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陕西省西安市临潼区华清中学2014-2015学年高一上学期第三次月考数学试卷 Word版含解析


陕西省西安市临潼区华清中学 2014-2015 学年高一上学期第三次 月考数学试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.一条直线和三角形的两边同时垂直,则这条直线和三角形的第三边的位置关系是() A.垂直 B.平行 C.相交不垂直 D.不确定 2.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,与 A1C 垂直的是() A.BD B.CD C.BC

D.CC1

3.对于直线 m、n 和平面 α、β,α⊥β 的一个充分条件是() A.m⊥n,m∥α,n∥β B. m⊥n,α∩β=m,n?α C. m∥n,n⊥β,m?α D.m∥n,m⊥α,n⊥β 4.平面 α 与平面 β 平行的条件可以是() A.α 内有无穷多条直线与 β 平行 B. 直线 a∥α,a∥β C. 直线 a?α,直线 b?β,且 a∥β,b∥α D.α 内的任何直线都与 β 平行 5.设 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m⊥α,n∥α,则 m⊥n ②若 α∥β,β∥γ,m⊥α,则 m⊥γ ③若 m∥α,n∥α,则 m∥n ④若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β 其中正确命题的序号是() A.①和② B.②和③ C.③和④ D.①和④ 6.点 P 为△ ABC 所在平面外一点,PO⊥平面 ABC,垂足为 O,若 PA=PB=PC,则点 O 是 △ ABC 的() A.垂心 B.重心 C.内心 D.外心 7.若 l、m、n 是互不相同的空间直线,α、β 是不重合的平面,则下列命题中为真命题的是 () A.若 α∥β,l?α,n?β,则 l∥n B. 若 α⊥β,l?α,则 l⊥β C. 若 l⊥n,m⊥n,则 l∥m D.若 l⊥α,l∥β,则 α⊥β 8.已知两个平面垂直,下列命题 ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线; ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线;

③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面; ④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是() A.3 B. 2 C. 1 D.0 9.设 m、n 是两条不同的直线,α、β 是两个不同的平面,则下列命题正确的是() A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B. 若 m∥α,m∥β,则 α∥β C. 若 m∥n,m⊥α,则 n⊥α D.若 m∥α,α⊥β,则 m⊥β 10.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 P 在侧面 BCC1B1 及其边界上运动,并且保持 AP⊥BD1,则动点 P 的轨迹为() A.线段 B1C B. 线段 BC1 C. BB1 的中点与 CC1 的中点连成的线段 D.BC 的中点与 B1C1 的中点连成的线段

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. ) 11.在棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E,F 分别是棱 AB,BC 中点,则三棱锥 B ﹣B1EF 的体积为. 12.对于四面体 ABCD,给出下列四个命题 ①若 AB=AC,BD=CD,则 BC⊥AD; ②若 AB=CD,AC=BD,则 BC⊥AD; ③若 AB⊥AC,BD⊥CD,则 BC⊥AD; ④若 AB⊥CD,BD⊥AC,则 BC⊥AD. 其中真命题的序号是. (写出所有真命题的序号) 13.已知直线 b∥平面 α,平面 α∥平面 β,则直线 b 与 β 的位置关系为 . 14.若某个几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是 cm .
3

15.如图,△ ABC 是直角三角形,∠ACB=90°,PA⊥平面 ABC,此图形中有个直角三角形.

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 75 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.如图,PA⊥平面 ABC,平面 PAB⊥平面 PBC,求证:AB⊥BC.

17.如图,ABCD 和 ABEF 都是正方形,M∈AC,N∈FB,且 AM=FN.证明:MN∥平面 BCE.

18. 如图, P 为△ ABC 所在平面外一点, PA⊥平面 ABC, ∠ABC=90°, AE⊥PB 于 E, AF⊥PC 于 F.求证:

(1)BC⊥平面 PAB; (2)平面 AEF⊥平面 PBC; (3)PC⊥EF.

19.如图,ABCD 是正方形,O 是正方形的中心,PO⊥底面 ABCD,E 是 PC 的中点. 求证: (Ⅰ)PA∥平面 BDE; (Ⅱ)平面 PAC⊥平面 BDE.

