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2013-2014学年高二下学期期末考试数学(理)试题


2013-2014 学年高二下学期期末考试数学(理)试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.

1.已知 i 为虚数单位,复数 z ? A.第四象限

1 ? 2i ,则复数 z 在复平面上的对应点位于( 1? i
C.第二象限

x



B.第三象限

D.第一象限

2.下列函数中,满足“ f ? x ? y ? ? f ? x ? f ? y ? ”的单调递增函数是( (A) f ? x ? ? 3 (B) f ? x ? ? x
x
1 2

(C) f ? x ? ? x

3

?1? (D) f ? x ? ? ? ? ?2?

3.随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和不超过 5 的概率记为 p1 ,点数之和大 于 5 的概率记为 p2 ,点数之和为偶数的概率记为 p3 ,则 A. p1 ? p2 ? p3 C. p1 ? p3 ? p2 4.根据如下样本数据 B. p2 ? p1 ? p3 D. p3 ? p1 ? p2

x y

3 4.0

4 2.5

5
? 0.5

6 0.5

7
? 2.0

8
? 3.0

? ? bx ? a ,则 得到的回归方程为 y

A. a ? 0 , b ? 0 C. a ? 0 , b ? 0

B. a ? 0 , b ? 0 D. a ? 0 , b ? 0

5.设 a, b 是关于 t 的方程 t 2 cos ? ? t sin ? ? 0 的两个不等实根,则过 A(a, a 2 ) , B(b, b 2 ) 两点的 直线与双曲线 A.3

x2 y2 ? ? 1 的公共点的个数为 cos 2 ? sin 2 ?
B.2 C.1 D.0

6.已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) = x 2 ? 3x . 则函数 g ( x) ? f ( x) ? x + 3 的零点的集合为 A. {1, 3} C. { ? 2 ? 7 , 1 , 3} B. { ? 3, ?1,1, 3} D.
{2 ? 7 , 1, 3}

7.将 2 名教师,4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小 组由 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有( )种

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A 10

B

8

C

9

D

12

8.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,点 (2, A

?

) 到直线 ? sin(? ? ) ? 1 的距离是 6 6

?

5 B

3

C

1

D 2

?( x ? a ) 2 , x ? 0, ? 9. f ( x) ? ? 若 f (0) 是 f ( x) 的最小值,则 a 的取值范围为( 1 ? x ? ? a, x ? 0, x ?
(A)[0,2] (B)[-1,2] (C)[1,2] (D)[-1,0]



10.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为 60? 的共有( A.60 对 B.48 对 C.30 对 D.24 对



二、填空题:本大题共 5 小题;每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中的横线上. 11.甲、乙两套设备生产的同类型产品共 4800 件,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 80 的样本进行质量检测. 若样本中有 50 件产品由甲设备生产, 则乙设备生产的产品总数 为 件. .

12. 阅读如图所示的程序框图, 运行相应的程序, 若输入 n 的值为 9, 则输出 S 的值为
开始

输入 n

k ?1, S ? 0

k ? k ?1
S ? S ? 2k ? k
k ? n?
否 输出 S 是

结束

第 12 题图 13.若 ( x 2 ?

x ? ?a 及 x 轴围成的封闭图形的面积为---------------

1 9 21 ) (a ? R) 的展开式中 x 9 项的系数为 ? ,则函数 f ( x) ? sin x 与直线 x ? a 、 ax 2

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14.已知 cos

?
3

?

cos

2? 1 ? 5 5 4 ? 2? 3? 1 cos cos cos ? 7 7 7 8 cos

?

1 2

?? 根据以上等式,可猜想出的一般结论是____. 15、如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 O 为线段 BD 的中点。设点 P 在线段 CC1 上,直线 OP 与平面 A1 BD 所成的角为 ? ,则 sin ? 的取值范围 是----------------------三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程及 演算步骤. 16.(不等式选讲本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? x ? 1 . (1) 解不等式 f ? x ? 1? ? f ?1 ? x ? ? 2 ; (2) 若a ? 0, 求证: f ? ax ? ? af ? x ? ? f ? x ?

A1

D1

B1

C1 P C

D A O B

17、 (本小题满分 12 分)某高校共有 15000 人,其中男生 10500 人,女生 4500 人,为调查该 校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集 300 位学生每周平均体育 运动时间的样本数据(单位:小时) (Ⅰ)应收集多少位女生样本数据? (Ⅱ)根据这 300 个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所 示) ,其中样本数据分组区间为: 计该校学生每周平均体育运动时间超过 4 个小时的概率. .估

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(Ⅲ)在样本数据中,有 60 位女生的每周平均体育运动时间超过 4 个小时.请完成每周平均 体育运动时间与性别的列联表,并判断是否有 动时间与性别有关”. 的把握认为“该校学生的每周平均体育运

附:

18、(本小题满分 12 分)在平面 xoy 内,不等式 x 组?

