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广东省东莞市2015-2016学年高一下学期期末考试数学试题Word版含答案.doc


2015-2016 学年度第二学期期末教学质量检查 高一数学(A)
考生注意:本卷共三大题,22 小题,满分 150 分,时间 120 分钟.不准使用计算器. 参考公式:1. 方差的计算公式: S ?
2

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ] ; n

?x ? a ? ?b ? 的 系 数 公 式 : 2. 用 最 小 二 乘 法 求 线 性 回 归 方 程 y

?? b

? ?xi ? x ?? yi ? y ? ? xi yi ? n ? x ? y
i ?1

n

n

? ?x
i ?1

n

i

? x?

?

i ?1

2

?x
i ?1

n

2 i

? nx

2

?x . ? ? y ?b ,a

第Ⅰ卷 选择题 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 每小题各有四个选择支,仅有一个 选择支正确. 请用 2B 铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑. ) 1.掷一枚均匀的硬币,如果连续抛掷 1000 次,那么第 999 次出现正面向上的概率是( A. )

1 1000

B.

1 999

C.

1 2

D.

2.点 P 从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动 1 3 A.?- , ? ? 2 2? B.?- 3 1? ,- 2 2?

5? 弧长到达 Q 点,则 Q 点的坐标为 ( 6
1 3 C.?- ,- ? 2? ? 2 ) D.?-

999 1000

)

?

?

3 1? , 2 2?

3. 已知向量 a, b 的夹角为 60 ,且 | a |?| b |? 1 ,则 | a ? b | 等于(
?

A. 3

B. 3

C. 2

D. 1

4. 总体由编号为 01,02,…,39,40 的 40 个个体组成.利用下面的随机数表选取 5 个个体,选 取方法是从随机数表第 1 行的第 6 列和第 7 列数字开始由左到右依次选取两个数字,则 选出来的第 5 个个体的编号为( )

50 44 66 44 21 66 06 58 05 62 61 65 54 35 02 42 35 48 96 32 14 52 41 52 48 22 66 22 15 86 26 63 75 41 99 58 42 36 72 24 58 37 52 18 51 03 37 18 39 11 A.23 B.21 C.35 D.32 ) 0.1 频率/组距 5.已知 2 弧度的圆心角所对的弧长为 4,那么这个圆心角所对的弦长是( A. 2 sin 1 D. 4 cos 1 B. 2 cos 1 C. 4 sin 1

0.04

O

5

10

15

20 数据

6.如图是一组样本数据的频率分布直方图,则依据图形中的数据, 可以估计总体的平均数与中位数分别是( A. 12 .5 , 12 .5 C. 13 .5 , 12 .5 B. 13 .5 , 13 D. 13 , 13 )

7. 设 D, E , F 分别为 ?ABC 的三边 BC, CA, AB 的中点,则 DA ? FC ? ( ) A. AD B. ED C. BE D. BC )

8. 某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是( A. 0 B.

3 2

C. 3

D. 504 3

9.变量 X 与 Y 相对应的一组数据为(1,3),(2,5.3),(3,6.9), (4,9.1),(5,10.8);变量 U 与 V 相对应的一组数据为(1,12.7), (2,10.2),(3,7),(4,3.6),(5,1). r1 表示变量 Y 与 X 之间的线 性相关系数,r2 表示变量 V 与 U 之间的线性相关系数,则( A.r2<r1<0 B.0<r2<r1 C.r2<0<r1 )

D.r2=r1

10.已知向量 a ? (sin? , cos? ),b ? (sin? , sin ? ) ,若 a ? b ,则 sin( 2? ? A. ?

?
4

) 等于(

)

2 2

B. ?

1 2

C.

1 2

D.

2 2

11.函数 f ( x) ? (

1 ? cos x) x 在 [?4,4] 的图像大致为( ) 2

A

B

12.函数 f ( x) ? sin( 2 x ? ? )(| ? |?

?
2

) 的图象向左平移6个单位后所得函数图象的解析式是

π

偶函数,且存在 x ? [0, A. ? 1

?
2

] ,使得不等式 f ( x) ? m 成立,则 m 的最小值是(
1 C. 2 D. 1

)

1 B.- 2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填在答题卡中相应的位置 上. ) 13.如图,有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为 75 ,若向圆内投镖,如果某人每次都 投入圆内,那么他投中阴影部分的概率为 .
?

14. 某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始数据记录如下: 甲运动员得分:13,51,23,8,26,38,16,33,14,28,39 乙运动员得分:49,24,12,31,50,31,44,36,15,37,25,36,39 这个赛季中发挥更稳定的运动员是 15.若 tan ? ? (填甲或乙). 第 13 题图

? 1 5 ? ? , ? ? (0, ) ,则 cos( 2? ? ) 的值为________. 4 tan ? 2 4

16.给出一个如图所示的程序框图,若要使输出的 y 值是输入的 x 值 的 2 倍,则这样的 x 值是________. 开始 输入 x



x ? 0?



y ? x2 ? 3



x ? 1?

