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人教版高二数学必修5PPT课件之1.1正弦定理和余弦定理-正弦定理


直角三角形中: a b sin A ? , sin B ? , sin C ? 1 c c A a b c 即c ? ,c ? ,c ? sin A sin B sin C b c a b c ? ? ? sin A sin B sin C C 斜三角形中这一关系式是否仍成立呢? a B (1)锐角三角形 j B B A (2)钝角三角形 B C A C j A j C j 本人文库有大量word和PPT合集汇总资料 每份资料都含有多份可编辑打印修改的内容 希望多到我的文库中看看 过A作单位向量 j垂直于AC 由AC ? CB ? AB 等式两边同取与向量j的数量积运算 得 j ? AC ? CB ? j ? AB ? j ? AC cos90? ? j ? CB cos?90? ? C ? ? j ? AB cos?90? ? A? ? a sin C ? c sin A ? a c ? sin A sin C ? ? c b 同理,过点C作与CB垂直的单位向量j,可得 ? sin C sin B a b c ? ? ? sin A sin B sin C 如图: ?C ? ?C 1 B a c A C1 O C c c ? ? 2R 1 sin C sin C b b a 同理: ? 2 R, ? 2R sin B sin A a b c 即得: ? ? ? 2 R?R为外接圆半径 sin A sin B sin C ? 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等, 即 a b c ? ? ? 2 R?R为外接圆半径 ? sin A sin B sin C 变式: a b b c c a ?1? ? ; ? ; ? sin A sin B sin B sin C sin C sin A ?2?sin A : sin B : sin C ? a : b : c 正弦定理 正弦定理 在一个三角形中,各边和它所 对角的正弦的比相等,即 a b c   ? ? sin A sin B sin C 定理结构特征: 含三角形的三边及三内角,由己知二角一边 或二边一角可表示其它的边和角 解三角形:已知三角形的几个元素求其他元素的过程 从理论上,正弦定理可解决两类问题: ? 两角和任意一边,求其他两边和一角 ? 两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可 求其他的边和角 ? 例1:已知在?ABC中, 求 a, b 和 B c ? 10, A ? 45?, C ? 30, ? 点评:正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边 和一角的问题. ?例2:已知在 ?ABC 中, b ? 3, B ? 60?, c ? 1 , 求 a 和 A, C 点评:正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角,求 其他边和角的问题. 1.1.1 正弦定理 小结: ? 正弦定理 ? 主要应用 (1) 已知两角及任意一边,可以求出其他两边 和另一角; (2)已知两边和其中一边的对角,可以求出三 角形的其他的边和角。(此时可能有一解、二解、 无解) ? 若A为锐角时: 无解 ? a ? b sin A ? a ? b sin A 一解?直角? ? ? ?b sin A ? a ? b 二解?一锐、一钝? ? a?b 一解?锐角? ? ?a ? b 无解 ?若A为直角或钝角时: ? ?a ? b 一解?锐角? 判断满足下列的三角形的个数: (1)b=11,

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