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2018版高中数学第二章统计2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征学业分层测评


2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
(建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.甲、 乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次, 两人成绩的条形统计图如图 2?2?26 所示, 则( )

图 2?2?26 A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 【解析】 由题意可知,甲的成绩为 4,5,6,7,8,乙的成绩为 5,5,5,6,9.所以甲、乙的 成绩的平均数均为 6,A 错;甲、乙的成绩的中位数分别为 6,5,B 错;甲、乙的成绩的方差 1 1 2 2 2 2 2 2 2 分别为 ×[(4-6) +(5-6) +(6-6) +(7-6) +(8-6) ]=2, ×[(5-6) +(5-6) +(5 5 5 12 2 2 2 -6) +(6-6) +(9-6) ]= ,C 对;甲、乙的成绩的极差均为 4,D 错. 5 【答案】 C 2.十八届三中全会指出要改革分配制度,要逐步改变收入不平衡的现象.已知数据 x1,

x2,x3,?,xn 是上海普通职工 n(n≥3,n∈N*)个人的年收入,设这 n 个数据的中位数为 x,
平均数为 y,方差为 z,如果再加上世界首富的年收入 xn+1,则这 n+1 个数据中,下列说法 正确的是( )

A.年收入平均数大大增大,中位数一定变大,方差可能不变 B.年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差变大 C.年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差也不变 D.年收入平均数可能不变,中位数可能不变,方差可能不变 【解析】 插入大的极端值,平均数增加,中位数可能不变,方差也因为数据更加分散 而变大.
1

【答案】 B 3.如图 2?2?27 是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图,甲、乙两人这 几场比赛得分的平均数分别为 x 甲, x 乙;标准差分别是 s 甲,s 乙,则有( )

图 2?2?27 A. x 甲> x 乙,s 甲>s 乙 C. x 甲< x 乙,s 甲>s 乙 B. x 甲> x 乙,s 甲<s 乙 D. x 甲< x 乙,s 甲<s 乙

【解析】 观察茎叶图可大致比较出平均数与标准差的大小关系, 或者通过公式计算比 较. 【答案】 C 1 4.已知一组数据 x1,x2,x3,x4,x5 的平均数是 x =2,方差是 ,那么另一组数据 3x1 3 -2,3x2-2,3x3-2,3x4-2,3x5-2 的平均数和方差分别为( 1 A.2, 3 1 C.4, 3 B.2,1 D.4,3 )

1 2 2 【解析】 平均数为 x′ =3 x -2=3×2-2=4,方差为 s′ =9s =9× =3. 3 【答案】 D 5.设矩形的长为 a,宽为 b,其比满足 b∶a= 5-1 ≈0.618,这种矩形给人以美感,称 2

为黄金矩形.黄金矩形常应用于工艺品设计中,下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加 工矩形宽度与长度的比值样本: 甲批次:0.598 0.625 0.628 0.595 0.639 乙批次:0.618 0.613 0.592 0.622 0.620 根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数,与标准值 0.618 比较,正确结论是 ( ) A.甲批次的总体平均数与标准值更接近 B.乙批次的总体平均数与标准值更接近

2

C.两个批次的总体平均数与标准值接近程度相同 D.两个批次的总体平均数与标准值接近程度不能确定 【解析】

x 甲=

0.598+0.625+0.628+0.595+0.639 =0.617, 5

x 乙=

0.618+0.613+0.592+0.622+0.620 =0.613, 5

∴ x 甲与 0.618 更接近. 【答案】 A 二、填空题 6.一个样本数据按从小到大的顺序排列为:13,14,19,x,23,27,28,31,中位数为 22, 则 x=________. 【解析】 由题意知 【答案】 21 7.甲、乙两位同学某学科的连续五次考试成绩用茎叶图表示如图 2?2?28 所示,则平均 分数较高的是__________________________,成绩较为稳定的是________.

x+23
2

=22,则 x=21.

图 2?2?28 【解析】 =7.2. 【答案】 甲 甲 8.已知样本 9,10,11,x,y 的平均数是 10,标准差为 2,则 xy=________. 【解析】 由平均数得 9+10+11+x+y=50,∴x+y=20. 又由(9-10) +(10-10) +(11-10) +(x-10) +(y-10) =( 2) ×5=10,得 x +y -20(x+y)=-192, (x+y) -2xy-20(x+y)=-192,∴xy=96. 【答案】 96 三、解答题 9.从高三抽出 50 名学生参加数学竞赛,由成绩得到如图 2?2?29 的频率分布直方图.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x 甲=70, x 乙=68,s2 s2 甲= ×(2 +1 +1 +2 )=2, 乙= ×(5 +1 +1 +3 )

1 5

1 5

3

图 2?2?29 由于一些数据丢失,试利用频率分布直方图求: (1)这 50 名学生成绩的众数与中位数; (2)这 50 名学生的平均成绩. 【解】 (1)由众数的概念可知, 众数是出现次数最多的数.在直方图中高度最高的小长 方形的底边中点的横坐标即为所求,所以众数应为 75. 由于中位数是所有数据中的中间值, 故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边 频数应相等,即频率也相等,从而就是小矩形的面积和相等.因此在频率分布直方图中将所 有小矩形的面积一分为二的垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标所对应的成绩即为所求. ∵0.004×10+0.006×10+0.02×10=0.04+0.06+0.2=0.3, ∴前三个小矩形面积的和为 0.3.而第四个小矩形面积为 0.03×10=0.3,0.3+0.3> 0.5, ∴中位数应约位于第四个小矩形内. 设其底边为 x,高为 0.03,∴令 0.03x=0.2 得 x≈6.7, 故中位数应约为 70+6.7=76.7. (2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心”,即所有数据的平均值,取每个小矩形 底边的中点的横坐标乘以每个小矩形的面积求和即可. ∴ 平 均 成 绩 为 45×(0.004×10) + 55×(0.006×10) + 65×(0.02×10) +

