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浙江省东阳中学2015-2016学年高一数学3月阶段检测试题


高一数学阶段性检测试卷
一、选择题( 10 ? 5 ? 50 分) r r u u r ur 1. 设 a0 , b0 分别是与 a , b 同向的单位向量,则下列结论中正确的是( u u r ur u u r ur u u r ur u u r ur A. a0 ? b0 B. a0 ? b0 ? 1 C. | a0 | ? | b0 |? 2 D. | a0 ? b0 |? 2 )

2. 已知向量 m ? ? ? ?1,1? , n ? ? ? ? 2,2? , 若? m ? n? ? ? m ? n? , 则? = ( (A) ?4 (B) -3 (C) ?2 (D)? 1 ? 3. 如果点 P(sin? cos? ,2 cos? ) 位于第三象限,那么角 所在象限是( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四 象限 4. 如图, e1,e2 为互相垂直的单位向量,则向量 a-b 可表示为( ) A.3e2-e1 B.-2e1-4e2 C.e1-3e2 D.3e1-e2 5. 已知 sin( A.

)



?
6

??) ?

7 9

1 2? ? 2? ) 的值等于( ) ,则 cos( 3 3 1 7 1 B. C. ? D. ? 3 3 9

? x ? ? )( ? ? 0, ? 6. 函数 f ( x ) ? 2 sin(
? , ? 的值分别是(
(A) 2, ? )

?
2

?? ?

?
2

) 的部分图象如图所示,则

2

y

? 3

(B) 2, ?

? 6

(C) 4, ?

? 6

(D) 4,

? 3

-

π 3

O -2

5π 12

x

7. 一船自西向东匀速航行,上午 10 时到达灯塔 P 的南偏西 75°距塔 68 海里 的 M 处, 下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处, 则这只船航行的速度为( ) 海里/时 17 6 17 2 A. B.34 6 C. D.34 2 2 2 → → → → 8.在△ABC 所在平面上有一点 P, 满足PA+PB+PC=AB, 则△PAB 与△ABC 的面积之比是( ) 1 1 2 3 A. B. C. D. 3 2 3 4 9.

? 、 ? 均为锐角, P ? cos? cos ?

, Q ? cos

2

???
2

,则 P 、 Q 的关系是(



(A) P ? Q (B) P ? Q (C) P ? Q (D) P ? Q , ?, ) 动 点 P 满 足 : 10. 已 知 点 O 是 ?ABC 所 在 平 面 内 的 一 动 点 , 实 数 ? ? ( 0 ? uuu r uuu r uuu r 1 uuu r uuu r AB AC ) OP ? (OB ? OC ) ? ? ( uuu ? uuu ) ,则动点 P 的轨迹一定过 ?ABC ( r r 2 | AB | cos B | AC | cos C A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心

二、填空题( 7 ? 4 ? 28 分) 11. 设 e1,e2 是不共线向量,e1-4e2 与 ke1+e2 共线,则实数 k 的值为________. uuu r uu u r uuu r 12.若菱形 ABCD 的边长为 2,则 | AB ? CB ? CD |? _______. r r r r r r r r r 5r 13. 已知向量 a , b 满足: |a |? 2,| b |? 1,(a ? b) ? (a ? b) ,则向量 a 与 b 的夹 2 角为_____
B

D

E A C

1

O

14. 已知在△ABC 中, a ? 2 3, c ? 6, A ? 30? ,△ABC 的面积 S = . uuu r uu u r uuu r uuu r r r uuu r uu u r r uuu r r 15. 如右图, OC ? 2OA, OD ? 3OB , 记 OA ? a, OB ? b ,线段 AD 交 BC 与点 E, 试用 a , b 表示 OE ,则 uuu r OE =____________. 16. 函数 y ?

2 sin(2x ? 10?) ? cos(2x ? 55?) 的最大值是______ uu u r r uuu r r uuu r r r r 17. 已知 O, A, B, C , P 在同一个平面上,设 OA=a, OB ? b, OC ? c ,其中 a, b 为互相垂直的单位向量, r r r r uuu r uu u r uuu r uu u r 且 (c ? a) ? (c ? b) ? 0 , OP ? ? OA ? ?OB(1 ? ? ? 2,1 ? ? ? 2) , 则 |CP | 的 取 值 范 围 是
_________________. 三、解答题 π 2 2 18. (14 分)已知函数 f( x)=sin ω x+ 3sinω xsin(ω x+ )+2co s ω x,x∈R(ω >0),在 y 轴右侧的 2 π 第一个最高点的横坐标为 . 6 (1)求 f(x)的对称轴方程; (2)求 f(x)的单调递增区间.

