、教学过程 教学过程 、创设情景 (一) 创设情景 、 复习:1.连续函数的概念;2.求曲边梯形面积的基本思想和步骤; 利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系,求物体运动速度”的问题.反之,如果 已知物体的速度与时间的关系,如何求其在一定时间内经过的路程呢? 、新课探析 (二) 新课探析 、新课 问题:汽车以速度 v 组匀速直线运动时,经过时间 t 所行驶的路程为 S = vt .如果汽车作变速直 问题 线运动,在时刻 t 的速度为 v ( t ) = ?t + 2 (单位:km/h) ,那么它在 0≤ t ≤1(单位:h)这段时间
2

内行驶的路程 S (单位:km)是多少? 分析: 分析:与求曲边梯形面积类似,采取“以不变代变”的方法,把求匀变速直线运动的路程问题, 化归为匀速直线运动的路程问题.把区间 [ 0 ,1] 分成 n 个小区间,在每个小区间上,由于 v ( t ) 的 变化很小,可以近似的看作汽车作于速直线运动,从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似 值, 在求和得 S(单位: 的近似值, km) 最后让 n 趋紧于无穷大就得到 S(单位: 的精确值. 思 km) (思 想: 用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路 程) . 解: .分割 (1) 分割 在时间区间 [ 0 ,1] 上等间隔地插入 n ? 1 个点,将区间 [ 0 ,1] 等分成 n 个小区间:

5

? 1? ?1 2? ? n ?1 ? ?0 , n ? , ? n , n ? ,…, ? n ,1? ? ? ? ? ? ?
记第 i 个区间为 ?

? i ?1 i ? , (i = 1, 2 , L , n) ,其长度为 ? n n? ?
i i ?1 1 ? = n n n 1? ?1 2? ? n ?1 ? , ? , ? ,…, ? ,1? 上行驶的路程分别记作: n? ?n n? ? ? n ?
显然, S =

?t =

把汽车在时间段 ? 0 ,

? ?

?S1 , ?S 2 ,…, ?S n
(2)近似代替 近似代替

∑ ?S
i =1

n

i

当 n 很大,即 ?t 很小时,在区间 ?

? i ?1 i ? , ? 上,可以认为函数 v ( t ) = ?t 2 + 2 的值变化很小, ? n n?
2

i ?1 ? i ?1 ? ? i ?1 ? 处的函数值 v ? 近似的等于一个常数,不妨认为它近似的等于左端点 ? = ?? ? + 2, n ? n ? ? n ?
从物理意义上看,即使汽车在时间段 ?

? i ?1 i ? , (i = 1, 2 , L , n) 上的速度变化很小,不妨认为它 ? n n? ?
2

i ?1 ? i ?1 ? ? i ?1 ? 近似地以时刻 处的速度 v ? ? = ?? ? + 2 作匀速直线运动,即在局部小范围内“以匀 n ? n ? ? n ?
速代变速” ,于是的用小矩形的面积 ?Si′ 近似的代替 ?Si ,即在局部范围内“以直代取” ,则有
2 ? ? i ? 1 ?2 ? 1 ? i ?1 ? ? i ?1 ? 1 2 + (i = 1, 2,L , n) ① ?Si ≈ ?Si′ = v ? ? ?t = ? ? ? ? + 2? = ? ? ? ? n ? ? n ? n n ? ? n ? ? n ? ?

(3)求和 求和
2 n ? ? i ?1 ? ? i ?1 ? 1 2 ? 由①, S n = ∑ ?Si′ = ∑ v ? + ? ? ?t = ∑ ? ? ? ? n? i =1 i =1 ? n ? i =1 ? ? n ? n ? ? n n

1 1 ?1? 1 2 ? n ?1 ? 1 = ?0 ? ? ? ?L ? ? + 2 = ? 3 ?12 + 2 2 + L + ( n ? 1) ? + 2 ? ? ? n n ?n? n ? n ? n
2 2

=?

1 ( n ? 1) n ( 2n ? 1) 1 ? 1 ?? 1 ? + 2 = ? ?1 ? ??1 ? ? + 2 3 n 6 3 ? n ?? 2n ?

6

从而得到 S 的近似值 S ≈ S n = ? ? 1 ? (4)取极限 取极限

1? 3?

1 ?? 1 ? ? ?1 ? ? + 2 n ? ? 2n ?

当 n 趋向于无穷大时,即 ?t 趋向于 0 时, S n = ? ? 1 ?
n

1? 3?

1 ?? 1 ? ??1 ? ? + 2 趋向于 S ,从而有 n ?? 2n ?

S = lim S n = lim ∑
n →∞ n →∞ i =1

1 n

? 1 ? 1 ?? 1 ? ? 5 ? i ?1 ? v? ? = lim ? ? ?1 ? ??1 ? ? + 2 ? = ? n ? n→∞ ? 3 ? n ?? 2n ? ? 3

思考: 思考:结合求曲边梯形面积的过程,你认为汽车行驶的路程 S 与由直线 t = 0 , t = 1 , v = 0 和曲线

v = ?t 2 + 2 所围成的曲边梯形的面积有什么关系?
结合上述求解过程可知,汽车行驶的路程 S = lim S n 在数据上等于由直线 t = 0 , t = 1 , v = 0 和曲
n →∞

线 v = ?t 2 + 2 所围成的曲边梯形的面积. 一般地,如果物体做变速直线运动,速度函数为 v = v ( t ) ,那么我们也可以采用分割、近似代替、 求和、取极限的方法,利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想,求出它在 a≤ t ≤b 内所作 的位移 S . ,求弹 例、弹簧在拉伸的过程中,力与伸长量成正比,即力 F ( x ) = kx ( k 为常数, x 是伸长量) 簧从平衡位置拉长 b 所作的功. 分析: 分析:利用“以不变代变”的思想,采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解. 解: 将物体用常力 F 沿力的方向移动距离 x ,则所作的功为 W = F ? x . 1.分割 分割 在区间 [ 0 , b ] 上等间隔地插入 n ? 1 个点,将区间 [ 0 ,1] 等分成 n 个小区间:

? ( n ? 1) b ? ? b ? ? b 2b ? , b? ?0 , n ? , ? n , n ? ,…, ? n ? ? ? ? ? ?
记第 i 个区间为 ?

? ( i ? 1) b i ? b ? , ? (i = 1, 2 , L , n) ,其长度为 n n ? ?

?x =

i ? b ( i ? 1) b b ? = n n n

把在分段 ?0 ,

? ?

? ( n ? 1) b ? b ? ? b 2b ? , b ? 上所作的功分别记作: ?W1 , ?W2 ,…, ?Wn ? , ? n , n ? ,…, ? n n? ? ? ? ?

(2)近似代替 近似代替

7

有条件知: ?Wi = F ? (3)求和 求和

? ( i ? 1) b ? ( i ? 1) b ? b ? ? ?x = k ? n n ? n ?

