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北京市海淀区2019届高三第一学期期中数学(理)试题Word版


海淀区高三年级第一学期期中练习

数 学(理科)

2018.11

本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项。 1. 已知集合 A ? ?x | x ? a ? 0? , B ? ?1,2,3? ,若 A ? B ? ? ,则 a 的取值范围为 A. (??,1] B. [1, ??) C. (??,3] D. [3, ??)

2. 下列函数中,是偶函数且在 (0, ??) 上单调递增的是 A. f ( x) ? x2 ? x 3. B. f ( x) ?

1 x2

C. f ( x) ? ln x

D. f ( x) ? e

x

?

e

1

1 dx ? x
B. 0 C. 1 D. e

A. ?1

4.在等差数列 ?an ? 中, a1 =1 , A. ?

a6 ? 2 ,则公差 d 的值为 a5
C. ?

1 3

B.

1 3

1 4

D.

1 4

5.角 ? 的终边经过点 P (4, y ) ,且 sin ? ? ? ,则 ta n ? ? A. ?

3 5

4 3

B.

4 3

C. ?

3 4

D.

3 4

6.已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n ? A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件

a ,则“ a2 ? a1 ”是“数列 ?an ? 单调递增”的 n
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

7.已知向量 a,b,c 满足 a + b + c = 0 ,且 a 2 ? b2 ? c 2 ,则 a ?b 、 b ?c 、 c? a 中最小的值是 A. a ?b B. b ?c C. c? a D. 不能确定的

? 8. 函 数 f ( x) ? x , g ( x) ? x2 ? x ? 3 . 若 存 在 x1 , x2 ,..., xn ?[0, ] , 使 得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ...
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9 2

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f ( xn ?1 ) ? g ( xn ) ? g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? ... ? g ( xn ?1 ) ? f ( xn ) ,则 n 的最大值为
A. 5 B. 63 C.7 D.8

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9. 计算 lg 4 ? lg 25 ? ______. 10. 已知向量 a ? (1,2) , b ? (3,1) ,则向量 a , b 夹角的大小为______. 11. 已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,下表给出了的部分数据: 则数列的公比 q ? 12.函数 f ( x) ? sin ,首项 a1 = 。

x ? a 在区间 [0, ? ] 上的最大值为 2,则 a ? 2

13.能说明 “若 f ( x) ? g ( x) 对任意的 x ? [0, 2] 都成立, 则 f ( x) 在 [0, 2] 上的最小值大于 g ( x) 在 [0, 2] 上的最大值”为假命题的一对函数可以是 f ( x) ? , g ( x) ? 。

?ln x,0 ? x ? a ? 14.已知函数 f ( x) ? ? e ,x ? a ? ? x
(1)若函数 f ( x) 的最大值为 1,则 a ? (2)若函数 f ( x) 的图像与直线 y ? ;

a 只有一个公共点,则 a 的取值范围为 e

三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 15. (本小题满分 13 分) 设 {an } 是等比数列 , Sn 为其前 n 项的和 ,且 a2 ? 2 , a1 ? S2 ? 0 . (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 Sn ? 80 ,求 n 的最小值. 16.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin x ?

cos2x . sin x ? cos x
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(Ⅰ)求 f (0) 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在 [0,

?
2

] 上的单调递增区间.

17. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? ax ? 1 . (Ⅰ)当 a ? ?1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)求证:直线 y ? ax ?

23 是曲线 y ? f ( x) 的切线; 27

(Ⅲ)写出 a 的一个值,使得函数 f ( x ) 有三个不同零点(只需直接写出数值)

18. (本小题满分 13 分)
?ABC 中, c ? 7 , sin C ?

2 6 . 5

(Ⅰ)若 cos B ?

5 ,求 b 的值; 7

(Ⅱ)若 a ? b ? 11 ,求 ?ABC 的面积。

19.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? mx2 ? x ? (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)求证:存在 x0 ,使得 f ( x0 ) ? 1 的切线;

ln x m

20.(本小题满分 14 分) 记无穷数列 {an } 的前 n 项中最大值为 M n ,最小值为 mn ,令 bn ?

M n ? mn 2

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(Ⅰ)若 an ? 2n ? 3n ,请写出 b1 , b2 , b3 , b4 的值; (Ⅱ)求证:“数列 {an } 是等差数列”是“数列 {bn } 是等差数列”的充要条件; (Ⅲ)若 ?n ? N*, an ? 2018, bn ?1 ,求证:存在 k ? N * ,使得 ?n ? k ,有 bn?1 ? bn

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