75×(0.03×10)+85×(0.021×10)+95×(0.016×10)=73.65. 10.对甲、 乙两名自行车赛手在相同条件下进行了 6 次测试, 测得他们的最大速度(单位: m/s)的数据如下: 甲 乙 27 33 38 29 30 38 37 34 35 28 31 36

(1)画出茎叶图,由茎叶图你能获得哪些信息? (2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、极差、方差,并判断 选谁参加比赛比较合适? 【解】 (1)画茎叶图如下:中间数为数据的十位数.

4

从茎叶图上看,甲、乙的得分情况都是分布均匀的,只是乙更好一些.乙发挥比较稳定, 总体情况比甲好. (2) x 甲= 27+38+30+37+35+31 =33. 6

x 乙=

33+29+38+34+28+36 =33. 6

2 2 2 2 2 s2 [(27 - 33) + (38 - 33) + (30 - 33) + (37 - 33) + (35 - 33) + (31 - 甲 =

1 6

33) ]≈15.67.
2 2 2 2 2 s2 [(33 - 33) + (29 - 33) + (38 - 33) + (34 - 33) + (28 - 33) + (36 - 乙 =

2

1 6

33) ]≈12.67. 甲的极差为 11,乙的极差为 10. 综合比较以上数据可知,选乙参加比赛较合适. [能力提升] 1.有一笔统计资料, 共有 11 个数据如下(不完全以大小排列): 2,4,4,5,5,6,7,8,9,11,

2

x,已知这组数据的平均数为 6,则这组数据的方差为(
A.6 B. 6 C.66 D.6.5

)

【解析】 ∵ x = 方差为:

1 1 (2+4+4+5+5+6+7+8+9+11+x)= (61+x)=6,∴x=5. 11 11

s2=

4 +2 +2 +1 +1 +0 +1 +2 +3 +5 +1 66 = =6. 11 11

2

2

2

2

2

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2

2

2

2

2

【答案】 A 2.将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分, 去掉 1 个最低分, 7 个剩余分数的平均分为 91, 现场作的 9 个分数的茎叶图后来有 1 个数据模糊,无法辨认,在图 2?2?31 中以 x 表示: 8 9

?7 7 ? ?4 0 1 0 x 9 1
图 2?2?31

则 7 个剩余分数的方差为( A. 116 9

) B. D. 36 7 6 7 7

C.36

【解析】 根据茎叶图,去掉 1 个最低分 87,1 个最高分 99,

5

1 则 [87+94+90+91+90+(90+x)+91]=91, 7 ∴x=4. 1 2 2 2 2 2 2 2 ∴s = [(87-91) +(94-91) +(90-91) +(91-91) +(90-91) +(94-91) +(91 7 36 2 -91) ]= . 7 【答案】 B 3.若 40 个数据的平方和是 56,平均数是 ________. 【解析】 设这 40 个数据为 xi(i=1,2,?,40),平均数为 x . 1 2 2 2 2 则 s = ×[(x1- x ) +(x2- x ) +?+(x40- x ) ] 40 = 1 2 2 2 2 [x1+x2+?+x40+40 x -2 x (x1+x2+?+x40)] 40
2

2 ,则这组数据的方差是________,标准差是 2

1? 2 2? 2? = ?56+40×? ? -2× ×40× ? ? 40? 2 2? ?2? = 1? 1 ? ×?56-40× ? 2? 40 ?

=0.9. ∴s= 0.9= 【答案】 0.9 9 3 10 = . 10 10 3 10 10

4.某地区 100 位居民的人均月用水量(单位:t)的分组及各组的频数如下: [0,0.5),4;[0.5,1),8;[1,1.5),15;[1.5,2),22;[2,2.5),25;[2.5,3),14; [3,3.5),6;[3.5,4),4;[4,4.5],2. (1)列出样本的频率分布表; (2)画出频率分布直方图,并根据直方图估计这组数据的平均数、中位数、众数; (3)当地政府制定了人均月用水量为 3t 的标准, 若超出标准加倍收费, 当地政府说, 85% 以上的居民不超过这个标准,这个解释对吗?为什么? 【解】 (1)频率分布表 分组 [0,0.5) 频数 4 频率 0.04

6

[0.5,1) [1,1.5) [1.5,2) [2,2.5) [2.5,3) [3,3.5) [3.5,4) [4,4.5] 合计 (2)频率分布直方图如图:

8 15 22 25 14 6 4 2 100

0.08 0.15 0.22 0.25 0.14 0.06 0.04 0.02 1

众数:2.25,中位数:2.02,平均数:2.02. (3)人均月用水量在 3t 以上的居民所占的比例为 6%+4%+2%=12%,即大约有 12%的居 民月用水量在 3t 以上,88%的居民月用水量在 3t 以下,因此政府的解释是正确的.

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