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高中数学第2章2.2.1-2.2.2等差数列的概念,等差数列的通项公式(一)配套课件苏教版必修


2.2.1 等差数列的概念(一) 2.2.2 等差数列的通项公式(一)
【学习要求】 1.理解等差数列的意义. 2.会推导等差数列的通项公式,能运用等差数列的通项公式 解决一些简单的问题. 3.掌握等差中项的概念,深化认识并能运用.

【学法指导】 1.要善于通过实例的观察、分析、归纳、提炼来理解等差数 列的概念, 同时, 还应准确理解等差数列的关键词“从第 2 项起”,“差是一个常数”等;要善于用归纳或叠加法探 求等差数列的通项公式. 2. 利用 an+1-an=d(n∈N*)可以帮助我们判断一个数列是否为 等差数列.

填一填·知识要点、记下疑难点

1.如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得 的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做 等差 数 列,这个常数叫做等差数列的 公差 ,公差通常用字母 d 表示. 2.若三个数 a,A,b 构成等差数列,则 A 叫做 a 与 b 的 a+b 等差中项 ,并且 A= . 2

填一填·知识要点、记下疑难点

3.若等差数列的首项为 a1,公差为 d,则其通项 an=

a1+(n-1)d

.

4.等差数列{an}中,若公差 d>0,则数列{an}为 递增 数列; 若公差 d<0,则数列{an}为 递减 数列.

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[问题情境] 1.1682 年,英国天文学家哈雷发现一颗大彗星运动的轨迹 和 1531 年、1607 年的彗星的运动轨迹惊人地相似,便 大胆断定这是同一天体的三次出现,并预言它将于 76 年后再度回归.这就是著名的哈雷彗星,它的回归周期 大约是 76 年.请你查找资料,列出哈雷彗星的回归时 间表,并预测它在本世纪回归的时间. 哈雷彗星的回归时间表(单位:年) 1607,1682,1759,1835,1910,1986,2061,?. 预测它在本世纪回归的时间是 2061 年.

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2.第一届现代奥运会于 1896 年在希腊雅典举行,此后每 4 年举行一次,奥运会如因故不能举行,届数照算.这样举 行奥运会的年份数构成一个数列,这个数列有什么特征 呢?这个数列叫什么数列呢? 这个数列从第二项起, 每一项与它的前一项的差都等于同 一个常数,像这样的数列叫做等差数列.等差数列有很多 的应用,这一节我们就来学习等差数列及其通项公式.

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探究点一 问题 1

等差数列的概念

我们先看下面几组数列:

(1)3,4,5,6,7,?; (2)6,3,0,-3,-6,?; (3)1.1,2.2,3.3,4.4,5.5,?; (4)-1,-1,-1,-1,-1,?. 观察上述数列,我们发现这几组数列的共同特点是 从第二项起,每一项与前一项的差都等于同一常数 ________________________________________________.

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问题 2 判断下列数列是否为等差数列,如果是,指出首项

a1 和公差 d;如果不是,请说明理由: (1)4,7,10,13,16,?; (2)31,25,19,13,7,?; (3)0,0,0,0,0,?; (4)a,a-b,a-2b,?; (5)1,2,5,8,11,?. 解 (1)是等差数列,a1=4,d=3; (2)是等差数列,a1=31,d=-6; (3)是等差数列,a1=0,d=0; (4)是等差数列,a1=a,d=-b; (5)不是等差数列,a2-a1=1,a3-a2=3,
∴a2-a1≠a3-a2.

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探究


如何准确把握等差数列的概念?谈谈你的理解.
(1)等差数列{an}从第二项起,每一项与它的前一项的差

都是同一个常数,这一点说明一个等差数列至少有 3 项.

(2)如果一个数列,不从第二项起,而是从第三项起或第四项 起,每一项与它前一项的差是同一个常数,那么此数列不是 等差数列,但可以说从第二项或第三项起是一个等差数列. (3)一个数列,从第二项起,每一项与它的前一项的差,尽管

等于常数,这个数列也不一定是等差数列,因为这些常数可 以不同, 当常数不同时, 当然不是等差数列, 因此定义中“同 一个”常数,这个“同一个”十分重要,切记不可丢掉.