20.如图,已知在侧棱垂直于底面三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC=3,AB=5,BC=4,AA1=4, 点 D 是 AB 的中点. (1)求证:AC⊥BC1; (2)求证:AC1∥平面 CDB1 (3)求三棱锥 A1﹣B1CD 的体积.

21. 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, AB∥CD, AB⊥AD, CD=2AB, 平面 PAD⊥底面 ABCD, PA⊥AD.E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点,求证: (Ⅰ)PA⊥底面 ABCD; (Ⅱ)BE∥平面 PAD;

(Ⅲ)平面 BEF⊥平面 PCD.

陕西省西安市临潼区华清中学 2014-2015 学年高一上学 期第三次月考数学试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.一条直线和三角形的两边同时垂直,则这条直线和三角形的第三边的位置关系是() A.垂直 B.平行 C.相交不垂直 D.不确定 考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面垂直的性质. 专题: 证明题. 分析: 根据直线与平面的判定定理可知,直线与平面内两相交直线垂直则垂直与这个平 面,再根据线面垂直的性质可知,该直线垂直与平面内任意直线,从而得到结论. 解答: 解:一条直线和三角形的两边同时垂直, 根据直线与平面的判定定理可知,该直线垂直与三角形所在平面. 直线与平面垂直,根据线面垂直的性质可知与平面内任意一直线垂直. 故这条直线和三角形的第三边的位置关系是垂直. 故选 A 点评: 本题主要考查了直线与平面垂直的判定, 以及线面垂直的性质, 同时考查了空间想 象能力,属于基础题. 2.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,与 A1C 垂直的是() A.BD B.CD C.BC 考点: 空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 计算题.

D.CC1

分析: 本题要借助图形判断,作出如图的正方体,考查各个选项,用排除法得出正确选项 解答: 解:正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 如图, 考察四个选项,B,C,D 三个选项中的线段都与 A1C 相交,由正方体的性质知此三个线段 都不与 A1C 垂直, 故选 A

点评: 本题考查线线垂直的判断,正方体的性质,根据本题特点,选用了排除法找出正确 选项,对于本题来说,这样做最优,易判断出正确选项. 3.对于直线 m、n 和平面 α、β,α⊥β 的一个充分条件是() A.m⊥n,m∥α,n∥β B. m⊥n,α∩β=m,n?α C. m∥n,n⊥β,m?α D.m∥n,m⊥α,n⊥β 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 分析: 根据题意,结合正方体模型,对每一选支进行逐一判定,不正确的只需取出反例, 正确的简单说明一下即可. 解答: 解:对于 A,”m⊥n,m∥α,n∥β”推不出 α⊥β,故不正确 对于 B,“m⊥n,α∩β=m,n?α”推不出 α⊥β,故不正确 对于 C,根据 m∥n,n⊥β,m?α 可?α⊥β,可知该命题正确 对于 D,“m∥n,m⊥α,n⊥β”→α∥β,故不正确. 故选 C.

点评: 本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系, 考查空间想象能力、 运算能力 和推理论证能力,属于基础题. 4.平面 α 与平面 β 平行的条件可以是()

