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2018届高考数学(文)大一轮复习检测:第3章第7讲正弦定理与余弦定理


第 7 讲 正弦定理与余弦定理 , [学生用书 P78]) 1.正弦定理和余弦定理 正弦定理 a b c = = =2R(R 为△ABC sin A sin B sin C 内容 外接圆半径) a=2Rsin_A, b=2Rsin_B, c=2Rsin_C; a b c sin A= ,sin B= ,sin C= ; 2R 2R 2R 变形形式 a∶b∶c=sin_A∶sin_B∶sin_C; a+b+c a = sin A+sin B+sin C sin A 2.三角形中常用的面积公式 1 (1)S= ah(h 表示边 a 上的高); 2 1 1 1 (2)S= bcsin A= acsin_B= absin C; 2 2 2 1 (3)S= r(a+b+c)(r 为三角形的内切圆半径). 2 定理 余弦定理 a2=b2+c2-2bccos_A; b2=c2+a2-2cacos_B; c2=a2+b2-2abcos_C b2+c2-a2 cos A= ; 2bc 2 2 2 c +a -b cos B= ; 2ca a2+b2-c2 cos C= 2ab 1.辨明两个易误点 (1)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角,进而求出其他的边和角 时,可能出现一解、两解或无解,所以要注意分类讨论. (2) 在 判断三角形形状时,等式两边一般不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解. 2.余弦定理的推导过程 中·华.资 *源% 库 ziyuanku.com → → 如图,设CB=a,CA=b, → AB=c. 则 c=a-b, 所以|c|2=(a-b)2=a2-2a· b+b2 2 2 =|a| +|b| -2|a||b|cos C. 即 c2=a2+b2-2abcos C. 同理可证 a2=b2+c2-2bccos A. b2=c2+a2-2cacos B. 3.三角形解的判断 A 为锐角 图形 关系式 解的个数 a=bsin A 一解 bsin A<a<b 两解 a≥b 一解 a>b 一解 A 为钝角或直角 1.教材习题改编 在△ABC 中,A=45°,C=30°,c=6,则 a 等于( ) A.3 2 B.6 2 C.2 6 D.3 6 a c B [解析] 由正弦定理得 = , sin A sin C 2 6× 2 6sin 45° 所以 a= = =6 2. 1 sin 30° 2 2.教材习题改编 在非钝角△ABC 中,2bsin A= 3a,则 B 角为( ) π π A. B. 6 4 π π C. D. 3 2 C [解析] 由正弦定理得 bsin A=asin B, π 3 所以 2asin B= 3a,即 sin B= ,又 B 非钝角,所以 B= ,故选 C. 2 3 3.教材习题改编 已知△ABC 的三边之比为 3∶5∶7,则最大角为( ) 2π 3π A. B. 3 4 5π 7π C. D. 6 12 A [解析] 由三边之比为 a∶b∶c=3∶5∶7,可设 a=3k,b=5k,c=7k(k>0),由余弦定理得 a2+b2-c2 cos C= 2ab (3k)2+(5k)2-(7k)2 1 = =- , 2 2×3k×5k 2π 又 0<C<π,所以 C= . 3 3 4.教材习题改编 在非钝角△ABC 中,a=1,b=2,S△ABC= ,则 c 等于________. 2 1 3 [解析] 由三角形面积公式得 ×1×2×sin C= , 2 2 3 即 sin C= ,又 0° <


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