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探究点二 问题 探究 1 an. 等差数列的通项公式

如果等差数列{an}的首项是 a1,公差是 d,你能用两 根据等差数列的定义:an+1=an+d,可以依次得到

种方法求其通项吗? a1,a2,a3,a4,?,然后观察规律,归纳概括出通项公式



a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,?.所以

a2=a1+d, a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d, a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d, ? 由此得出:an=a1+(n-1)d.

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探究 2 由等差数列的定义知: an-an-1=d(n≥2), 可以采用

叠加法得到通项公式 an.



a2-a1=d ? ? a3-a2=d ? ? a4-a3=d ?(n-1)个 ? ? ? an-an-1=d? ?

将以上(n-1)个等式两边分别相加,可得 an-a1=(n-1)d, 即 an=a1+(n-1)d.

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探究点三 问题 1


等差中项

如果三个数 x,A,y 组成等差数列,那么 A 叫做 x
∵x,A,y 组成等差数列,

和 y 的等差中项,试用 x,y 表示 A.
x+y ∴A-x=y-A,∴2A=x+y,∴A= . 2

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问题 2 已知 A,B,C 是△ABC 的三个内角,且 B 是 A、C 的等差中项,求角 B 的大小.
∵A+B+C=π,又 A+C=2B, π ∴3B=π,B=3. an+an+2 探究 若数列{an}满足:an+1= ,求证:{an}是等差 2 解
数列.

证明

an+an+2 ∵an+1= 2

?2an+1=an+an+2

?an+2-an+1=an+1-an
∴an+1-an=an-an-1=?=a2-a1(常数).
∴{an}是等差数列.

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【典型例题】 例1 已知{an}为等差数列, 分别根据下列条件写出它的通项 公式. (1)a3=5,a7=13; (2)前三项为:a,2a-1,3-a. 解 (1)设首项为 a1,公差为 d,则 ? ? ?a3=a1+2d=5, ?a1=1, ? 解得? ? ? ?a7=a1+6d=13, ?d=2.
∴an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1. ∴通项公式为 an=2n-1. 5 (2)由等差中项公式得 2×(2a-1)=a+(3-a),a=4, 5 5 1 ∴首项为 a=4,公差为 2a-1-a=a-1=4-1=4, 5 1 n ∴an=4+(n-1)×4=4+1. n ∴通项公式为 an=4+1.

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小结 在等差数列{an}中,首项 a1 与公差 d 是两个最基本的 元素;有关等差数列的问题,如果条件与结论间的联系不明 显,则均可化成有关 a1、d 的关系列方程组求解,但是,要 注意公式的变形及整体计算,以减少计算量.

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跟踪训练 1 若{an}是等差数列,a15=8,a60=20,求 a75.

64 ? ? ?a1=15, ?a15=a1+14d=8, 由题意知? 解得? ? ?a60=a1+59d=20, ?d= 4 . ? 15 64 4 所以 a75=a1+74d= +74× =24. 15 15



设{an}的公差为 d.

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例2 b+c a+c a+b 1 1 1 已知a,b,c 成等差数列,求证: a , b , c 也

成等差数列. 1 1 1 证明 ∵a,b,c成等差数列, 2 1 1 ∴b=a+c,即 2ac=b(a+c). b+c a+b c?b+c?+a?a+b? c2+a2+b?a+c? ∵ a + c = = ac ac a2+c2+2ac 2?a+c?2 2?a+c? = = = b . ac b?a+c?
b+c a+c a+b ∴ , , 成等差数列. a b c 小结 一般地,一个数列至少有三项.若 x,y,z 成等差数 列, 则 x+z=2y, 反之亦然. 此时, y 就是 x 与 z 的等差中项.