A.α 内有无穷多条直线与 β 平行 B. 直线 a∥α,a∥β C. 直线 a?α,直线 b?β,且 a∥β,b∥α D.α 内的任何直线都与 β 平行 考点: 直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据面面平行的判定定理对选项分别分析解答. 解答: 解:当 α 内有无穷多条直线与 β 平行时,a 与 β 可能平行,也可能相交,故不选 A. 当直线 a∥α,a∥β 时,a 与 β 可能平行,也可能相交,故不选 B. 当直线 a?α,直线 b?β,且 a∥β 时,直线 a 和直线 b 可能平行,也可能是异面直线,故 不选 C. 当 α 内的任何直线都与 β 平行时,由两个平面平行的定义可得,这两个平面平行, 故选 D. 点评: 本题考查两个平面平行的判定和性质得应用,注意考虑特殊情况. 5.设 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m⊥α,n∥α,则 m⊥n ②若 α∥β,β∥γ,m⊥α,则 m⊥γ ③若 m∥α,n∥α,则 m∥n ④若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β 其中正确命题的序号是() A.①和② B.②和③ C.③和④ D.①和④ 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系; 命题的真假判断与应用; 空间中直线与直线之 间的位置关系;平面与平面之间的位置关系. 专题: 证明题;压轴题;空间位置关系与距离. 分析: 根据线面平行性质定理,结合线面垂直的定义,可得①是真命题;根据面面平行 的性质结合线面垂直的性质,可得②是真命题;在正方体中举出反例,可得平行于同一个 平面的两条直线不一定平行,垂直于同一个平面和两个平面也不一定平行,可得③④不正 确.由此可得本题的答案. 解答: 解:对于①,因为 n∥α,所以经过 n 作平面 β,使 β∩α=l,可得 n∥l, 又因为 m⊥α,l?α,所以 m⊥l,结合 n∥l 得 m⊥n.由此可得①是真命题; 对于②,因为 α∥β 且 β∥γ,所以 α∥γ,结合 m⊥α,可得 m⊥γ,故②是真命题; 对于③,设直线 m、n 是位于正方体上底面所在平面内的相交直线, 而平面 α 是正方体下底面所在的平面, 则有 m∥α 且 n∥α 成立,但不能推出 m∥n,故③不正确; 对于④,设平面 α、β、γ 是位于正方体经过同一个顶点的三个面, 则有 α⊥γ 且 β⊥γ,但是 α⊥β,推不出 α∥β,故④不正确. 综上所述,其中正确命题的序号是①和② 故选:A 点评: 本题给出关于空间线面位置关系的命题, 要我们找出其中的真命题, 着重考查了线 面平行、面面平行的性质和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识,属于中档题.

6.点 P 为△ ABC 所在平面外一点,PO⊥平面 ABC,垂足为 O,若 PA=PB=PC,则点 O 是 △ ABC 的() A.垂心 B.重心 C.内心 D.外心 考点: 三角形五心. 专题: 证明题;综合法. 分析: 点 P 为△ ABC 所在平面外一点,PO⊥平面 ABC,垂足为 O,若 PA=PB=PC,可证 得△ POA≌△POB≌△POC,从而证得 OA=OB=OC,符合这一性质的点 O 是△ ABC 外心. 解答: 证明: 点 P 为△ ABC 所在平面外一点, PO⊥平面 ABC, 垂足为 O, 若 PA=PB=PC, 故△ POA,△ POB,△ POC 都是直角三角形 ∵PO 是公共边,PA=PB=PC ∴△POA≌△POB≌△POC ∴OA=OB=OC 故 O 是△ ABC 外心 故选 D. 点评: 本题是立体几何中一道证明题,考查了线面垂直的定义与三角形的全等. 7.若 l、m、n 是互不相同的空间直线,α、β 是不重合的平面,则下列命题中为真命题的是 () A.若 α∥β,l?α,n?β,则 l∥n B. 若 α⊥β,l?α,则 l⊥β C. 若 l⊥n,m⊥n,则 l∥m D.若 l⊥α,l∥β,则 α⊥β 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 分析: 对于 A,考虑空间两直线的位置关系和面面平行的性质定理; 对于 B,考虑线面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理; 对于 C,考虑空间两条直线的位置关系及平行公理; 对于 D,考虑面面垂直的判定定理. 解答: 解:选项 A 中,l 除平行 n 外,还有异面的位置关系,则 A 不正确. 选项 B 中,l 与 β 的位置关系有相交、平行、在 β 内三种,则 B 不正确. 选项 C 中,l 与 m 的位置关系还有相交和异面,故 C 不正确. 选项 D 中,由 l∥β,设经过 l 的平面与 β 相交,交线为 c,则 l∥c,又 l⊥α,故 c⊥α,又 c?β,所以 α⊥β,正确. 故选 D. 点评: 本题考查空间直线位置关系问题及判定,及面面垂直、平行的判定与性质,要综合 判定定理与性质定理解决问题. 8.已知两个平面垂直,下列命题 ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线; ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线; ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面; ④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是() A.3 B. 2 C. 1 D.0

