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5.6直线与圆的位置关系(4--1)


学习目标: 1、能熟练地作出三角形的内切圆; 2、能准确说出三角形的内切圆、内心的 定义; 3、能熟练地解决与三角形内切圆有关的 问题。

回顾 & 思考 ?
1、确定圆的条件是什么?

不共线三点
2、由于不共线三点确定一个圆,因此每一个 三角形都有且只有一个外接圆,圆心是三边 垂直平分线的交点,叫做三角形的外心.外心 到三角形三个顶点的距离相等。三角形的外 心可能在三角形内(锐角三角形),可能在三角 形的一边上(直角三角形的外心是斜边的中点), 可能在三角形外面(钝角三角形).

三角形的外接圆在实际中很有用,但还 有用它不能解决的问题.如

如图是一块三角形木料,木工师傅要 从中裁下一块圆形用料,怎样才能使裁下 的圆的面积尽可能大呢? A

A

B

C

B

C

例1 作圆,使它和已知三角形的各边都相切 已知: △ABC(如图)
求作:和△ABC的各边都相切的圆

A

NIM

分析
C

B

D

作法:1. 作∠ABC、 ∠ACB的平分线BM和CN,交点为I. 2. 过点I作ID⊥BC,垂足为D. 3. 以I为圆心,ID为半径作⊙I. ⊙I就是所求的圆.

读句画图:
①以点O为圆心,1cm为半径画⊙O;

n

m A
E C

②作直线m与⊙O相切于点D,
作直线n与⊙O相切于点E, 直线m和直线n相交于点A; ③作直线l与圆O相切于点F, B

D

. O F

l

直线l分别与直线m、直线n相交于点B、C.

和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内 切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外 切三角形.

4、已知锐角三角形、直角三角形、钝角 三角形,分别作出它们的内切圆。三角 形的内心位置如何?

锐角三角形

直角三角形

钝角三角形

三种类型三角形的内心都在三角形内部, 且内心是三个内角角平分线的交点。

A

三角形内心的性质:
B

I.
C D . O F

1. 三角形的内心到三角形各边的距 离相等;
2. 三角形的内心在三角形的角平分 线上; 三角形外心的性质: E 1. 三角形的外心到三角形各个顶点的距 离相等; 2. 三角形的外心在三角形三边的垂直平 分线上;

1.如图1,△ABC是⊙O的
点O叫△ABC的 外心 ,

内接 三角形。

A
. O

⊙ O是△ABC的 外接 圆, 三边中垂线

B
的交点。

C D
. I
图2 D .O G F 图1

它是三角形

2.如图2,△DEF是⊙I的 外切 三角形, ⊙I是△DEF的 内切 圆,

点I是 △DEF的 内

心,

E

F

它是三角形 三个角平分线 的交点。 3. 如上图,四边形DEFG是⊙O的 外切 四边形, ⊙O是四边形DEFG的 内切 圆. E

探讨1:

如图,O是△ABC的内心, ∠BAC与∠BOC有 何数量关系? 试着作一推导. A

结论:

1 ∠BOC = 90? + ∠ A 2 B

O

?

C

课堂小结: 通过本节学习你有哪些收获和疑惑? (组内互相诉说,并展示,教师点拨归 纳讲解)

1. 本节课从实际问题入手,探索得出三角形内切圆的作法 . 2. 通过类比三角形的外接圆与圆的内接三角形概念得出 三角形的内切圆、圆的外切三角形概念,并介绍了多边形的

内切圆、圆的外切多边形的概念。
3. 学习时要明确“接”和“切”的含义、弄清“内心”与 “外心”的区别, 4. 利用三角形内心的性质解题时,要注意整体思想的运 用,在解决实际问题时,要注意把实际问题转化为数学问题。

达标检测:
一 判断题:
1. 三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等( 错 )

2. 三角形的外心到三角形各边的距离相等 (错)
3. 等边三角形的内心和外心重合; (对) 4. 三角形的内心一定在三角形的内部( 对 )



填空:
如图, △ABC的顶点在⊙O上, △ABC的各边

与⊙I都相切,则△ABC是⊙I的 外切 三角形; △ABC是⊙O的 内接 三角形; ⊙I叫△ABC的 内切 圆;

⊙O叫△ABC的 外接
点O是△ABC的 外 心

圆,点I是△ABC的 内 心,
A O . . I B C

三.如图, ?ABC 的内心为I,外心为 O.求证: (1) ?BIC=90° +1 ?A
2 (2) ? BOC = 4?BIC ?360°
B

A O I

·
C

四.如图,I是?ABC的内心,连结AI并延 长交BC边于点D,交?ABC的外接圆于 点E. 求证: (1) EI = EB ; (2)IE ? = AE · DE . B

A O I ·
)4
1 2

分析

D E

C

作业布置: (1)课本p42习题5.12:1,2,3 (2)基础训练

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