(i = 1, 2 , L , n)

Wn = ∑ ?Wi = ∑ k ?
i =1 i =1

n

n

( i ? 1) b ? b
n

n

=

kb 2 kb 2 n ( n ? 1) kb 2 ? 1 ? ?0 + 1 + 2 + L + ( n ? 1) ? = 2 = ?1 ? ? ? n n2 ? 2 2 ? n? kb 2 ? 1 ? ?1 ? ? 2 ? n? kb 2 ? 1 ? kb 2 ?1 ? ? = n →∞ 2 2 ? n?
kb 2 2

从而得到 W 的近似值 W ≈ Wn =
n

(4)取极限 W = lim Wn = lim 取极限
n →∞

n →∞

∑ ?Wi = lim
i =1

所以得到弹簧从平衡位置拉长 b 所作的功为:

、课堂小结: (四) 课堂小结:求汽车行驶的路程有关问题的过程。 、课堂小结 (五)作业:课本 P80A 组 2、3 作业: 五、教学后记

8

第三课时

定积分的概念

一、教学目标:1.通 过 求 曲 边 梯 形 的 面 积 和 汽 车 行 驶 的 路 程 , 了 解 定 积 分 的 背 景 ; 2.借 教学目标: 助于几何直观定积分的基本思想, 解定积分的概念, 用定积分定义求简单的定积分; 了 能 3.理解掌握定积分的几何意义. 二、教学重点:定 积 分 的 概 念 、 用 定 义 求 简 单 的 定 积 分 、 定积分的几何意义. 教学重点: 教学难点: 教学难点:定 积 分 的 概 念 、 定积分的几何意义. 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 教学方法: 四、教学过程 、 (一) 创设情景 复习: 复习:1. 回忆前面曲边梯形的面积,汽车行驶的路程等问题的解决方法,解决步骤: 分割→近似代替(以直代曲)→求和→取极限(逼近) 2.对这四个步骤再以分析、理解、归纳,找出共同点. 、新课探析 (二) 新课探析 、新课 1.定积分的概念 一般地,设函数 f ( x ) 在区间 [ , ]上连续,用分点 ab

a = x 0 < x1 < x 2 < L < x i- 1 < x i < L < x n = b
将区间 [ a, b] 等分成 n 个小区间, 每个小区间长度为 D x( D x = 上任取一点 xi (i = 1,2, ,n ),作和式: S n = L 如果 D x 无限接近于 0 (亦即 n ?

b- a ) 在每个小区间 [x i- 1 ,x i ] , n

邋f (xi )D x =
i= 1

n

b- a f (xi ) n i= 1

n

  )时,上述和式 Sn 无限趋近于常数 S ,那么称该常数 S
b

为函数 f ( x ) 在区间 [ a, b] 上的定积分 定积分。记为: S = 定积分 其中

òa

f (x ) x , d

ò-

积分号, 积分上限, 积分下限, 被积函数, 积分变量, 积分号 b -积分上限 a -积分下限, f ( x ) -被积函数 x -积分变量 [ a, b] -积 积分上限 积分下限 被积函数 积分变量 积

分区间, 被积式。 分区间, f (x )dx -被积式 被积式
b

说明: (1)定积分 说明:
b

òa

f (x ) 是一个常数,即 Sn 无限趋近的常数 S ( n ? dx

  时)记为

òa

f (x ) ,而不是 Sn . dx
a b (2)用定义求定积分的一般方法是:①分割: n 等分区间 [ , ];②近似代替:取点

9

xi ? [x i- 1 ,x i ];③求和: ?

b b- a dx i f (xi );④取极限: ò f (x ) = l m n  a n i= 1
b

n

b- a ? f (xi ) n
i= 1

n

(3)曲边图形面积: S =

òa

f (x ) ;变速运动路程 S = dx

òt

t2

v (t) ;变力做功 dt

1

W =

b

òa

F (r)dr

2.定积分的几何意义 从几何上看,如果在区间 [ , ]上函数 f (x )连续且恒有 ab

f (x )? 0 ,那么定积分 ò f (x ) 表示由直线 dx
a

b

x = a,x = b (a ? b ),y

0 和曲线 y = f (x ) 所围成的曲边

梯形

(如图中的阴影部分)的面积,这就是定积分
b

òa f (x )dx 的几何意义。

b

说明: 说明 : 一般情况下,定积分

òa

f (x ) 的几何意义是介于 x 轴、函数 f ( x) 的图形以及直线 dx

x = a ,x = b 之间各部分面积的代数和,在 x 轴上方的面积取正号,在 x 轴下方的面积去负号。
分析:一般的,设被积函数 y = f (x ) ,若 y = f (x ) 在 [ a, b] 上可取负值。 考察和式 f (x 1 )D x +

f (x 2 )D x + L + f (x i )D x + L + f (x n )D x

不妨设 f (x i ),f (x i+ 1 ), ,f (x n )< 0 L 于是和式即为

f (x1 )D x + f (x 2 )D x + L + f (x i- 1 )D x - {[- f (x i )D x ]+ L + [- f (x n )D x ]}
b

\

òa

f (x )dx = 阴影 A 的面积—阴影 B 的面积(即 x 轴上方面积减 x 轴下方的面积) 轴下方的面积) (

思考: 思考:根据定积分的几何意义,你能用定积分表示图中阴影部分的面积 S 吗?

3.定积分的性质 根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质: 根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质:

10

b

性质 1 性质 2 性质 3 性质 4 (1)

òa
b b

kdx = k ( - a); b
b a

蝌kf (x )dx = k a
a

f (x )dx (k 为常数)(定积分的线性性质) ;
b a

dx 蝌[f1 (x )? f2 (x )]

f1 (x )dx   f2 (x )dx (定积分的线性性质) ;
a

b

蝌f (x )dx = a
b a

b

c a a b

f (x )dx +

 f (x )dx (其中a < c < b )(定积分对积分区间的可加性) c
òa f (x )dx = 0 ;
b a a

b

蝌f (x )dx = -

f (x )dx ; (2)

说明:①推广:

蝌[f (x )北f (x ) a
1 2

b

L ? fm (x )] dx
c1 a

f1 (x )dx 北蝌f2 (x )dx
a

b

L  
b

b a

fm (x )

②推广:

蝌f (x )dx =
a

b

f (x )dx +

蝌 f (x )dx + L +
c1

c2

ck

f (x )dx

③性质解释:
y

性质 4 性质 1
y=1 M y A C

B

N a P b x

O

a

b

x

O

S 曲边梯形A M N B = S 曲边梯形A M PC + S 曲边梯形C PN B
. (三) 典例分析
2

例 1、计算定积分

ò

1

(x + 1)dx

分析:所求定积分是 x = 1,x = 2,y = 0与y =

x + 1 所围成的梯形面积,即为如图阴影部
y

5 分面积,面积为 。 2
2

即:

ò

1

(x + 1)dx =

5 2
2

O

1

2

x

思考:若改为计算定积分

ò

- 2

(x + 1)dx 呢?