19. (14 分)已知 a、b、c 分别是△ABC 中角 A、B、C 的对边,且 a ? c ? b ? ac . (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 c ? 3a ,求 tan A 的值.
2 2 2

2

20. (14 分)已知 a= (cos? , sin ? ),b ? (cos? , sin ? ) , 0 ? ? ? ? ? ? .

2 ,求证: a ? b ; (2)设 c ? (0,1) ,若 a ? b ? c ,求 ? , ? 的值.
(1)若 | a ? b |?

21. (15 分)在△ABC 中,若 sin A(1 ? tan B) ? cos A(1 ? tan B) , (1)求角 C ; (2)设 cos A cos B ?

3 2 cos ?? ? A? cos ?? ? B ? 2 ,求 tan ? 的值。 , ? 2 5 cos ? 5

3

22.(15 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,且

B?C 4 ? sin A ? . 2 5 (Ⅰ)若满足条件的 ?ABC 有且只有一个,求 b 的取值范围; (Ⅱ)当 ?ABC 的周长取最大值时,求 b 的值.

a ? 2 , 2 cos 2

4

【参考答案】 1~5 CBBCC 6~10.AAACB 1 ? 11. ? 12.2 13. 14. 6 3 或 3 3 4 3 uuu r 4r 3r 15. OE ? a ? b 16.1 17. [0, 2 2] 5 5 3 1 3 π 3 18. 解:(1)f(x)= sin2ω x+ cos2ω x+ =sin(2ω x+ )+ .…………………4 分 2 2 2 6 2 π π π 令 2ω x+ = ,将 x= 代入可得:ω =1,…………………6 分 6 2 6 π 3 f(x)=sin(2x+ )+ , 6 2 π π 1 π 对称轴方程为 2x+ =kπ + (k∈Z),即 x= kπ + (k∈Z).…………………10 分 6 2 2 6 π π π (2)由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + (k∈Z)可得: 2 6 2 π π 单调增区间为 [kπ - ,kπ + ](k∈Z).…………………14 分 3 6 19. (1)由余弦定理得 cos B ?

3 2 2 2 (2)将 c ? 3a 代入 a ? c ? b ? ac ,得 b ? 7a ,…………………8 分

?B ?

?

a 2 ? c2 ? b2 1 ? ,且 0 ? B ? ? , …………………3 分 2ac 2

…………………6 分

a2 ? c2 ? b2 5 7 由余弦定理得 cos B ? …………………10 分 ? 2ac 14 21 …………………12 分 ? 0 ? A ? ? , ? sin A ? 1 ? cos2 A ? 14 sin A 3 …………………14 分 ? tan A ? ? cos A 5
20. 解: (1)a-b=(cosα -cosβ ,sinα -sinβ ), |a-b| =(cosα -cosβ ) +(sinα -sinβ ) =2-2(cosα ·cosβ +sinα ·sinβ )=2, 所以,cosα ·cosβ +sinα ·sinβ =0,所以, a ? b .…………………6 分 (2) ?
2 2 2

3? ;…………6 分 4 (2)1 或 4…………9 分
21. (1) 22.解: 2 cos
2

? cos? ? cos ? ? 0 ① 1 2 2 ,① +② 得:cos(α -β )=- . 2 ② ?sin ? ? sin ? ? 1 2 2 所以,α -β = ? ,α = ? +β , 3 3 ? 1 2 3 带入②得:sin( ? +β )+sinβ = cosβ + sinβ =sin( +β )=1, 2 3 3 2 ? ? 5? ? 所以, +β = .所以,α = ,β = .…………………14 分 3 2 6 6

B?C 4 4 1 ? sin A ? ? 1 ? cos( B ? C ) ? sin A ? 即 ? sin A ? cos A ? ? 2 5 5 5
5

3 ? sin A ? ? ? 5 ……………………4 分 又 0 ? A ? ? ,且 sin 2 A ? cos2 A ? 1 ,有 ? ?cos A ? 4 ? 5 ? (1)若满足条件的 ?ABC 有且只有一个,则有 a ? b sin A 或 a ? b 10 则 b 的取值范围为 (0, 2] ? { } ; ……………………8 分 3 (2)设 ?ABC 的周长为 l ,由正弦定理得 a l ? a?b?c ? a? (sin B ? sin C ) sin A 10 ? 2 ? [sin B ? sin( A ? B )] 3 10 ? 2 ? [sin B ? sin A cos B ? cos A sin B] 3 ……………………11 分 ? 2 ? 2(3sin B ? cos B)

? 2 ? 2 10 sin( B ? ? )

? 10 ?sin ? ? ? 10 , 其中 ? 为锐角,且 ? ?cos ? ? 3 10 ? 10 ? 10 3 10 时取到.……………………13 分 ,sin B ? lmax ? 2 ? 2 10 ,当 cos B ? 10 10 a sin B ? 10 . 此时 b ? ……………………15 分 sin A

6


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