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2013年高考理科数学逐题详解答案(广东卷)word


2013 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(理科)逐题详解
参考公式:台体的体积公式 V ?
积, h 表示台体的高.

1 S1 ? S1S 2 ? S 2 h ,其中 S1 , S2 分别是台体的上、 下底面 3

?

?

一、 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
2 2 1.设集合 M ? x | x ? 2 x ? 0, x ? R , N ? x | x ? 2 x ? 0, x ? R ,则 M ? N ? (

?

?

?

?

)

A.

?0?

B. ?0, 2?

C. ??2,0?

D. ?2,0, 2? ?

【解析】D;易得 M ? ??2,0? , N ? ?0, 2? ,所以 M ? N ? ??2,0, 2? ,故选 D. 2.定义域为 R 的四个函数 y ? x3 , y ? 2x , y ? x2 ? 1 , y ? 2sin x 中,奇函数的个数是 ( ) A. 4 B. 3 C. 2
3

D.1 ) D. ? 4, 2 ?

【解析】C;考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为 y ? x 与 y ? 2sin x ,故选 C. 3.若复数 z 满足 iz ? 2 ? 4i ,则在复平面内, z 对应的点的坐标是( A.

? 2, 4 ?

B. ? 2, ?4 ?

C. ? 4, ?2 ?

2 ? 4i ? 4 ? 2i 对应的点的坐标是 ? 4, ?2? ,故选 C. i 4.已知离散型随机变量 X 的分布列为 3 X 1 2 3 3 1 P 5 10 10 则 X 的数学期望 EX ? ( ) 3 5 A. B. 2 C. D. 3 2 2 2 3 3 1 15 3 ? 3? ? ? ,故选 A. 【解析】A; EX ? 1? ? 2 ? 5 10 10 10 2
【解析】C; z ? 5.某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( A. 4 C. )

1

2
正视图 侧视图

14 B. 3
D. 6

1

16 3

1
俯视图 第 5 题图

【解析】B;由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为

1 和 2 的正方形,高为 2 ,故 V ?

1 2 14 1 ? 12 ? 22 ? 22 ? 2 ? ,,故选 B. 3 3
) B.若 ? // ? , m ? ? , n ? ? ,则 m // n D.若 m ? ? , m // n , n // ? ,则 ? ? ?

?

?

6.设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( A . 若 ? ? ? , m ? ? , n ? ? ,则 m ? n C.若 m ? n , m ? ? , n ? ? ,则 ? ? ? 【解析】D;ABC 是典型错误命题,选 D.

7.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F ?3,0? ,离心率等于 ( ) A.

3 ,在双曲线 C 的方程是 2

x2 y 2 ? ?1 4 5

B.

x2 y 2 ? ?1 4 5

C.

x2 y 2 ? ?1 2 5

x2 y 2 D. ? ?1 2 5
【解析】B;依题意 c ? 3 , e ?

3 ,所以 a ? 2 ,从而 a 2 ? 4 , b2 ? c 2 ? a 2 ? 5 ,故选 B. 2

8.设整数 n ? 4 ,集合 X ? ?1,2,3,?, n? .令集合

S ? ?? x, y, z ? | x, y, z ? X , 且三条件x ? y ? z, y ? z ? x, z ? x ? y恰有一个成立?
若 ? x, y, z ? 和 ? z, w, x ? 都在 S 中,则下列选项正确的是( A. )

? y, z, w? ? S , ? x, y, w? ? S

B. ? y, z, w? ? S , ? x, y, w? ? S D. ? y, z, w? ? S , ? x, y, w? ? S

C. ? y, z, w? ? S , ? x, y, w? ? S

【 解 析 】 B ; 特 殊 值 法 , 不 妨 令 x ? 2, y ? 3, z ? 4 , w ? 1 , 则

? y, z, w? ? ?3,4,1? ? S , ? x, y, w? ? ? 2,3,1? ? S ,故选 B.
如果利用直接法:因为 ? x, y, z ? ? S , ? z, w, x ? ? S ,所以 x ? y ? z ?①, y ? z ? x ?②,
z ? x ? y ?③三个式子中恰有一个成立; z ? w ? x ?④, w ? x ? z ?⑤, x ? z ? w ?⑥

三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况: 第一种: ①⑤成立, 此时 w ? x ? y ? z , 于是 ? y, z, w? ? S , x, y, w? ? S ; 第二种: ①⑥成立, 此时 x ? y ? z ? w , 于是 ? y, z, w? ? S , ?