1 x

y ? x?1

y??

输出 y 结束

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解 答过程必须写在答题卡相应题号指定的区域内,超出指定区域的答案无效. ) 17.(本小题满分 10 分)

已知向量 a ? (4,3), b ? (1,?1) . (Ⅰ)求 a 与 b 的夹角的余弦值; (Ⅱ)若向量 3a ? 4b 与 ? a ? b 平行,求实数 ? 的值.

18. (本小题满分 10 分) 为了解某地房价环比(所谓环比,简单说就是与相连的上一期相比)涨幅情况,下表记 录了某年 1 月到 5 月的月份 x (单位:月)与当月上涨的百比率 y 之间的关系: 时间 x 上涨率 y 1 0.1 2 0.2 3 0.3 4 0.3 5 0.1

?x?a (Ⅰ)根据上表提供的数据,求 y 关于 x 的线性回归方程 y ? b
(Ⅱ)预测该地 6 月份上涨的百分率是多少?

?

19. (本小题满分 12 分) 从某次知识竞赛中随机抽取 100 名考生的成绩, 绘制成如图所示的频率分布直方图,分数落在 区间 ?55,65? , ?65,75? , ? 75,85? 内的频率之 比为 4 :2:1.
0.019 0.012 0.004 0.030

频率 组距

0

15 25

35 45 55 65 75 85 质量指标值

(Ⅰ)求这些分数落在区间 ?55,65? 内的频率; (Ⅱ)用分层抽样的方法在区间 ? 45,75? 内抽取 一个容量为 6 的样本,将该样本看成一个总体, 从中任意抽取 2 个分数,求这 2 个分数都在区间 ?55,75? 内的概率.

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin( 2 x ? ? ), x ? R, A ? 0, ? ? (0, (Ⅰ)求 A , ? 的值; (Ⅱ)若 f ( x0 ) ?

?
2

) ,且 f (

)? f( )? 3 12 4

?

?

? 6 ?? ? ? , x0 ? ? , ? ,求 sin(2 x0 ? ) 的值. 12 5 ?4 2?

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin 2?x ? 2 3 cos2 ?x , (0 ? ? ? 2) ,且 f ( x ? (Ⅰ)试求 ω 的值; (Ⅱ)讨论函数 g ( x) ? 2? | f ( x) ? 3 | ?kx (k ? R) 在 x ? [0,

?
6

) ? f (x ?

?
2

).

7? ] 上零点的个数. 18

22. (本小题满分 12 分) 如图,正方形 ABCD 的边长为 1,E,F 分别为 BC,CD 上异于端点的点,△ECF 的周 长为 2,∠BAE = ? ,∠DAF = ? . D F C

? ? ? ) 的值; (Ⅰ)当 E 为 BC 中点时,求 tan(
(Ⅱ)求 AE ? AF 的最小值. A E

B

2015—2016 学年度第二学期教学质量检查 高一数学(A)
题号 答案 1 C 2 D 3 B 4 B 5 C 6 D

参考答案
7 C 8 A 9 C 10 A 11 A 12 B

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. )

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13.

5 24

14. 乙

15.

7 2 10

16. ? 1

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.) 17 解: (Ⅰ)设 a 与 b 的夹角为 ? ,则 cos ? ?

4 ?1 ? 3 ? (?1) 4 ?3
2 2

1 ? (?1)
2

2

?

2 ……3 分 10

所以 a 与 b 的夹角的余弦值为

2 ……4 分 10

(Ⅱ)? a ? (4,3), b ? (1, ?1)

?

?

? ? ?3a ? 4b ? (12,9) ? (4, ?4) ? (16,5) ……5 分

? a ? b ? (4?,3?) ? (1, ?1) ? (4? ?1,3? ?1) ……6 分
? 向量 3a ? 4b 与 ? a ? b 平行?16(3? ? 1) ? 5(4? ? 1) ……8 分
3 ……9 分 4 3 故所求 ? 的值 ? ……10 分 4 1? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ?3 18 解: (Ⅰ) x ? 5 ? 0.1 ? 0.2 ? 0.3 ? 0.3 ? 0.1 ? 0.2 y? 5
解得? ? ? ?

? ?

……1 分 ……2 分 ……3 分 ……4 分(列式、结果各 1 分)

12 ? 2 2 ? 32 ? 4 2 ? 5 2 ? 55,
1? 0.1 ? 2 ? 0.2 ? 3 ? 0.3 ? 4 ? 0.3 ? 5 ? 0.1 ? 3.1
5

? ?? 所以 b

? x y ? 5x ? y
i ?1 5 i i

?x
i ?1

2

i

? 5x

2

?

