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2018版高中数学第一章解三角形1.2余弦定理(一)学案苏教版必修5


1.2 余弦定理(一) 学习目标 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.2.会运用余弦定理 解决两类基本的解三角形问题. 知识点一 余弦定理的推导 思考 1 根据勾股定理,若△ABC 中,∠C=90°,则 c =a +b =a +b -2abcos C.① 试验证①式对等边三角形还成立吗?你有什么猜想? 2 2 2 2 2 思考 2 在 c =a +b -2abcos C 中,abcos C 能解释为哪两个向量的数量积?你能由此证明 思考 1 的猜想吗? 2 2 2 梳理 余弦定理的发现是基于已知两边及其夹角求第三边的需要.因为两边及其夹角恰好是 确定平面向量一组基底的条件,所以能把第三边用基底表示进而求出模长. 另外,也可通过建立坐标系利用两点间距离公式证明余弦定理. 知识点二 余弦定理的呈现形式 1.a =____________,b =____________, 2 2 c2=____________. 2.cos ________= b2+c2-a2 ; 2bc c2+a2-b2 cos ________= ; 2ca cos ________= a2+b2-c2 . 2ab 1 知识点三 适宜用余弦定理解决的两类基本的解 三角形问题 思考 1 观察知识点二第 1 条中的公式结构,其中等号右边涉及几个量?你认为可用来解哪 类三角形? 思考 2 观察知识点二第 2 条中的公式结构,其中等号右边涉及几个量?你认为可用来解哪 类三角形? 梳理 余弦定理适合解决的问题:(1)已知两边及其夹角,解三角形;(2)已知三边,解三角 形. 类型一 余弦定理的证明 例 1 已知△ABC,BC=a,AC=b 和角 C,求 c. 反思与感悟 所谓证明,就是在新旧知识间架起一座桥梁.桥梁架在哪儿,要勘探地形,证 明一个公式,要考察公式两边的结构特征,联系已经学过的知识,看有没有相似的地方. 跟踪训练 1 例 1 涉及线段长度,能不能用解析几何的两点间距离公式来研究这个问题? 2 类型二 用余弦定理解三角形 命题角度 1 已知两边及其夹角 例 2 已知△ABC 中,b=3,c=1,A=60°,求 a 和 sin B. 反思与感悟 已知三角形两边及其夹角时,应先从余弦定理入手求出第三边,再利用正弦定 理求其余的角. 跟踪训练 2 在△ABC 中,已知 a=2,b=2 2,C=15°,求 A. 3 命题角度 2 已知三边 例 3 在△ABC 中,已知 a= 3,b=1,c=2.求 A,B,C. 反思与感悟 已知三边求三角, 可利用余弦定理的变形 cos A= cos C= b2+c2-a2 a2+c2-b2 , cos B= , 2bc 2ac b2+a2-c2 求一个角,求其余角时,可用余弦定理也可用正弦定理. 2ba 跟踪训练 3 在△ABC 中,sin A∶sin B∶sin C=2∶4∶5,判断三角形的形状. 3 1.一个三角形的两边长分别为 5 和 3,它们夹角的余弦值是- ,则三角形的另一边长为 5 ________. 2.在△ABC 中,a=7,b=4 3,c= 13,则△ABC 的最小角为________. 3.如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍,那么它的顶角的余弦值为________. 4.在△ABC 中,符合余弦定理的是________. 4 ①c =a +b -2abcos C;②c =a -b -2bccos A; ③b =a -c -2bccos A;④c

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