考点: 平面与平面垂直的性质. 专题: 阅读型. 分析: 为了对各个选项进行甄别, 不必每个选项分别构造一个图形, 只须考查正方体中互 相垂直的两个平面:A1ABB1,ABCD 即可. 解答: 解:考察正方体中互相垂直的两个平面:A1ABB1,ABCD. 对于①:一个平面内的已知直线不一定垂直于另一个平面的任意一条直线;如图中 A1B 与 AB 不垂直; 对于②:一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线;这一定是正确的,如 图中,已知直线 A1B,在平面 ABCD 中,所有与 BC 平行直线都与它垂直; 对于③:一个平面内的任一条直线不一定垂直于另一个平面;如图中:A1B; 对于④:过一个平面内任意一点作交线的垂线,则垂线不一定垂直于另一个平面,如图中 A1D,它垂直于 AB,但不垂直于平面 ABCD. 故选 C.

点评: 本题主要考查了平面与平面垂直的性质, 线面垂直的选择题可以在一个正方体模型 中甄别,而不必每个选项分别构造一个图形,广东卷 07 文 6、08 文 7 理 5、09 文 6 理 5 等 莫不如此. 9.设 m、n 是两条不同的直线,α、β 是两个不同的平面,则下列命题正确的是() A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B. 若 m∥α,m∥β,则 α∥β C. 若 m∥n,m⊥α,则 n⊥α D.若 m∥α,α⊥β,则 m⊥β 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系; 空间中直线与直线之间的位置关系; 平面与平 面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 用直线与平面平行的性质定理判断 A 的正误; 用直线与平面平行的性质定理判断 B 的正误;用线面垂直的判定定理判断 C 的正误;通过面面垂直的判定定理进行判断 D 的正 误. 解答: 解:A、m∥α,n∥α,则 m∥n,m 与 n 可能相交也可能异面,所以 A 不正确; B、m∥α,m∥β,则 α∥β,还有 α 与 β 可能相交,所以 B 不正确; C、m∥n,m⊥α,则 n⊥α,满足直线与平面垂直的性质定理,故 C 正确. D、m∥α,α⊥β,则 m⊥β,也可能 m∥β,也可能 m∩β=A,所以 D 不正确; 故选 C.

点评: 本题主要考查线线,线面,面面平行关系及垂直关系的转化,考查空间想象能力能 力. 10.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 P 在侧面 BCC1B1 及其边界上运动,并且保持 AP⊥BD1,则动点 P 的轨迹为() A.线段 B1C B. 线段 BC1 C. BB1 的中点与 CC1 的中点连成的线段 D.BC 的中点与 B1C1 的中点连成的线段 考点: 轨迹方程. 专题: 计算题. 分析: 如图,BD1⊥面 ACB1,又点 P 在侧面 BCC1B1 及其边界上运动,故点 P 的轨迹为 面 ACB1 与面 BCC1B1 的交线段 CB1. 解答: 解:如图,连接 AC,AB1,B1C,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 有 BD1⊥面 ACB1,又点 P 在侧面 BCC1B1 及其边界上运动, ∴故点 P 的轨迹为面 ACB1 与面 BCC1B1 的交线段 CB1. 故选 A.

点评: 本题考查线面垂直的判定与正方体的几何特征, 对依据图象进行正确分析判断线面 的位置关系的能力要求较高. 其主要功能就是提高答题者对正方体特征的掌握与空间几何体 的立体感. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. ) 11.在棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E,F 分别是棱 AB,BC 中点,则三棱锥 B ﹣B1EF 的体积为 .

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: = ,由此利用等积法能求出三棱锥 B﹣B1EF 的体积.

解答: 解:∵棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, E,F 分别是棱 AB,BC 中点, ∴B1B⊥平面 BEF,B1B=2, S△ BEF= = ,

∴ =

= = .

=

故答案为: .