? x, y, w? ? S ;第三种:②④成立,此时 y ? z ? w ? x ,于是 ? y, z, w? ? S , ? x, y, w? ? S ; 第四种:③④成立,此时 z ? w ? x ? y ,于是 ? y, z, w? ? S , ? x, y, w? ? S .综合上述四种 情况,可得 ? y, z, w? ? S , ? x, y, w? ? S .
二、填空题:本题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,共 30 分 (一)必做题(9~13 题)
9.不等式 x ? x ? 2 ? 0 的解集为___________.
2

开始 输入n
i ? 1, s ? 1

【解析】 ? ?2,1? ;易得不等式 x 2 ? x ? 2 ? 0 的解集为 ? ?2,1? . 10.若曲线 y ? kx ? ln x 在点 ?1, k ? 处的切线平行于 x 轴,则 k ? ______.

1 ,依题意 k ? 1 ? 0 ,所以 k ? ?1 . x 11.执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 4 ,则输出 s 的值为______. 【解析】 7 ;第一次循环后: s ? 1, i ? 2 ;第二次循环后: s ? 2, i ? 3 ;
【解析】 ?1 ;求导得 y ? ? k ? 第三次循环后: s ? 4, i ? 4 ;第四次循环后: s ? 7, i ? 5 ;故输出 7 . 12. 在等差数列 ?an ? 中,已知 a3 ? a8 ? 10 ,则 3a5 ? a7 ? _____.

i?n




输出 s 结束

s ? s ? ? i ?1?

i ? i ?1
第 11 题图

20 依题意 2a1 ? 9d ? 10 ,所以 3a5 ? a7 ? 3? a1 ? 4d ? ? a1 ? 6d ? 4a1 ? 18d ? 20 . 【解析】 ;
或: 3a5 ? a7 ? 2 ? a3 ? a8 ? ? 20

?x ? 4 y ? 4 ? 13. 给定区域 D : ? x ? y ? 4 ,令点集 T ? {? x0 , y0 ? ? D | x0 , y0 ? Z , ? x0 , y0 ? ?x ? 0 ?
是 z ? x ? y 在 D 上取得最大值或最小值的点 } ,则 T 中的点共确定______ 条不同的直线.

y 4

1 O

4

x

【解析】6 ;画出可行域如图所示,其中 z ? x ? y 取得最小值时的整点为 ? 0,1? ,取得最大值 时的整点为 ? 0, 4 ? , ?1,3? , ? 2, 2 ? , ? 3,1? 及 ? 4, 0 ? 共 5 个整点.故可确定 5 ? 1 ? 6 条不同 的直线.

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得 分)
14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 cos t ? ? y ? 2 sin t ?

( t 为参数), C

在点 ?1,1? 处的切线为 l ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则 l 的 极坐标方程为_____________. 【解析】? sin ? ? ?

? ?

??

曲线 C 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 2 ,其在点 ?1,1? 处的切线 l 的 ?? 2; 4?

方程为 x ? y ? 2 ,对应的极坐标方程为 ? cos? ? ? sin ? ? 2 ,即 ? sin ? ? ? 15. (几何证明选讲选做题)如图, AB 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上, 延长 BC 到 D 使 BC ? CD ,过 C 作圆 O 的切线交 AD 于 E .若

? ?

??
A

?? 2. 4?
E D O

AB ? 6 , ED ? 2 ,则 BC ? _________.
AB BC ? 【解析】 2 3 ;依题意易知 ?ABC ? ?CDE ,所以 ,又 CD DE

.
C B

BC ? CD ,所以 BC 2 ? AB ? DE ? 12 ,从而 BC ? 2 3 .

第 15 题图

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演 算步骤. 16.(本小题满分 12 分)
已知函数 f ( x) ? (Ⅰ) 求 f ? ?

? ? ? 2 cos ? x ? ? , x ? R . 12 ? ?
(Ⅱ) 若 cos ? ?

? ?? ? 的值; ? 6?

3 ? 3? ? ,? ? ? , 2? ? ,求 5 ? 2 ?

?? ? f ? 2? ? ? . 3? ?

【解析】(Ⅰ) f ? ?

? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? 2 cos ? ? ? ? ? 2 cos ? ? ? ? 2 cos ? 1 ; 4 ? 6? ? 6 12 ? ? 4?

(Ⅱ) f ? 2? ? 因为 cos ? ?

? ?

??

? ? ? ?? ? ? ? ? 2 cos ? 2? ? ? ? ? 2 cos ? 2? ? ? ? cos 2? ? sin 2? 3? 3 12 ? 4? ? ?

3 4 ? 3? ? ,? ? ? , 2? ? ,所以 sin ? ? ? , 5 5 ? 2 ? 24 7 2 2 , cos 2? ? cos ? ? sin ? ? ? 25 25

所以 sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ? 所以 f ? 2? ?

? ?

7 ? 24 ? 17 ?? . ? ? cos 2? ? sin 2? ? ? ? ? ? ? ? 25 ? 25 ? 25 3?

17.(本小题满分 12 分)
某车间共有 12 名工人,随机抽取 6 名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中 茎为十位数,叶为个位数. (Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值; (Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人. 根据茎叶图推断该车间 12 名工人中有几名优秀工人; (Ⅲ) 从该车间 12 名工人中,任取 2 人,求恰有 1 名优秀 工人的概率. 【解析】(Ⅰ) 样本均值为

1 2

7 0
0

9 1

5

3

第 17 题图

17 ? 19 ? 20 ? 21 ? 25 ? 30 132 ? ? 22 ; 6 6 2 1 ( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) 知 样 本 中 优 秀 工 人 占 的 比 例 为 ? , 故 推 断 该 车 间 12 名 工 人 中 有 6 3 1 12 ? ? 4 名优秀工人. 3 ( Ⅲ ) 设 事 件 A : 从 该 车 间 12 名 工 人 中 , 任 取 2 人 , 恰 有 1 名 优 秀 工 人 , 则

P ? A? ?

1 1 C4C8 16 ? . 2 33 C12

18.(本小题满分 14 分)
如图 1,在等腰直角三角形 ABC 中, ?A ? 90? , BC ? 6 , D, E 分别是 AC, AB 上的 点, CD ? BE ? 2 ,

O 为 BC 的中点.将 ?ADE 沿 DE 折起,得到如图 2 所示的四棱锥 A? ? BCDE,其中

A?O ? 3 .
C D

O. E

B

A?

C A 图1 D

O E 图2

B

(Ⅰ) 证明: A?O ? 平面 BCDE ; (Ⅱ) 求二面角 A? ? CD ? B 的平面角的余弦值. 【解析】(Ⅰ) 在图 1 中,易得 OC ? 3, AC ? 3 2, AD ? 2 2 连结 OD, OE ,在 ?OCD 中,由余弦定理可得 C D H O

A?

OD ? OC ? CD ? 2OC ? CD cos 45? ? 5
2 2

B E

由翻折不变性可知 A?D ? 2 2 , 所以 A?O2 ? OD2 ? A?D2 ,所以 A?O ? OD ,

理可证 A?O ? OE , 又 OD ? OE ? O ,所以 A?O ? 平面 BCDE . (Ⅱ) 传统法:过 O 作 OH ? CD 交 CD 的延长线于 H ,连结 A?H , 因为 A?O ? 平面 BCDE ,所以 A?H ? CD , 所以 ?A?HO 为二面角 A? ? CD ? B 的平面角. 结合图 1 可知, H 为 AC 中点,故 OH ? 所以 cos ?A?HO ?

30 3 2 ,从而 A?H ? OH 2 ? OA?2 ? 2 2

OH 15 15 ,所以二面角 A? ? CD ? B 的平面角的余弦值为 . ? A?H 5 5 z A? 向量法:以 O 点为原点,建立空间直角坐标系 O ? xyz 如图所示,
则 A? 0, 0, 3 , C ? 0, ?3,0? , D ?1, ?2,0? 所以 CA? ? 0,3, 3 , DA? ? ?1, 2, 3

????

?

?

O ? D E ?CD 的法向量,则 设 n ? ? x, y, z ? 为平面 A ? ???? x 向量法图 ? ?3 y ? 3 z ? 0 ?n ? CA? ? 0 ? y ? ?x ? ? ? ,即 ? ,解得 ? ,令 x ? 1 ,得 n ? 1, ?1, 3 ? ? ? ???? ? z ? 3x ?n ? DA? ? 0 ?? x ? 2 y ? 3 z ? 0 ? ? ? ???? 由(Ⅰ) 知, OA? ? 0, 0, 3 为平面 CDB 的一个法向量, ? ???? ? ???? n ? OA? 3 15 所以 cos n ,OA? ? ? ???? ? ,即二面角 A? ? CD ? B 的平面角的余弦 ? 5 3? 5 n OA?