改变了积分上、下限,被积函数在 [ 2,2]上,出现了负值如何解决呢?(后面解决的问题) 1

例 2、计算定积分

ò

0

(2 x - x 2 )dx

11

分析:利用定积分性质有, 利用定积分的定义分别求出 . (四) 课堂练习 计算下列定积分
5

蝌(2x 0 1

1

x 2 )dx = 2
1 0

1 0

xdx -

 x
0 1 0

1

2

dx

ò

0

xdx , ò x 2dx ,就能得到 ò (2x - x 2 )dx 的值。

1. 2.

ò ò

0 1

(2 x - 4) dx

5

ò
1

0

(2 x - 4)dx = 9 - 4 = 5

- 1

x dx

ò

- 1

x dx =

1 1 创 1+ 创 1 = 1 1 1 2 2

3.课本 P80 页练习题 . 练习题 (五).回顾总结:定 积 分 的 概 念 、 用 定 义 法 求 简 单 的 定 积 分 、 定积分的几何意义. 回顾总结: (六).布置作业:课本 P81 页习题 4-1A 组 4、5 布置作业: 五、教学后记: 教学后记: B组2

12

第四课时

微积分基本定理

一、教学目标:了解牛顿-莱布尼兹公式 教学目标: 二、教学重难点:牛顿-莱布尼兹公式 教学重难 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 教学方法: 四、教学过程 、复习: (一) 复习:定积分的概念及计算 、复习 (二) 探究新课 、探究新课 、 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂,所以不是求定积分的一般方法。 我们必须寻求计算定积分的新方法,也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动,在时刻 t 时物体所在位置为 S(t),速度为 v(t)( v(t ) ≥ o ) , 则物体在时间间隔 [T1 , T2 ] 内经过的路程可用速度函数表示为



T2

T1

v(t )dt 。

另一方面,这段路程还可以通过位置函数 S(t)在 [T1 , T2 ] 上的增量 S (T1 ) ? S (T2 ) 来表达, 即



T2

T1

v(t )dt = S (T1 ) ? S (T2 )

且 S ′(t ) = v (t ) 。

对于一般函数 f ( x ) ,设 F ′( x ) = f ( x ) ,是否也有



b

a

f ( x)dx = F (b) ? F (a)

若上式成立,我们就找到了用 f ( x ) 的原函数 原函数(即满足 F ′( x ) = f ( x ) )的数值差 F (b) ? F ( a ) 来 原函数 计算 f ( x ) 在 [ a, b] 上的定积分的方法。 定理 如果函数 F ( x ) 是 [ a , b ] 上的连续函数 f ( x ) 的任意一个原函数,则



b

a

f ( x)dx = F (b) ? F (a)

证明:因为 Φ ( x) =



x

a

f (t )dt 与 F ( x) 都是 f ( x ) 的原函数,故 F ( x ) - Φ ( x) =C( a ≤ x ≤ b )

其中 C 为某一常数。令 x = a 得 F ( a ) - Φ ( a ) =C,且 Φ ( a ) =



a

a

f (t )dt =0

即有 C= F ( a ) ,故 F ( x ) = Φ ( x) + F ( a ) ∴ Φ ( x) = F ( x ) - F ( a ) = 令 x = b ,有



x

a

f (t )dt



b

a

f ( x)dx = F (b) ? F (a)
b

为了方便起见,还常用 F ( x ) |a 表示 F (b) ? F (a) ,即
13



b

a

f ( x)dx = F ( x) |b = F (b) ? F (a) a

该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法,把 求定积分的问题,转化成求原函数的问题,是微分学与积分学之间联系的桥梁。 例1. 计算 解:由于



1

0

x 2 dx

1 3 x 是 x 2 的一个原函数,所以根据牛顿—莱布尼兹公式有 3 1 1 3 1 1 3 1 3 1 2 ∫0 x dx = 3 x |0 = 3 ?1 ? 3 ? 0 = 3
2

例2 求



x 1 + x2

0

dx
1 1 1 d ( x2 ) 2 d (1 + x 2 ) 1 2 2 = ∫ ∫ 1 + x 2 2 1 + x 2 = 2 2(1 + x ) 2 + C = (1 + x ) 2 + C 2

解 因为



xdx 1 + x2

=



(1 + x 2 ) x 1 + x2

1 2

2 0

x = 5 ? 1 1 + x2
1

有一个原函数为 (1 + x ) 2 ,所以
2

1



2

0

dx = (1 + x 2 ) 2 = 5 ? 1
0
2

2

例 3 汽车以每小时 32 公里速度行驶,到某处需要减速停车。设汽车以等减速度 a =1.8 米/秒 刹 车,问从开始刹车到停车,汽车走了多少距离? 解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。当 t=0 时,汽车速度 v0 =32 公里/小时 =

32 × 1000 米/秒 ≈ 8.88 米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为 v (t)=v0 ? at=8.88-1.8t 当汽车停 3600 8.88 住时,速度 v (t)=0 ,故从 v (t)=8.88-1.8t=0 解得 t= ≈ 4.93 秒 1.8

于是在这段时间内,汽车所走过的距离是

s=∫

4.93

0

v (t)dt = ∫

4.93

0

1 (8.88 ? 1.8t)dt = (8.88 ? 1.8 × t 2 ) 2 0

4.93

≈ 21.90 米,即在刹车后,汽车需

走过 21.90 米才能停住. 、小结: (三) 小结:本节课学习了牛顿-莱布尼兹公式. 、小结 、课堂练习: (四) 课堂练习:第 47 页练习 A、B 、课堂练习 、课后作业: (五) 课后作业:第 48 页 A:3,4 、课后作业 五、教后反思: 教后反思: 反思

14

第五课时 一:教学目标

微积分基本定理

知识与技能目标:通过实例,直观了解微积分基本定理的含义,会用牛顿-莱布尼兹公式求简单 知识与技能目标 的定积分 过程与方法: 过程与方法:通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法 情感态度与价值观: 情感态度与价值观:通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系, 培养学生辩证唯物主义观点,提高理性思维能力。 二、教学重难点 重点通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系,使学生直观了解微积分基本定理的含义, 重点 并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点 了解微积分基本定理的含义 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 教学方法: 四、教学过程 、复习: (一) 复习:定积分的概念及用定义计算 、 (二) 探究新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂,所以不是求定积分的一般方法。 我们必须寻求计算定积分的新方法,也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动,在时刻 t 时物体所在位置为 S(t),速度为 v(t)( v(t ) ≥ o ) , 则物体在时间间隔 [T1 , T2 ] 内经过的路程可用速度函数表示为



T2

T1

v(t )dt 。

另一方面,这段路程还可以通过位置函数 S(t)在 [T1 , T2 ] 上的增量 S (T1 ) ? S (T2 ) 来表达, 即



T2

T1

v(t )dt = S (T1 ) ? S (T2 )

而 S ′(t ) = v (t ) 。
15

对于一般函数 f ( x ) ,设 F ′( x ) = f ( x ) ,是否也有



b

a

f ( x)dx = F (b) ? F (a)