2

? y 2 ? 4 确定的平面区域为 U ,不等式

?x ? 2 y ? 0 确定的平面区域为 V . ?x ? 3y ? 0

(Ⅰ)定义横、纵坐标为整数的点为“整点 ”. 在区域 U 任取 3 个整点 ,求这些整点 中恰 .. .. .. 有 2 个整点 在区域 V 的概率; .. (Ⅱ) 在区域 U 每次任取1 个点 , 连续取 3 次, 得到 3 个点 , 记这 3 个点 在区域 V 的个数为 X , . . . 求 X 的分布列和数学期望.

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19. (本小题满分 12 分) 如图,D, E 分别是正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的棱 AA1 、B1C1 的中点, 且棱 AA1 ? 8 ,AB ? 4 . (Ⅰ)求证: A1 E // 平面 BDC1 ; (Ⅱ) 在棱 AA1 上是否存在一点 M , 使二面角 M ? BC1 ? B1 的大小为 60 , 若存在, 求 AM 的长,若不存在,说明理由。

20.(本小题满分 13 分)
? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,顶 a2 b2 点 B 的坐标为 (0, b) ,连结 BF2 并延长交椭圆于点 A,过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一 点 C,连结 F1C . y 4 1 (1)若点 C 的坐标为 ( , ) ,且 BF2 ? 2 ,求椭圆的方程; 3 3 B C (2)若 F1C ? AB, 求椭圆离心率 e 的值.

如图,在平面直角坐标系 xOy 中, F1 , F2 分别是椭圆

x2

?

y3

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F1 O

F2 A

x

(第 20 题)

21、(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e ? ax ? bx ? 1 ,其中 a, b ? R , e ? 2.71828 ??? 为自然对数的底数。
x 2

(Ⅰ)设 g ( x) 是函数 f ( x) 的导函数,求函数 g ( x) 在区间 [0,1] 上的最小值; (Ⅱ)若 f (1) ? 0 ,函数 f ( x) 在区间 (0,1) 内有零点,求 a 的取值范围。

上高二中 2013—2014 学年高二下学期期末考试数学(理)答案
1—5 cos BACBD 6---10 CDCAB 11. 1800 . 12. 1067. 13. 2-2cos2 . 15. [ π 14.cos 2n+1

2π nπ 1 · ?· cos = n,n∈N* 2n+1 2n+1 2

6 ,1] 3
---------- 2 分

16.(Ⅰ)∵ f ( x ? 1) ? f (1 ? x) ? x ? 2 ? x . ------ 1 分 因此只须解不等式 x ? 2 ? x ? 2 . 当 x ? 0 时,原不式等价于 2 ? x ? x ? 2 ,即 x ? 0 .------3 分 当 0 ? x ? 2 时,原不式等价于 2 ? 2 ,即 0 ? x ? 2 . -----4 分 当 x ? 2 时,原不式等价于 x ? 2+x ? 2 ,即 x =2 . -------5 分 综上,原不等式的解集为 ? x | 0 ? x ? 2? . ?6 分 --------- 8 分 (Ⅱ)∵ f (ax) ? af ( x) ? ax ? 1 ? a x ? 1 ∴ a ? 0 时, f (ax) ? af ( x) ? f (a ) . 以上各题的其他解法,限于篇幅从略,请相应评分. 17.第 1 问 3 分+.第 2 问 4 分+.第 1 问 5 分=12 分

又 a ? 0 时, ax ? 1 ? a x ? 1 ? ax ? 1 ? ? ax ? a ? ax ? 1 ? ax ? a ? a ? 1 ? f (a ) ?12 分

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18. 解: (Ⅰ) 依题可知平面区域 U 的整点为:(0, 0), (0, ?1), (0, ?2), ( ?1, 0), ( ?2, 0), ( ?1, ?1) 共 有 13 个,上述整点在平面区域 V 的为: (0, 0), (1, 0), (2, 0) 共有 3 个, ∴P ?
1 C32C10 15 ? . 3 C13 143

……………………………………………………………(4 分)

