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2018版高中数学第一章解三角形1.2余弦定理(一)学案苏教版必修5

1.2 余弦定理(一) 学习目标 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.2.会运用余弦定理 解决两类基本的解三角形问题. 知识点一 余弦定理的推导 思考 1 根据勾股定理,若△ABC 中,∠C=90°,则 c =a +b =a +b -2abcos C.① 试验证①式对等边三角形还成立吗?你有什么猜想? 2 2 2 2 2 思考 2 在 c =a +b -2abcos C 中,abcos C 能解释为哪两个向量的数量积?你能由此证明 思考 1 的猜想吗? 2 2 2 梳理 余弦定理的发现是基于已知两边及其夹角求第三边的需要.因为两边及其夹角恰好是 确定平面向量一组基底的条件,所以能把第三边用基底表示进而求出模长. 另外,也可通过建立坐标系利用两点间距离公式证明余弦定理. 知识点二 余弦定理的呈现形式 1.a =____________,b =____________, 2 2 c2=____________. 2.cos ________= b2+c2-a2 ; 2bc c2+a2-b2 cos ________= ; 2ca cos ________= a2+b2-c2 . 2ab 1 知识点三 适宜用余弦定理解决的两类基本的解 三角形问题 思考 1 观察知识点二第 1 条中的公式结构,其中等号右边涉及几个量?你认为可用来解哪 类三角形? 思考 2 观察知识点二第 2 条中的公式结构,其中等号右边涉及几个量?你认为可用来解哪 类三角形? 梳理 余弦定理适合解决的问题:(1)已知两边及其夹角,解三角形;(2)已知三边,解三角 形. 类型一 余弦定理的证明 例 1 已知△ABC,BC=a,AC=b 和角 C,求 c. 反思与感悟 所谓证明,就是在新旧知识间架起一座桥梁.桥梁架在哪儿,要勘探地形,证 明一个公式,要考察公式两边的结构特征,联系已经学过的知识,看有没有相似的地方. 跟踪训练 1 例 1 涉及线段长度,能不能用解析几何的两点间距离公式来研究这个问题? 2 类型二 用余弦定理解三角形 命题角度 1 已知两边及其夹角 例 2 已知△ABC 中,b=3,c=1,A=60°,求 a 和 sin B. 反思与感悟 已知三角形两边及其夹角时,应先从余弦定理入手求出第三边,再利用正弦定 理求其余的角. 跟踪训练 2 在△ABC 中,已知 a=2,b=2 2,C=15°,求 A. 3 命题角度 2 已知三边 例 3 在△ABC 中,已知 a= 3,b=1,c=2.求 A,B,C. 反思与感悟 已知三边求三角, 可利用余弦定理的变形 cos A= cos C= b2+c2-a2 a2+c2-b2 , cos B= , 2bc 2ac b2+a2-c2 求一个角,求其余角时,可用余弦定理也可用正弦定理. 2ba 跟踪训练 3 在△ABC 中,sin A∶sin B∶sin C=2∶4∶5,判断三角形的形状. 3 1.一个三角形的两边长分别为 5 和 3,它们夹角的余弦值是- ,则三角形的另一边长为 5 ________. 2.在△ABC 中,a=7,b=4 3,c= 13,则△ABC 的最小角为________. 3.如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍,那么它的顶角的余弦值为________. 4.在△ABC 中,符合余弦定理的是________. 4 ①c =a +b -2abcos C;②c =a -b -2bccos A; ③b =a -c -2bccos A;④cos C= 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a2+b2+c2 . 2ab 1.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题: (1)已知两边和夹角,解三角形. (2)已知三边求三角形的任意一角. 2.余弦定理与勾股定理的关系:余弦定理可以看作是勾股定理的推广,勾股定理可以看作是 余弦定理的特例. (1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方,那么第三边所对的角是锐角. (2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角. (3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对的角是直角. 5 答案精析 问题导学 知识点一 思考 1 当 a=b=c 时,∠C=60°, a2+b2-2abcos C=c2+c2-2c·ccos 60°=c2, 即①式仍成立,据此猜想,对一般△ABC,都有 c =a +b -2abcos C. 2 2 2 → → → → 思考 2 abcos C=|C B |·|C A |cos?CB,CA? → → =CB·CA. ∴a +b -2abcos C →2 →2 → → =CB +CA -2CB·CA → → 2 →2 2 =(CB-CA) =AB =c . 猜想得证. 知识点二 1.b +c -2bccos A c +a -2cacos B a +b -2abcos C 2.A B 知识点三 思考 1 每个公式右边都涉及三个量,两边及其夹角.故如果已知三角形的两边及其夹角, 可用余弦定理解三角形. 思考 2 每个公式右边都涉及三个量,即三角形的三条边,故如果已知三角形的三边,也可 用余弦定理解三角形. 题型探究 例 1 解 如图,设 C B =a,C A =b, 2 2 2 2 2 2 2 2 C → → → A B =c, 由 A B =C B -C A ,知 c=a-b, 则|c| =c·c =(a-b)·(a-b) =a·a+b·b-2a·b 6 2 → → → =a +b -2|a||b|cos C. 所以 c =a +b -2abcos C. 跟踪训练 1 解 如图, 以 A 为原点, 边 AB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系, 则 A(0,0), B(c,0), 2 2 2 2 2 C(bcos A,bsin A), ∴BC =b co

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