若上式成立,我们就找到了用 f ( x ) 的原函数 原函数(即满足 F ′( x ) = f ( x ) )的数值差 F (b) ? F ( a ) 来 原函数 计算 f ( x ) 在 [ a, b] 上的定积分的方法。 注:1:定理 如果函数 F ( x ) 是 [ a , b ] 上的连续函数 f ( x ) 的任意一个原函数,则



b

a

f ( x)dx = F (b) ? F (a)

证明:因为 Φ ( x) =



x

a

f (t )dt 与 F ( x) 都是 f ( x ) 的原函数,故 F ( x ) - Φ ( x) =C( a ≤ x ≤ b )

其中 C 为某一常数。 令 x = a 得 F ( a ) - Φ ( a ) =C,且 Φ ( a ) =



a

a

f (t )dt =0
x

即有 C= F ( a ) ,故 F ( x ) = Φ ( x) + F ( a ) ∴ Φ ( x) = F ( x ) - F ( a ) = 令 x = b ,有



a

f (t )dt



b

a

f ( x)dx = F (b) ? F (a)

此处并不要求学生理解证明的过程 为了方便起见,还常用 F ( x ) |a 表示 F (b) ? F (a) ,即
b



b

a

f ( x)dx = F ( x) |b = F (b) ? F (a) a

该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法,把 求定积分的问题,转化成求原函数的问题,是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了 导数和定积分之间的内在联系,同时也提供计算定积分的一种有效方法,为后面的学习奠定了基 础。因此它在教材中处于极其重要的地位,起到了承上启下的作用,不仅如此,它甚至给微积分 学的发展带来了深远的影响,是微积分学中最重要最辉煌的成果。 例 1.计算下列定积分:
3 1 1 dx ; (2) ∫ (2 x ? 2 )dx 。 1 x 1 x 1 ' 解: (1)因为 (ln x ) = , x 21 2 所以 ∫ dx = ln x |1 = ln 2 ? ln1 = ln 2 。 1 x 1 ' 1 2 ' (2) )因为 ( x ) = 2 x, ( ) = ? 2 , x x 3 3 3 1 1 所以 ∫ (2 x ? 2 ) dx = ∫ 2 xdx ? ∫ 2 dx 1 1 1 x x 1 3 1 22 3 = x 2 |1 + |1 = (9 ? 1) + ( ? 1) = 。 x 3 3

(1)



2

16

练习:计算 解:由于



1

0

x 2 dx

1 3 x 是 x 2 的一个原函数,所以根据牛顿—莱布尼兹公式有 3 1 1 3 1 1 3 1 3 1 2 ∫0 x dx = 3 x |0 = 3 ?1 ? 3 ? 0 = 3

例 2.计算下列定积分:



π

0

sin xdx, ∫ sin xdx, ∫ sin xdx 。
π
0





由计算结果你能发现什么结论?试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。
' 解:因为 ( ? cos x) = sin x ,所以

∫ ∫

π

0

sin xdx = (? cos x) |π = (? cos π ) ? (? cos 0) = 2 , 0
2 sin xdx = (? cos x) |ππ = (? cos 2π ) ? (? cos π ) = ?2 , 2 sin xdx = (? cos x) |0π = (? cos 2π ) ? (? cos 0) = 0 .

∫π





0

可以发现,定积分的值可能取正值也可能取负值,还可能是 0: ( l )当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时(图 1.6 一 3 ) ,定积分的值取正值,且等于曲 边梯形的面积;

图1 . 6 一 3 ( 2 ) (2)当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时(图 1 . 6 一 4 ) ,定积分的值取负值,且等于 曲边梯形的面积的相反数;

( 3)当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时,定积分的值

17

为 0(图 1 . 6 一 5 ) ,且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形 面积. 例 3.A、B 两站相距 7.2km,一辆电车从 A 站 B 开往站,电车开出 ts 后到达途中 C 点,这一段的 速度为 1.2t(m/s), C 点的速度为 24m/s, C 点到 B 点前的 D 点以等速行驶, D 点开始刹车, 到 从 从 经 ts 后,速度为(24-1.2t)m/s,在 B 点恰好停车,试求 (1)A、C 间的距离; (2)B、D 间的距离; (3)电车从 A 站到 B 站所需的时间。 分析: 分析: 作变速直线运动的物体所经过的路程 s,等于其速度函数 v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b] 上的定积分,即 S= v (t )dt
a



b

略解: (1)设 A 到 C 的时间为 t1 则 1.2t=24, t1=20(s),则 AC= 略解: (2)设 D 到 B 的时间为 t21 则 24-1.2t2=0, t21=20(s), 则 DB=



20

0

20 1.2tdt = 0.6t 2 | 0 = 240(m )

∫ (24-1.2t)dt = 0.6t
0

20

2 20 |0 =

240(m )

(3)CD=7200-2 × 240=6720(m),则从 C 到 D 的时间为 280(s),则所求时间为 20+280+20=320(s) 微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系,同时它也提供了计算定积分的一种有效方 法.微积分基本定理是微积分学中最重要的定理,它使微积分学蓬勃发展起来,成为一门影响深 远的学科,可以毫不夸张地说,微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果. 四:课堂小结: 课堂小结: 本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况下的牛顿-莱布尼兹 公式.成立, 进而推广到了一般的函数, 得出了微积分基本定理, 得到了一种求定积分的简便方法, 运用这种方法的关键是找到被积函数的原函数,这就要求大家前面的求导数的知识比较熟练,希 望,不明白的同学,回头来多复习! 五:教学后记: 教学后记:

18

第六课时

定积分的简单应用( 定积分的简单应用(一)

3.1 平面图形的面积 一、教学目标:1、进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想 教学目标: 方法;2、让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理;3、初步掌握利用定积分求 曲边梯形面积的几种常见题型及方法。 二、教学重难点: 教学重难点: 曲边梯形面积的求法及应用

三、教学方法:探析归纳,讲练结合 教学方法: 四、教学过程 教学过程 (1) 、求曲边梯形的思想方法是什么?(2)、定积分的几何意义是什么?(3) 、微积分 1、复习: 复习: 基本定理是什么? 2、定积分的应用 (一)利用定积分求平面图形的面积
2 2 例 1.计算由两条抛物线 y = x 和 y = x 所围成的图形的面积.

【分析】 两条抛物线所围成的图形的面积, 可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。 解: ?

?y = x ?
2

?y = x ?

? x = 0及x = 1 ,所以两曲线的交点为

(0,0) 、
y =

(1,1) ,面积 S= =



1

0

xdx ? ∫ x 2 dx ,所以
0 3 1

1

x

B C y=x O D A
2

1 ?2 3 x ? 1 S = ∫ ( x - x 2 )dx = ? x 2 ? ? =3 0 3 ?0 ?3

【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤: 1.作图象;2.求交点;3.用定积分表示所求的面积;4. 本定理求定积分。

微积分基

3 2 巩固练习 计算由曲线 y = x ? 6 x 和 y = x 所围成的图形的面积.

例 2.计算由直线 y = x ? 4 ,曲线 y =

2 x 以及 x 轴所围图形的面积 S.