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跟踪训练 2 已知 a,b,c 成等差数列,那么 a2(b+c),b2(c +a),c2(a+b)是否能构成等差数列? 证明 ∵a,b,c 成等差数列,∴a+c=2b. ∴a2(b+c)+c2(a+b) =a2b+a2c+c2a+c2b =(a2b+c2b)+(a2c+c2a) =b(a2+c2)+ac(a+c) =b(a2+c2)+2abc =b(a2+c2+2ac) =b(a+c)2=b· (a+c)· (a+c) =2· b2(a+c).
∴a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)能构成等差数列.

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例3


梯子的最高一级宽 33 cm,最低一级宽 110 cm,中间还
用{an}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列,由

有 10 级,各级的宽度成等差数列,计算中间各级的宽度.
已知,得 a1=33,a12=110,n=12. 由通项公式,得 a12=a1+(12-1)d,即 110=33+11d.解得 d

=7.因此,a2=33+7=40,a3=40+7=47,a4=54,a5=61, a6=68,a7=75,a8=82,a9=89,a10=96,a11=103.所以梯 子中间各级的宽度从上到下依次是 40 cm,47 cm,54 cm, 61 cm,68 cm,75 cm,82 cm,89 cm,96 cm,103 cm.
小结 在实际问题中,若一组数依次成直线上升或下降,则 可考虑利用等差数列方法解决.在利用数列方法解决实际问 题时,一定要分清首项、项数等关键问题.

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跟踪训练 3 在通常情况下,从地面到 10 km 高空,高度每 增加 1 km,气温就下降某一个固定数值.如果 1 km 高度的 气温是 8.5℃,5 km 高度的气温是-17.5℃,求 2 km,4 km, 8 km 高度的气温.



用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列,则 a1

=8.5,a5=-17.5,由 a5=a1+4d=8.5+4d=-17.5,解得 d=-6.5,∴an=15-6.5n.∴a2=2,a4=-11,a8=-37, 即 2 km,4 km,8 km 高度的气温分别为 2℃,-11℃,-37℃.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1 1 1.已知 a= ,b= ,则 a、b 的等差中项是 3+ 2 3- 2 3 . _______ 1 2.若数列{an}满足 a1=3,3an+1=3an+1,则数列{an}的通项公 n 式 an=________. 3

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3.在等差数列{an}中, (1)已知 a1=2,d=3,n=10,则 an=________ 29 ;

10 ; (2)已知 a1=3,d=2,an=21,则 n=________
3 ; (3)已知 a1=12,a6=27,则 d=________ 1 10 (4)已知 d=- ,a7=8,则 a1=________. 3

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4.甲虫是行动较快的昆虫之一,下表记录了某种类型的甲虫 的爬行速度: 时间 t(s) 1 2 3 ? ? ? 60 ?

距离 s(cm) 9.8 19.6 29.4 ? 49 ?

(1)你能建立一个等差数列的模型, 表示甲虫的爬行距离和时 间之间的关系吗? (2) 利用建立的模型计算,甲虫 1 min 能爬多远?它爬行 49 cm 需要多长时间?

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(1)由题目表中数据可知,该数列从第 2 项起,每一项与前

一项的差都是常数 9.8, 所以是一个等差数列模型. 因为 a1=9.8, d=9.8,所以甲虫的爬行距离 s 与时间 t 的关系是 s=9.8t.

(2)当 t=1 min=60 s 时, s=9.8t=9.8×60=588 cm. s 49 当 s=49 cm 时,t=9.8=9.8=5 s.

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1.等差数列的判定关键要看 an+1-an(n∈N*)是否为一个与 n 无 关的常数.由于 an+1-an=an+2-an+1?2an+1=an+an+2,所以 也可以利用 2an+1=an+an+2(n∈N*)来判定等差数列.注意数 列的项中含有字母时是否需要分类讨论. 2.等差数列的通项公式及其变形 an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d 的应用极其灵活,公式中的四个量 a1,an,n,d 中知三可求 一.充分利用等差数列的函数特性可使解题过程更为简捷. 3.数列的应用题在数列中占有很重要的地位.


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