点评: 本题考查三棱锥的体积的求法,是基础题,解题时要注意等积法的合理运用. 12.对于四面体 ABCD,给出下列四个命题 ①若 AB=AC,BD=CD,则 BC⊥AD; ②若 AB=CD,AC=BD,则 BC⊥AD; ③若 AB⊥AC,BD⊥CD,则 BC⊥AD; ④若 AB⊥CD,BD⊥AC,则 BC⊥AD. 其中真命题的序号是①④. (写出所有真命题的序号) 考点: 异面直线;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 压轴题;阅读型. 分析: 证明线线垂直一般采用线面垂直来证线线垂直.①的证明可转借化证明 BC⊥面 AHD.④的证明可转化为证垂心,然后再证明 BC⊥面 AED 来证明 BC⊥AD.②③条件 下不能求出两线的夹角,也无法保证一个线垂直于另一个线所在的平面,故不对. 解答: 证明:如图 对于①取 BC 的中点 H,连接 AH 与 DH,可证得 BC⊥面 AHD,进而可得 BC⊥AD,故 ①对; 对于②条件不足备,证明不出结论; 对于③条件不足备,证明不出结论; 对于④作 AE⊥面 BCD 于 E,连接 BE 可得 BE⊥CD,同理可得 CE⊥BD,证得 E 是垂心, 则可得出 DE⊥BC,进而可证得 BC⊥面 AED,即可证出 BC⊥AD. 综上知①④正确,故应填①④.

点评: 本题在判断时有一定的难度,需要构造相关的图形,在立体几何中,构造法是一个 常 用的方法,本题用其来将线线证明转化线面证明, 13.已知直线 b∥平面 α,平面 α∥平面 β,则直线 b 与 β 的位置关系为 平行或在平面内. 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 阅读型. 分析: 根据平面与平面平行的性质进行判定, 以及直线与平面位置关系的定义进行判定即 可. 解答: 解:因为平面 α∥平面 β,而直线 b∥平面 α 则当 b 在平面 β 内,原命题成立, 若 b 不在平面 β 内,则 b 一定与平面 β 平行; 故答案为:平行或在平面内 点评: 本题主要考查了面面平行的性质, 以及空间中直线与平面之间的位置关系, 同时考 查了空间想象能力,属于基础题. 14.若某个几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是 18cm .
3

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 立体几何. 分析: 由图可知,图形由两个体积相同的长方体组成,求出其中一个体积即可.

解答: 解:由图可知,底下的长方体底面长为 3,宽为 1,底面积为 3×1=3,高为 3,因 此体积为 3×3=9; 上面的长方体底面是个正方形,边长为 3,高为 1,易知与下面的长方体体积相等, 因此易得该几何体的体积为 9×2=18. 点评: 本题考查学生的空间想象能力,是基础题. 15.如图,△ ABC 是直角三角形,∠ACB=90°,PA⊥平面 ABC,此图形中有 4 个直角三角 形.

考点: 棱锥的结构特征. 专题: 证明题. 分析: 本题利用线面垂直,判定出线线垂直,进而得到直角三角形,只需证明直线 BC⊥ 平面 PAC 问题就迎刃而解了. 解答: 解:由 PA⊥平面 ABC,则△ PAC,△ PAB 是直角三角形,又由已知△ ABC 是直角 三角形,∠ACB=90°所以 BC⊥AC,从而易得 BC⊥平面 PAC,所以 BC⊥PC,所以△ PCB 也是直角三角形, 所以图中共有四个直角三角形,即:△ PAC,△ PAB,△ ABC,△ PCB. 故答案为:4 点评: 本题考查空间几何体的结构特征, 空间中点线面的位置关系, 线面垂直的判定定理 和性质定理的熟练应用是解答本题的关键. 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 75 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.如图,PA⊥平面 ABC,平面 PAB⊥平面 PBC,求证:AB⊥BC.