分析: 分析:首先画出草图(图 1.7 一 2 ) ,并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积 问题.与例 1 不同的是,还需把所求图形的面积分成两部分 S1 和 S2.为了确定出被积函数和积 分的上、下限,需要求出直线 y = x ? 4 与曲线 y = 的交点.
19

2 x 的交点的横坐标,直线 y = x ? 4 与 x 轴

解:作出直线 y = x ? 4 ,曲线 y = 解方程组 ?

2 x 的草图,所求面积为图 1. 7 一 2 阴影部分的面积.

? y = 2x , ? 得直线 y = x ? 4 与曲线 y = 2 x 的交点的坐标为(8,4) . ?y = x ? 4 ?

直线 y = x ? 4 与 x 轴的交点为(4,0). 因此,所求图形的面积为 S=S1+S2

=∫

4

0

2 xdx + [ ∫

8

4

2 xdx ? ∫ ( x ? 4)dx]
4

8

2 2 3 4 2 2 3 8 1 40 = x 2 |0 + x 2 |4 ( x ? 4) 2 |8 = . 4 3 3 2 3
由上面的例题可以发现,在利用定积分求平面图形的面积时,一般要先画出它的草图,再借助图 形直观确定出被积函数以及积分的上、下限. 3.求曲线 y = sin x  x ∈ [0, 例 3.

2π 2π ] 与直线 x = 0, x = , x 轴所围成的图形面积。 3 3
2π | o3

答案: 答案: S= 练习



2π 3 0

sin xdx = ? cos x

=

3 2

1、求直线 y = 2 x + 3 与抛物线 y = x 2 所围成的图形面积。 答案: S= ( x+3-x 2 )dx = x 2 + 3 x ? 2 (
?1



3

x 3 3 32 ) | ?1 = 3 3
y

o
2、求由抛物线 y = ? x 2 + 4 x ? 3 及其在点 M(0,-3)

x y=-x2+4x-3

20

和 N(3,0)处的两条切线所围成的图形的面积。 略解: 略解:Q y / = ?2 x + 4 ,切线方程分别为 y = 4 x ? 3 、

y = ?2 x + 6 ,则所求图形的面积为 S=



3 2 [(4 x 0

? 3) ? (? x 2 + 4 x ? 3)]dx +



3 [(?2 x 2

3

+ 6) ? ( ? x 2 + 4 x ? 3)]dx=

9 4

3、求曲线 y = log 2 x 与曲线 y = log 2 (4 ? x ) 以及 x 轴所围成的图形面积。 略解: 略解:所求图形的面积为

S= 【g ( y ) ? f ( y )dy =
0



1

∫ (4 ? 2 × 2
0

1

y

)dy

( = 4 y ? 2 × 2 y log 2 e ) |1 = 4 ? 2 log 2 e 0
2 4、 在曲线 y = x ( x ≥ 0) 上的某点 A 处作一切线使之与曲线以及 x 轴所围成的面积为

1 试求: .试求: 12

的坐标以及切线方程. 切点 A 的坐标以及切线方程. 略解:如图由题可设切点坐标为 x 0 , x 0 ) ,则切线方程 略解: ( 为 y = 2 x 0 x ? x 0 ,切线与 x 轴的交点坐标为
2 2

x

y=x2 A

O BC

x

(

x0 ,0) ,则由题可知有 S = 2



x0 2 0

x 2 dx +



x0 x0 2

( x 2 ? 2 x 0 x + x 0 2 )dx =

x0 1 = 12 12

3

∴ x 0 = 1 ,所以切点坐标与切线方程分别为 A (1,1), y = 2 x ? 1
( 二 ) 归纳 总结 : 1 、 定积分的几何意义是: 在区间[a , b]上的曲线y = f ( x )与直线x = a 、 、

x = b以及x 轴所围成的图形的面积的代数和,即

∫ f ( x)dx = S
a

b

x轴上方-S x轴下方 .

因此求一些曲边图形的面积要可以利用定积分的几何意义以及微积分基本定理,但要特别注意图 形面积与定积分不一定相等, 如函数 y = sin x x ∈ [0 2π] , 的图像与 x 轴围成的图形的面积为 4, 而其定积分为 0. 2、求曲边梯形面积的方法:⑴画图,并将图形分割为若干个曲边梯形;⑵对每个曲边梯形确定 求曲边梯形面积的方法: 其存在的范围,从而确定积分的上、下限;⑶确定被积函数;⑷求出各曲边梯形的面积和,即各 积分的绝对值的和。 、作业布置: (三) 作业布置:课本 P90 页习题 4-3 中 1、2、3、4 、作业布置 五、教学反思: 教学反思:
21

第七课时

定积分的简单应用( 定积分的简单应用(二)

3.1 平面图形的面积 一、教学目标: 教学目标 1、了解定积分的几何意义及微积分的基本定理;2、掌握利用定积分求曲边图形的面积。 二、教学重点与难点: 教学重点与难点: 1、定积分的概念及几何意义;2、定积分的基本性质及运算的应用 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 教学方法: 四、教学过程 (一)练习 1.若 ∫ (2 x + ) dx = 3 + ln 2,则 a 的值为( D
1 a

1 x

) C.3 D.2

A.6 2.设 f ( x) = ?
3 4
1

B.4
? x 2 (0 ≤ x < 1) ?2 ? x(1 < x ≤ 2)
a

,则 ∫ f ( x) dx 等于( C
1



A.

B.

4 5

C.

5 6

D.不存在

3.求函数 解:∵

f (a) = ∫0(6 x 2 + 4ax + a 2 )dx 的最小值
1 2 2
2 2

+ ax (2 x a + ∫ (6 x + 4ax + a(6)xdx 4= (+2ax)dx+= 2ax+ 2+ a axx)) | = 2 + 2a + a
3
3

2

2

2 2

1 1

2

0

0 0



∴ f (a) = a 2 + 2a + 2 = (a + 1)2 + 1 . 4.求定分 ∫
3

∴当 a = – 1 时 f (a)有最小值 1.

?2

16 + 6x ? x 2 dx.

5.怎样用定积分表示:

x=0,x=1,y=0 及 f(x)=x2 所围成图形的面积?

S1 = ∫ f ( x )dx = ∫ x 2dx =
0 0

1

1

1 3

6. 你能说说定积分的几何意义吗?例如



b

a

f ( x )dx 的几何意义是什么?

表示 x 轴,曲线 y = f (x ) 及直线 x = a , x = b 之间的各部分面积的代数和,在 x 轴上方的 面积取正,在 x 轴下方的面积取负。 、新课探析 (二) 新课探析 、 例 1.讲解教材例题

22

例 2.求曲线 y=sinx ,x∈ [0, 练习:

2π 2π ] 与直线 x=0 , x = 3 3

,x 轴所围成图形的面积。

1.如右图,阴影部分面积为( B ) A. ∫ [ f ( x) ? g ( x)] dx
a b

B. ∫ [ g ( x) ? f ( x)]dx + ∫ [ f ( x) ? g ( x)] dx
a c

c

b

C. ∫ [ f ( x) ? g ( x)]dx + ∫ [ g ( x) ? f ( x)] dx
a c

b

b

D. ∫ [ g ( x) + f ( x)] dx
a

b

2.求抛物线 y = – x + 4x – 3 及其在点 A(1,0)和点 B(3,0)处的切线所围成的面积.