(Ⅱ)依题可得,平面区域 U 的面积为 ? ? 22 ? 4? ,

1 ? 2 . 8 2 1 1 ? 2 3 ? 1, 得 ? ? ? ,也可用向量的夹角公式求 ? ) . (设扇形区域中心角为 ? , 则 tan ? ? 1 1 4 1? ? 2 3 ? 1 0,1, 2,3 . ? , 在区域 U 任取 1 个点, 则该点在区域 V 的概率为 随机变量 X 的可能取值为: 8? 8 1 343 1 1 147 1 P( X ? 0) ? (1 ? )3 ? P( X ? 1) ? C3 ? ( )(1 ? ) 2 ? , , 8 512 8 8 512 1 1 21 1 1 3 P( X ? 2) ? C32 ? ( ) 2 (1 ? ) ? P( X ? 3) ? C3 ? ( )3 ? , , 8 8 512 8 512
平面区域 V 与平面区域 U 相交部分的面积为 ? ? ? 2 ? ∴

X P

0

1

2

3

X
的分 布列 为 ∴

343 512

147 512

21 512

1 512

343 147 21 1 3 ? 1? ? 2? ? 3? ? .………………(12 分) 512 512 512 512 8 1 3 ? 1? (或者: X ~ B? 3, ? ,故 E ( X ) ? np ? 3 ? ? ). 8 8 ? 8?
X 的数学期望: E ( X ) ? 0 ?
19.解】 【法一】 (Ⅰ)在线段 BC1 上取中点 F ,连结 EF 、 DF .
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则 EF // DA1 ,且 EF ? DA1 ,∴ EFDA1 是平行四边形??3′ ∴ A1 E // FD ,又 A1 E ? 平面 BDC1 , FD ? 平面 BDC1 , ∴ A1 E // 平面 BDC1 .??5′ (Ⅱ)由 A1 E ? B1C1 , A1 E ? CC1 ,得 A1 E ? 平面 CBB1C1 . 过点 E 作 EH ? BC1 于 H ,连结 A1 H . 则 ?A1 HE 为二面角 A1 ? BC1 ? B1 的平面角??8′ 在 Rt ?BB1C1 中,由 BB1 ? 8 , B1C1 ? 4 得

8 5 4 5 ,∴ EH ? ,又 A1 E ? 2 3 , 5 5 AE 15 ∴ tan?A1 HE ? 1 ? ? 3 ,∴ ?A1 HE ? 60 .??11′ EH 2 ∴ M 在棱 AA1 上时,二面角 M ? BC1 ? B1 总大于 60 .
BC1 边上的高为
故棱 AA1 上不存在使二面角 M ? BC1 ? B1 的大小为 60 的点 M . ??12′ 【法二】建立如图所示的空间直角坐标系, ∴ DB ? ? ?4, ?4,0 ? 、 DC1 ? ?2, 4, 2 3

则 B ? ?2,0,0 ? 、 D ? 2, 4,0 ? 、 A1 ? 2,8,0 ? 、 C1 0,8, 2 3 、 C1 ? ?2,8,0 ? 、 E ?1,8, 3 .

A1C1 ? ?2,0, 2 3 、
BB1 ? ? 0,8,0 ? 、 BC1 ? 2,8, 2 3 .??4′
(Ⅰ)∵ A1 E ?

?

?

?

?

?



? A E ? ? ?3,0, 3 ?
1

?

?

、 A1 B ? ? ?4, ?8,0 ? 、

?

?

1 DB ? DC1 且 A1 E ? 平面 BDC1 , 2 ∴ A1 E // 平面 BDC1 .??5′

?

?

? 3 ? (Ⅱ)取 m ? ? 3, ? ,1? ,则 m ? A1 B ? 0 , m ? A1C1 ? 0 . ? 2 ? ? ?
∴ m ? A1 B , m ? A1C1 ,即 m 为面 A1 BC1 的一个法向量???7′ 同理,取 n ? ? 3,0,1 ,则 n ? BB1 ? 0 , n ? BC1 ? 0 . ∴ n ? BB1 , n ? BC1 , n 为平面 B1 BC1 的一个法向量??9′

?

?

cos ? m, n? ?
又∵

m?n m?n

??

2 19

,∴二面角 M ? BC1 ? B1 为 arccos

2 19

? arctan

15 . 2

15 ? 3 ,∴二面角 M ? BC1 ? B1 大于 60 . ??11′ 2 ∴ M 在棱 AA1 上时,二面角 M ? BC1 ? B1 总大于 60 .
故棱 AA1 上不存在使二面角 M ? BC1 ? B1 的大小为 60 的点 M . ??12′ 20. .第 1 问 5 分+.第 2 问 8 分=13 分

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21. .第 1 问 5 分+.第 2 问 9 分=14 分

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