考点: 空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 证明题. 分析: 过 A 作 AD⊥PB 于 D,因为平面 PAB⊥平面 PBC,根据平面与平面垂直的性质定 理可得 AD⊥平面 PBC, 由直线与平面垂直的定义可知: AD⊥BC, 又因为 BC⊥PA, 故 BC⊥ 平面 PAB,所以 BC⊥AB 解答: 证明:如图,过 A 作 AD⊥PB 于 D, ∵平面 PAB⊥平面 PBC,平面 PAB∩平面 PBC=PB, AD?平面 PAB,

∴AD⊥平面 PBC, 又∵BC?平面 PBC, ∴AD⊥BC, 又∵PA⊥平面 ABC,BC?平面 ABC, ∴BC⊥PA, 又∵AD∩PA=A, ∴BC⊥平面 PAB, 又∵AB?平面 PAB, ∴BC⊥AB

点评: 本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系, 空间中直线与平面之间的位置 关系,平面与平面之间的位置关系,考查空间想象能力和思维能力. 17.如图,ABCD 和 ABEF 都是正方形,M∈AC,N∈FB,且 AM=FN.证明:MN∥平面 BCE.

考点: 直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 作 MG∥AB 交 BC 于 G,作 NH∥EF 交 BE 于 H.连结 GH,先运用线段比例关系 证明出 MG=NH,且 MG∥NH.推断出 MNGH 为平行四边形,进而证明出 MN∥GH,最后 利用线面平行的判定定理证明出结论. 解答: 解:作 MG∥AB 交 BC 于 G,作 NH∥EF 交 BE 于 H. 连结 GH, 则 CM:CA=MG:AB,BN:BF=NH:EF, 又 AM=FN,AC=BF,故 CM=BN, ∴MG=NH,且 MG∥NH. ∴MNGH 为平行四边形,

∴MN∥GH. GH?平面 BCE,MN?平面 BCE, ∴MN∥平面 BCE.

点评: 本题主要考查了线面平行的判定定理的运用.解题的关键是证明出 MN∥GH. 18. 如图, P 为△ ABC 所在平面外一点, PA⊥平面 ABC, ∠ABC=90°, AE⊥PB 于 E, AF⊥PC 于 F.求证: (1)BC⊥平面 PAB; (2)平面 AEF⊥平面 PBC; (3)PC⊥EF.

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面垂直的判定. 专题: 证明题;空间位置关系与距离. 分析: (1) 由 PA⊥平面 ABC, 得 BC⊥PA, 由∠ABC=90°,得 BC⊥AB,从而可证 BC⊥ 平面 PAB; (2)由 BC⊥平面 PAB,AE?平面 PAB,可得 BC⊥AE,由 AE⊥PB 于 E,PB∩BC=B,得 AE⊥平面 PBC,从而可证平面 AEF⊥平面 PBC; (3)由 AE⊥平面 PBC,得 AE⊥PC,由 AF⊥PC,AF∩AE=A,得 PC⊥平面 AEF,从而可 证 PC⊥EF. 解答: 证明: (1)∵PA⊥平面 ABC,∴BC⊥PA ∵∠ABC=90°,∴BC⊥AB ∵PA∩AB=A ∴BC⊥平面 PAB (2)∵BC⊥平面 PAB,AE?平面 PAB ∴BC⊥AE ∵AE⊥PB 于 E,PB∩BC=B ∴AE⊥平面 PBC ∴平面 AEF⊥平面 PBC (3)∵AE⊥平面 PBC ∴AE⊥PC

∵AF⊥PC,AF∩AE=A ∴PC⊥平面 AEF ∵EF?平面 AEF ∴PC⊥EF. 点评: 本题主要考查了平面与平面垂直的判定, 直线与平面垂直的判定, 属于基本知识的 考查. 19.如图,ABCD 是正方形,O 是正方形的中心,PO⊥底面 ABCD,E 是 PC 的中点. 求证: (Ⅰ)PA∥平面 BDE; (Ⅱ)平面 PAC⊥平面 BDE.