2

2 3

、归纳总结: 求曲边梯形面积的方法 求曲边梯形面积的方法: (三) 归纳总结:1、求曲边梯形面积的方法:⑴画图,并将图形分割为若干个曲边梯形;⑵对 、归纳总结 每个曲边梯形确定其存在的范围,从而确定积分的上、下限;⑶确定被积函数;⑷求出各曲边梯 形的面积和,即各积分的绝对值的和。 2、几种常见的曲边梯形面积的计算方法: 几种常见的曲边梯形面积的计算方法:

) (1) x 型区域:①由一条曲线 y = f ( x )(其中f ( x ) ≥ 0 与直线 x = a , x = b(a < b) 以及 x 轴所围成
) 的曲边梯形的面积: S= f ( x )dx (如图(1);
a



b

②由一条曲线 y = f ( x )(其中f ( x ) ≤ 0 与直线 x = a , x = b(a < b) 以及 x 轴所围成的曲边梯形的面 ) 积: S= ) ∫ f ( x)dx =-∫ f ( x)dx (如图(2);
a a b b

③由两条曲线 y = f ( x ),y = g ( x )(其中f ( x ) ≥ g ( x ) 与直线 x = a , x = b(a < b) )

y

y = f (x)

y

y a b x

y = f (x)

a
图 ( 1)

b

x

y = f (x)
图 ( 2)

y = g(x)
a

b x

图 ( 3)

) 所围成的曲边梯形的面积: S= | f ( x )-g ( x ) | dx (如图(3);
a



b

23

(2) y 型区域:①由一条曲线 y = f ( x )(其中x ≥ 0 与直线 y = a , y = b(a < b) 以及 y 轴所围成的 ) 曲边梯形的面积,可由 y = f ( x ) 得 x = h( y ) ,然后利用 S= h( y )dy 求出(如图(4);②由一条 )
a



b

曲线 y = f ( x )(其中x ≤ 0 与直线 y = a , y = b(a < b) 以及 y 轴所围成的曲边梯形的面积,可由 )

y = f ( x ) 先求出 x = h( y ) ,然后利用 S= h( y )dy =- h( y )dy 求出(如图(5); ③由两条曲 )
a a



b



b

线 y = f ( x ),y = g ( x ) 与 直 线 y = a , y = b(a < b) 所 围 成 的 曲 边 梯 形 的 面 积 , 可 由

y = f ( x ),y = g ( x ) 先分别求出 x = h1 ( y ) ,x = h2 ( y ) , 然后利用 S= | h1 ( y )-h2 ( y ) | dy 求出 (如
a



b

图(6); )

y b

y

b x a

y b

y = f (x) y = f (x) x
a
图 ( 4) 图 ( 5)

y = f (x)
y = g(x) x

a
图 ( 6)

3、求平面曲线的弧长:设曲线 AB 方程为 y = f ( x )( a ≤ x ≤ b) ,函数 f ( x ) 在区间 [ a , b] 上可导, 求平面曲线的弧长: 且 f ' ( x) 连续,则曲线 AB 的弧长为 l =



b

a

1 + [ f ' ( x)]2 dx .

、作业: (1) (四) 作业:1、计算下列定积分。



3

?4

| x + 2 |dx

(2)



e +1

2

1 dx x ?1

.解:(1)



3

?4

| x + 2 |dx = ? ∫ (x + 2) + ∫ (x + 2) dx dx
?4 ?2

?2

3

1 2 29 = 2

= ?( x + 2 x ) |?4 + ( x + 2 x ) |?2
2 2 3

?2

1 2

(2) 原式= ln(1 ? x ) |2 = ln e ? ln1 =1 2、求由曲线 y = x 2 + 2 与 y = 3 x , x = 0 , x = 2 所围成的平面图形的面积(画出图形)。 解: S =

e +1



1

0

( x 2 + 2 ? 3 x)dx + ∫ (3x ? x 2 ? 2)dx = 1
1

2

五、教后反思: 教后反思:

24

第八课时

定积分的简单应用( 定积分的简单应用(三)

3.2 简单几何体的体积 一、教学目标 1、理解定积分概念形成过程的思想;2、会根据该思想求简单旋转体的体积问题。 二、 学法指导 本节内容在学习了平面图形面积计算之后的更深层次的研究,关键是对定积分思想的理解及 灵活运用,建立起正确的数学模型,根据定积分的概念解决体积问题。 三、教学重难点: 教学重难点: 重点:利用定积分的意义和积分公式表解决一些简单的旋转体的体积问题; 难点;数学模型的建立及被积函数的确定。 四、教学方法:探究归纳,讲练结合 教学方法: 五、教学过程 、复习: 、求曲边梯形面积的方法是什么?(2)、定积分的几何意义是什么?(3) 、微 (一) 复习: 、复习 (1) 积分基本定理是什么? (二)新课探析 问 题 : 函 数 y = f ( x ) , x ∈ [ a, b ] 的 图 像 绕 x 轴 旋 转 一 周 , 所 得 到 的 几 何 体 的 体 积

V=
典例分析



V = π ∫ [ f ( x)]2 dx
a

b

例 1、给定直角边为 1 的等腰直角三角形,绕一条直角边旋转一周,得到一个圆锥体。求它的 体积。 分割→近似代替(以直代曲)→求和→取极限(逼近) 学生阅读课本 P89 页分析,教师引导。 解:圆锥体的体积为 O 1 X Y

?xi
Y

O

X

V = ∫ π x 2 dx =
0

1

π
3

x3

1 0

=

π
3
25

变式练习 1、求曲线 y = e ,直线 x = 0 , x =
x

1 与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋 2

转体的体积。 答案:

π
2

(e ? 1) ;

例 2、如图,是常见的冰激凌的形状,其下方是一个圆锥,上方是 由一段抛物线弧绕其对称轴旋转一周所成的形状,尺寸如图所示,试求 其体积。 分析: 分析:解此题的关键是如何建立数学模型。将其轴载面按下图位置 放置,并建立坐标系。则 A,B 坐标可得,再求出直线 AB 和抛物线方程, “冰激凌”可看成是由抛物线弧 OB 和线段 AB 绕 X 轴旋转一周形成的。 解:将其轴载面按下图位置放 设抛物线弧 OA 所在的抛物线方程为:y 2 = 2 px , 置, 并建立如图的坐标系。 A(12,0) , B (4,4) , 则 代入 B (4,4) 求得: p = 2 ∴抛物线方程为: y 2 = 4 x ( y ≥ 0 ) 设直线 AB 的方程为: = qy + 12 , x 代入 B (4,4) 求得: = ?2 q ∴直线 AB 的方程为: y = ? ∴ 所
4

1 x+6 2
凌 ” 的 体 积 为 :






12



π ?∫ (2 x ) 2 dx + ∫ (? x + 6) 2 dx ? =
0 4

? ?