?

?

???? ?

?

?

C

B y

?

?

?

?

值为

15 . 5

19.(本小题满分 14 分)
设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .已知 a1 ? 1 , (Ⅰ) 求 a2 的值; (Ⅱ) 求数列 ?an ? 的通项公式;

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N* . n 3 3

(Ⅲ) 证明:对一切正整数 n ,有 【解析】(Ⅰ) 依题意, 2 S1 ? a2 ?

1 1 1 7 ? ?? ? ? . a1 a2 an 4

1 2 ? 1 ? ,又 S1 ? a1 ? 1 ,所以 a2 ? 4 ; 3 3 1 3 2 2 (Ⅱ) 当 n ? 2 时, 2 S n ? nan ?1 ? n ? n ? n , 3 3 1 2 3 2 2S n ?1 ? ? n ? 1? an ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? 3 3 1 2 2 两式相减得 2an ? nan ?1 ? ? n ? 1? an ? ? 3n ? 3n ? 1? ? ? 2n ? 1? ? 3 3 a a a a 整理得 ? n ? 1? an ? nan?1 ? n ? n ? 1? ,即 n ?1 ? n ? 1 ,又 2 ? 1 ? 1 n ?1 n 2 1
故数列 ?

a1 ? an ? ? 是首项为 ? 1 ,公差为 1 的等差数列, 1 ?n?

所以

an ? 1 ? ? n ? 1? ? 1 ? n ,所以 an ? n2 . n 1 7 1 1 1 5 7 (Ⅲ) 当 n ? 1 时, ? 1 ? ;当 n ? 2 时, ? ? 1? ? ? ; a1 4 a1 a2 4 4 4
当 n ? 3 时,

1 1 1 1 1 ? 2? ? ? ,此时 an n ? n ? 1? n n ? 1 n

1 1 1 1 1 1 1 1 ?1 1? ?1 1? 1? ? 1 ? ?? ? ? 1? ? 2 ? 2 ??? 2 ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? a1 a2 an 4 3 4 n 4 ? 2 3? ?3 4? ? n ?1 n ?
1 1 1 7 1 7 ? ? ? ? ? 4 2 n 4 n 4 1 1 1 7 综上,对一切正整数 n ,有 ? ?? ? ? . a1 a2 an 4 ? 1?

20.(本小题满分 14 分)
已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F ? 0, c?? c ? 0? 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为

3 2 .设 P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA, PB ,其中 A, B 为切点. 2 (Ⅰ) 求抛物线 C 的方程;
(Ⅱ) 当点 P ? x0 , y0 ? 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (Ⅲ) 当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值. 【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线 C 的方程为 x ? 4cy ,由
2

0?c?2 2

?

3 2 结合 c ? 0 , 2

解得 c ? 1 .

所以抛物线 C 的方程为 x2 ? 4 y . (Ⅱ) 抛物线 C 的方程为 x2 ? 4 y ,即 y ? 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ( 其 中 y1 ?

1 2 1 x ,求导得 y? ? x 4 2

x12 x2 , y2 ? 2 ), 则 切 线 P A P B的 斜 率 分 别 为 , 4 4

1 1 x1 , x2 , 2 2

x1 x12 x1 ? x ? x1 ? ,即 y ? x ? ? y1 ,即 x1x ? 2 y ? 2 y1 ? 0 2 2 2 同理可得切线 PB 的方程为 x2 x ? 2 y ? 2 y2 ? 0
所以切线 PA 的方程为 y ? y1 ? 因为切线 PA, PB 均过点 P ? x0 , y0 ? ,所以 x1x0 ? 2 y0 ? 2 y1 ? 0 , x2 x0 ? 2 y0 ? 2 y2 ? 0 所以 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? 为方程 x0 x ? 2 y0 ? 2 y ? 0 的两组解. 所以直线 AB 的方程为 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 . (Ⅲ) 由抛物线定义可知 AF ? y1 ? 1 , BF ? y2 ? 1 , 所以 AF ? BF ? ? y1 ? 1?? y2 ? 1? ? y1 y2 ? ? y1 ? y2 ? ? 1 联立方程 ?