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (I)根据线面平行的判定定理证出即可; (II)根据面面垂直的判定定理证明即可. 解答: 证明: (I)∵O 是 AC 的中点,E 是 PC 的中点, ∴OE∥AP,又∵OE?平面 BDE,PA ?平面 BDE. ∴PA∥平面 BDE. (II)∵PO⊥底面 ABCD,PO⊥BD, 又∵AC⊥BD,且 AC∩PO=O ∴BD⊥平面 PAC,而 BD?平面 BDE, ∴平面 PAC⊥平面 BDE 点评: 本题考查了线面平行的判定定理,面面垂直的判定定理,是一道基础题. 20.如图,已知在侧棱垂直于底面三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC=3,AB=5,BC=4,AA1=4, 点 D 是 AB 的中点. (1)求证:AC⊥BC1; (2)求证:AC1∥平面 CDB1 (3)求三棱锥 A1﹣B1CD 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (1)由勾股定理得 AC⊥BC,由 CC1⊥面 ABC 得到 CC1⊥AC,从而得到 AC⊥ 面 BCC1,故 AC⊥BC1. (2) 连接 B1C 交 BC1 于点 E, 则 DE 为△ ABC1 的中位线, 得到 DE∥AC1, 从而得到 AC1∥ 面 B1CD. (3)过 C 作 CF⊥AB 垂足为 F,CF⊥面 ABB1A1,面积法求 CF,求出三角形 DB1A1 的面 积,代入体积公式进行运算. 解答: (1)证明:在△ ABC 中,∵AC=3,AB=5,BC=4, ∴△ABC 为直角三角形,∴AC⊥BC… 又∵CC1⊥平面 ABC,∴CC1⊥AC,CC1∩BC=C, ∴AC⊥平面 BCC1,∴AC⊥BC1. … (2) 证明: 设 B1C 与 BC1 交于点 E, 则 E 为 BC1 的中点, 连结 DE, 则在△ ABC1 中, DE∥AC1, 又 DE?面 CDB1,AC1?面 CDB1,∴AC1∥平面 B1CD. … (3)解:在△ ABC 中,过 C 作 CF⊥AB,F 为垂足, ∵平面 ABB1A1⊥平面 ABC,且平面 ABB1A1∩平面 ABC=AB,∴CF⊥平面 ABB1A1, 而 ∵ ∴ … 点评: 本题考查证明线线垂直、线面平行的方法,求三棱锥的体积,求点 C 到面 A1B1D 的距离是解题的难点. 21. 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, AB∥CD, AB⊥AD, CD=2AB, 平面 PAD⊥底面 ABCD, PA⊥AD.E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点,求证: (Ⅰ)PA⊥底面 ABCD; (Ⅱ)BE∥平面 PAD; (Ⅲ)平面 BEF⊥平面 PCD. , ,而 . ,

考点: 直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定;平面与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离;立体几何. 分析: (Ⅰ)根据条件,利用平面和平面垂直的性质定理可得 PA⊥平面 ABCD. (Ⅱ)根据已知条件判断 ABED 为平行四边形,故有 BE∥AD,再利用直线和平面平行的 判定定理证得 BE∥平面 PAD. (Ⅲ)先证明 ABED 为矩形,可得 BE⊥CD ①.现证 CD⊥平面 PAD,可得 CD⊥PD,再 由三角形中位线的性质可得 EF∥PD, 从而证得 CD⊥EF ②. 结合①②利用直线和平面垂直的判定定理证得 CD⊥平面 BEF, 再 由平面和平面垂直的判定定理 证得平面 BEF⊥平面 PCD. 解答: 解: (Ⅰ)∵PA⊥AD,平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,由 平面和平面垂直的性质定理可得 PA⊥平面 ABCD. (Ⅱ)∵AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点,故四边形 ABED 为平行四边形,故有 BE∥AD. 又 AD?平面 PAD,BE 不在平面 PAD 内,故有 BE∥平面 PAD. (Ⅲ)平行四边形 ABED 中,由 AB⊥AD 可得,ABED 为矩形,故有 BE⊥CD ①. 由 PA⊥平面 ABCD,可得 PA⊥AB,再由 AB⊥AD 可得 AB⊥平面 PAD, ∴CD⊥平面 PAD,故有 CD⊥PD. 再由 E、F 分别为 CD 和 PC 的中点,可得 EF∥PD, ∴CD⊥EF ②. 而 EF 和 BE 是平面 BEF 内的两条相交直线,故有 CD⊥平面 BEF. 由于 CD?平面 PCD,∴平面 BEF⊥平面 PCD. 点评: 本题主要考查直线和平面垂直的判定定理, 直线和平面平行的判定定理, 平面和平 面垂直的判定定理、性质定理的应用,属于中档题.


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