1 2

? ?

224π (cm) 3 3

变式练习 2 如图一,是火力发电厂 烟囱示意图。它是双曲线绕 其一条对称轴旋转一周形成 的几何体。烟囱最细处的直 径为 10m , 最下端的直径为

12m ,最细处离地面 6m ,
烟囱高 14 m ,试求该烟囱占有空间的大小。 一) (图二) (图

26

(精确到 0.1m )

3

答案: 1659.2m

3

归纳总结: 归纳总结:求旋转体的体积和侧面积 由曲线 y = f ( x) ,直线 x = a, x = b 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴 旋转而成的旋转体体积为 V = π
b

∫ [ f ( x)] dx .其侧面积为
2 a

b

S侧 = 2π ∫ f ( x) 1 + [ f ' ( x)]2 dx .
a

求体积的过程就是对定积分概念的进一步理解过程, 总结求旋转体体 积 公 式 步 骤 如 下 : 1 . 先 求 出 y = f ( x) 的 表 达 式 ; 2 . 代 入 公 式

V = ∫ π f 2 ( x )dx ,即可求旋转体体积的值。
b a

、课堂小结: (三) 课堂小结:求体积的过程就是对定积分概念的进一步理解过程,总结求旋转体体积公式 、课堂小结 步骤如下:1.先求出 y = f ( x ) 的表达式;2.代入公式 V = 的值。 、作业布置: (四) 作业布置:课本 P90 页练习题中 2;习题 4-3 中 6、7 、作业布置 五、教后反思



b

a

π f 2 ( x )dx ,即可求旋转体体积

27

第九课时

定积分的简单应用

一、教学目标: 教学目标 1、了解定积分的几何意义及微积分的基本定理. 2、掌握利用定积分求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题。 教学重点与难点: 二、教学重点与难点:1、定积分的概念及几何意义;2、定积分的基本性质及运算在物理中应用。 三、教学方法:探究归纳,讲练结合 教学方法: 四、教学过程 、复习: (1) 、求曲边梯形的思想方法是什么?(2)、定积分的几何意义是什么?(3) 、微 (一) 复习: 积分基本定理是什么? 、 (二) 定积分的应用 【定积分在物理中应用】 定积分在物理中应用】 1、求变速直线运动的路程 我们知道,作变速直线运动的物体所经过的路程 s,等于其速度函数 v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时 间区间[a,b]上的定积分,即 s =



b

a

v(t )dt

例 1。一辆汽车的速度一时间曲线如图 1.7 一 3 所示.求汽车在这 1 min 行驶的路程.

解:由速度一时间曲线可知:

?3t , 0 ≤ t ≤ 10, ? v(t ) = ?30,10 ≤ t ≤ 40 ??1.5t + 90, 40 ≤ t ≤ 60. ?
因此汽车在这 1 min 行驶的路程是:

s = ∫ 3tdt + [ ∫ 30dt + ∫ (?1.5t + 90)dt
0 10 40

10

40

60

3 3 40 = t 2 |10 +30t |10 + (? t 2 + 90t ) |60 = 1350(m) 0 40 2 4
答:汽车在这 1 min 行驶的路程是 1350m . 2.变力作功

28

一物体在恒力 F(单位:N)的作用下做直线运动,如果物体沿着与 F 相同的方向移(单位: m),则力 F 所作的功为 W=Fs . 探究 如果物体在变力 F(x)的作用下做直线运动,并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从 x =a 移动到 x=b (a<b) ,那么如何计算变力 F(x)所作的功 W 呢? 与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样, 可以用 “四 解决变力作功问题.可以得到 步曲”

W = ∫ F ( x)dx
a

b

例 2.如图 1·7 一 4 ,在弹性限度内,将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置 lm 处,求克服弹力 所作的功. 解:在弹性限度内,拉伸(或压缩)弹簧所需的力 F ( x )与弹簧拉伸(或压缩)的长度 x 成 正比,即 F ( x )= kx , 其中常数 k 是比例系数.由变力作功公式,得到

W = ∫ kxdx =
0

l

1 2 l 1 2 1 x |0 = kl ( J ) 答:克服弹力所作的功为 kl 2 J . 2 2 2

例 3.A、B 两站相距 7.2km,一辆电车从 A 站 B 开往站,电车开出 ts 后到达途中 C 点,这一段的 速度为 1.2t(m/s), C 点的速度为 24m/s, C 点到 B 点前的 D 点以等速行驶, D 点开始刹车, 到 从 从 经 ts 后,速度为(24-1.2t)m/s,在 B 点恰好停车,试求 (1)A、C 间的距离; (2)B、D 间的距离; (3)电车从 A 站到 B 站所需的时间。 分析: 作变速直线运动的物体所经过的路程 s,等于其速度函数 v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b] 分析: 上的定积分,即 S= v (t )dt
a



b

略解: (1)设 A 到 C 的时间为 t1 则 1.2t=24, t1=20(s),则 AC= 略解: (2)设 D 到 B 的时间为 t21 则 24-1.2t2=0, t21=20(s), 则 DB=



20

0

20 1.2tdt = 0.6t 2 | 0 = 240(m )

∫ (24-1.2t)dt = 0.6t
0

20

2 20 |0 =

240(m )

(3)CD=7200-2 × 240=6720(m),则从 C 到 D 的时间为 280(s),则所求时间为 20+280+20=320 (s) 练习: 练习:如果 1N 能拉长弹簧 1cm,为了将弹簧拉长 6cm,需做功( A
29



A

0.18J

B

0.26J

C

0.12J

D

0.28J

略解: 略解:设 F = kx ,则由题可得 k = 0.01 ,所以做功就是求定积分 0.01xdx = 0.18 。
0



6

、课堂小结: (三) 课堂小结: 本节课主要学习了利用定积分求一些曲边图形的面积与体积,即定积分在几 、课堂小结 何中应用,以及定积分在物理学中的应用,要掌握几种常见图形面积的求法,并且要注意定积分 的几何意义,不能等同于图形的面积,要注意微积分的基本思想的应用与理解。 、作业: (四) 作业:课本 P86 页 7 五、教后反思 根据定积分的定义,定积分既有几何背景,又有物理背景,进而定积分与这些知识有着天然 的联系。譬如:求几何图形的面积,求路程、平均速度、电荷量、电压、功、质量等。上述种种 尽管形式相异,然而所采用的思想方法均是:化曲为直,以不变代变,逼近,从某个角度而言充 分展现了数学思想方法的高度抽象性及应用的广。 P95 页 9、11