? x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 ?x ? 4 y
2

2 2 2 ,消去 x 整理得 y ? 2 y0 ? x0 y ? y0 ? 0

?

?

由一元二次方程根与系数的关系可得 y1 ? y2 ? x02 ? 2 y0 , y1 y2 ? y02 所以 AF ? BF ? y1 y2 ? ? y1 ? y2 ? ? 1 ? y0 ? x0 ? 2 y0 ? 1
2 2

又点 P ? x0 , y0 ? 在直线 l 上,所以 x0 ? y0 ? 2 , 所以 y0 2 ? x0 2 ? 2 y0 ? 1 ? 2 y0 2 ? 2 y0 ? 5 ? 2 ? y0 ? 所以当 y0 ? ?

? ?

1? 9 ? ? 2? 2

2

1 9 时, AF ? BF 取得最小值,且最小值为 . 2 2

21.(本小题满分 14 分)
设函数 f ? x ? ? ? x ?1? e ? kx (其中 k ? R ).
x 2

(Ⅰ) 当 k ? 1 时,求函数 f ? x ? 的单调区间;

?1 ? ,1 时,求函数 f ? x ? 在 ?0, k ? 上的最大值 M . ?2 ? ? 【解析】(Ⅰ) 当 k ? 1 时,
(Ⅱ) 当 k ? ?

f ? x ? ? ? x ?1? ex ? x2 , f ? ? x ? ? e x ? ? x ? 1? e x ? 2 x ? xe x ? 2 x ? x ? e x ? 2 ?
令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ? ln 2 当 x 变化时, f ? ? x ? , f ? x ? 的变化如下表:

x
f ? ? x?

? ??,0?
?
?

0
0
极大值

? 0,ln 2?
?
?

ln 2

? ln 2, ???
?
?

0
极小值

f ? x?

右表可知,函数 f ? x ? 的递减区间为 ? 0,ln 2? ,递增区间为 ? ??,0? , ? ln 2, ??? .
x x x x (Ⅱ) f ? ? x ? ? e ? ? x ? 1? e ? 2kx ? xe ? 2kx ? x e ? 2k ,

?

?

令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ? ln ? 2k ? , 令 g ? k ? ? ln ? 2k ? ? k ,则 g ? ? k ? ?

1 1? k ?1 ? ?1 ? ? 0 ,所以 g ? k ? 在 ? ,1? 上递增, k k ?2 ?

所以 g ? k ? ? ln 2 ?1 ? ln 2 ? ln e ? 0 ,从而 ln ? 2k ? ? k ,所以 ln ? 2k ? ??0, k ? 所以当 x ? 0,ln ? 2k ? 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ln ? 2k ? , ?? 时, f ? ? x ? ? 0 ;
k 3 所以 M ? max f ? 0 ? , f ? k ? ? max ?1, ? k ? 1? e ? k k 令 h ? k ? ? ? k ?1? e ? k ? 1 ,则 h? ? k ? ? k e ? 3k ,

?

?

?

?

?

?

?

?

k

3

?

?

令 ? ? k ? ? e ? 3k ,则 ?? ? k ? ? e ? 3 ? e ? 3 ? 0
k k

所以 ? ? k ? 在 ?

3? ?1? ? ?1 ? ,1? 上递减,而 ? ? ? ? ? ?1? ? ? e ? ? ? e ? 3? ? 0 2? ?2? ? ?2 ? ?1 ? ?1 ? ,1? 使得 ? ? x0 ? ? 0 ,且当 k ? ? , x0 ? 时, ? ? k ? ? 0 , ?2 ? ?2 ?
? ?

所以存在 x0 ? ?

当 k ? ? x0 ,1? 时, ? ? k ? ? 0 , 所以 ? ? k ? 在 ? , x0 ? 上单调递增,在 ? x0 ,1? 上单调递减. 因为 h ?

?1 ?2

1 7 ?1? e ? ? 0 , h ?1? ? 0 , ??? 2 8 ?2?

所以 h ? k ? ? 0 在 ?

?1 ? ,1 上恒成立,当且仅当 k ? 1 时取得“ ? ”. ?2 ? ?

综上,函数 f ? x ? 在 0, k 上的最大值 M ? ? k ?1? e ? k .
k 3

?

?


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