30

第十课时 定积分复习小结 一、教学目标:1、理解定积分的定义及几何意义,理解定积分的性质,了解微积分的基本定理, 教学目标: 并且熟练计算一些函数的积分;2、体会运用分割、近似代替、求和、取极限的思想过程;3、 掌握定积分的计算方法;4、利用定积分的几何意义会解决问题。 二、学法指导:1、重点理解定积分的定义及几何意义,理解定积分的性质,了解微积分的基本 学法指导: 定理,并且熟练计算一些函数的积分;2、定积分的概念是运用分割、近似代替、求和、取极限的 思想;3、重点掌握定积分的计算方法。 三、重点与难点:重点:理解并且掌握定积分算法;难点:利用定积分的几何意义解决问题。 重点与难点:重点: ;难点: 四、教学方法:探究归纳,讲练结合 教学方法: 五、教学过程 、知识闪烁 (一) 知识闪烁 、 1、 解决面积、路程、做功问题 3 个问题一般通过对 估计值,分割的 自变量的区间得到过剩估计值和不足 时,过剩估计值

,估计值就也接近精确值;当分割成的小区间的长度趋于 ;误差趋于 (2) ;其中 。 (3) (4) ;

和不足估计值都趋于

2、定积分的定义思想: (1) 3 、 lim

n →∞

∑ f (ξ )?x =
i =1 i i

n



叫做

a 叫做
4、 取
b

b 叫做

f ( x) 叫

; ;在 x 轴上方的面积

∫ f ( x )dx 的几何意义
b a

,在 x 轴下方的面积取

∫ f ( x )dx 的几何意义
a

; ;
b

∫ f ( x ) dx 的几何意义
b a


计算

b

a b

f ( x )dx ,



b

a

f ( x )dx , ∫ f ( x ) dx 的关系
a





a

f ( x ) dx 时 , 若 在 ? a, b ] 上 f ( x ) ≥ 0 则 ?

∫ f ( x ) dx =
b a b a

若 在 ? a, b ] 上 ?

f ( x) < 0



b

a

f ( x ) dx =

若在 ? a, c ] 上 f ( x ) ≥ 0 , ? c, b ] 上 f ( x ) < 0 ? ?

∫ f ( x ) dx =

5、定积分的性质:

∫ 1dx =
a

b



b

a

kf ( x )dx =



b

a

? f ( x ) ± g ( x ) ?dx = ? ?

31

(定积分对积分区间的可加性)

∫ f ( x )dx =
b a

6、如果连续函数 f ( x ) 是函数 F ( x ) 的导函数,即 f ( x ) =

,则有

∫ f ( x )dx =
b a

它叫做微积分基本定理,也称牛顿—莱布尼茨公式, F ( x ) 是 f ( x ) 的 7、计算定积分

∫ f ( x )dx =
b a

= F (b ) ? F ( a )

8、若 f ( x ) 在 [ ? a, a ] 上连续,且是偶函数,则有 连续,且是奇函数, 、方法点拨: (二) 方法点拨: 点拨



a

?a

f ( x )dx =

若 f ( x ) 在 [ ? a, a ] 上



a

?a

f ( x )dx =

1、求由两条曲线围城的平面图形的面积的解题步骤: 、画出图形; (1) (2)确定图形的范围,通 过解方程组求出交点的横坐标,为定积分的上下界; (3)确定被积函数函数,特别分清被积函数 的上、下位置; (4)写出平面图形面积的定积分表达式; (5)运用微积分公式求出定积分。 2、求简单旋转体体积的解题步骤: (1)画出旋转前的平面图形(将它转化为函数)(2)确定轴 ; 截面的图形的范围; (3)确定被积函数; (4)v= π 、例题探究 (三) 例题探究 、 (1)若 例 1、给出以下命题: 、



b

a

f 2 ( x )dx



b

a

f ( x)dx > 0 ,则 f(x)>0; (2) ∫ sin x dx = 4 ;
0
2 1



(3)应用微积分基本定理,有



1 dx = F (2) ? F (1) , 则 F(x)=lnx; x

(4)f(x)的原函数为 F(x),且 F(x)是以 T 为周期的函数,则 其中正确命题的个数为 ( ) A.1 B.2 学生练习,教师准对问题讲评。 答案:B C.3



a

0

f ( x)dx = ∫
D.4

a +T

T

f ( x)dx ;

2 例 2、求由曲线 y = x + 2 与 y = 3 x , x = 0 , x = 2 所围成的平面图形的面积。

y

解 :由题意知阴影部分的面积是:
2 S= ∫1 ( x 2 + 2 ? 3 x)dx + ∫1 (3 x ? x 2 ? 2)dx 0

1 3 3 1 2 = ( x 3 + 2 x ? x 2 ) |1 + ( x 2 ? x3 ? 2 x) |1 0 3 2 2 3 =1

0

x 1 2

例 3、如图所示,已知曲线 C1 : y = x 与曲线 C2 : y = ? x + 2ax ( a > 1) 交于点 O 、 A , 、
2

2

32

直线 x = t ( 0 < t ≤ 1) 与曲线 C1 、 C 2 分别相交于点 D 、 B ,连结 OD, DA , AB 。写出曲边四边 .... 形 ABOD (阴影部分)的面积 S 与 t 的函数关系式 S = f ( t ) 。 .

? y = x2 , 得点 O ( 0, 0 ) , A ( a, a 2 ) .又由已知得 B ( t , ?t 2 + 2at ) , D ( t , t 2 ) . 解: Ⅰ)由 ? ( 2 ? y = ? x + 2ax,
故S =

∫ (?x
t 0

2

+ 2ax ) dx ?

1 2 1 t t + ( ?t 2 + 2at ? t 2 ) × ( a ? t ) 2 2

1 ? 1 ? = ? ? x3 + ax 2 ? t0 ? t 3 + ( ?t 2 + at ) × ( a ? t ) 2 ? 3 ? ? 1 ? 1 = ? ? t 3 + at 2 ? ? t 3 + t 3 ? 2at 2 + a 2 t ? 3 ? 2 1 3 t ? at 2 + a 2 t . 6 1 ∴ S = f ( t ) = t 3 ? at 2 + a 2 t ( 0 < t ≤ 1) . 6 =

例 4、物体 A 以速度 v = 3t + 1 在一直线上运动,在此直线上与物体 A 出发的同时,物体 B 在物 、
2

体 A 的正前方 5m 处以 v = 10t 的速度与 A 同向运动,问两物体何时相遇?相遇时物体 A 的走过 的路程是多少?(时间单位为:s,速度单位为:m/s) 解:设 A 追上 B 时,所用的时间为 t0 依题意有 S A = S B + 5 即



t0

0

(3t 2 + 1)dx = ∫ 10tdx + 5
0

t0

t03 + t0 = 5t0 2 + 5
所以

t0 (t0 2 + 1) = 5(t0 2 + 1)

t0 =5 (s)

S A = 5t0 2 + 5 =130 (m)

、课堂练习: (四) 课堂练习:课本 P95 页复习题四 A 组 1、2 、课堂练习 、作业布置: 、 ,5、10、11 (五) 作业布置:课本 P95 页复习题四 A 组 4(1)(8) 、作业布置 五、教后反思: 教后反思:

33



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