3.1 ? 5 ? 3 ? 0.2 ? 0.01 ……6 分(列式、结果各 1 分) 55 ? 5 ? 32

? ? 0.2 ? 0.01? 3 ? 0.17 ? ? y ? bx a
?回归直线方程为 y ? 0.01x ? 0.17
(Ⅱ)当 x ? 6 时, y ? 0.01? 6 ? 0.17 ? 0.23 预测该地 6 月份上涨的百分率是 0.23
?
?

……7 分(列式、结果各 1 分) ……8 分 ……10 分

……12 分

19.解: (Ⅰ)设区间 ?75,85? 内的频率为 x , 则区间 ?55,65? , ?65,75? 内的频率分别为 4x 和 2x .…………………………1 分 依题意得 ? 0.004 ? 0.012 ? 0.019 ? 0.030? ?10 ? 4x ? 2x ? x ? 1 ,……………3 分 解得 x ? 0.05 .所以区间 ?55,65? 内的频率为 0.2.………4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得,区间 ? 45,55? , ?55,65? , ?65,75? 内的频率依次为 0.3 , 0.2 , 0.1 . 用分层抽样的方法在区间 ? 45,75? 内抽取一个容量为 6 的样本,

0.3 ? 3 件,记为 A1 , A2 , A3 . 0.3 ? 0.2 ? 0.1 0.2 ? 2 件,记为 B1 , B2 . 在区间 ?55,65? 内应抽取 6 ? 0.3 ? 0.2 ? 0.1 0.1 ? 1 件,记为 C .…………………6 分 在区间 ?65,75? 内应抽取 6 ? 0.3 ? 0.2 ? 0.1
则在区间 ? 45,55? 内应抽取 6 ? 设“从样本中任意抽取 2 件产品,这 2 件产品都在区间 ?55,75? 内”为事件 M, 则所有的基本事件有:? A 1 , C? ,? A 1, A 2 ? ,? A 1, A 3? ,? A 1, B 1? ,? A 1 , B2 ? ,? A 2, A 3? ,

? A2 , B1? , ? A2 , B2? ,? A2 , C? , ?A3 , B1? , ? A3 , B2? ,? A3 , C? , ?B1, B2? ,?B1 , C? ,
?B2 , C? ,共 15 种.…………………………………………………………………8 分
事件 M 包含的基本事件有: ?B1 , B2 ? , ?B1 , C? , ?B2 , C? ,共 3 种.…………10 分 所以这 2 件产品都在区间 ?55,75? 内的概率为

3 1 ? .……12 分 15 5

20. 解: (Ⅰ)∵ f (

)? f( )? 3 12 4

?

?

? ? A sin( ? ? ) ? 3 ? ? 6 ∴ ? ? A sin(? ? ? ) ? 3 ? 2 ?
∴ sin(

………………………………………1 分

?
6

? ? ) ? sin(

?
2

? ?)

………………………………………2 分

∵ ? ? (0, ∴ (

?
2

)

?
6

? ?) ? (

?
2

? ?) ? ?
………………………………………3 分

?? ?
∴ f( 5分

?
6

?
12

) ? A sin

?
3

?A?2 ? 3,

…………………………………

? A ? 2, ? ?


?
6
Ⅱ )

……………………………6 分

f ( x0 ) ? 2 sin( 2 x0 ?

?
6

)?

? sin( 2 x0 ?

3 …………………………………7 分 6 5 ? ? 2? ? 7? ? ? x0 ? , ? ? 2 x0 ? ? 4 2 3 6 6 )?

?

6 5



………………………………8



? c o s2 ( x0 ?


?
6

)??

4 5

……………………………9

sin(2 x0 ?

?
12

) ? sin[(2 x0 ?

?
6

)?

?
4

]?

7 2 10

………………………………12 分

21.解: (Ⅰ) f ( x) ? sin 2?x ? 2 3 cos2 ?x

? sin 2?x ? 3(cos2?x ? 1)
……1 分

…………………………………

1 3 ? 2( sin 2?x ? cos 2?x) ? 3 2 2

? 2 sin( 2?x ?


?
3

)? 3

…………………………… 2

∴函数 y ? f ( x) 的最小正周期为 T ? 由 f (x ?

?
6

) ? f (x ?

?
2

) 得 f (x ?

所以函数 y ? f ( x) 的周期 k ? T ? 3分

2? k?N* , 3

2? ) ? f ( x) 3
……………………………

2? ? ? 2? ?

?k

? 2? 3 ? ,得 ? ? k ? 3 2 ∵ 0 ?? ? 2,k ?N *
∴ ??

………………………………………4 分

3 2

………………………………………5 分

(Ⅱ) g ( x) ? 2? | f ( x) ? 3 | ?kx ? 2 ? 2 sin(3x ? 设 h( x ) ?| 2 sin( 3 x ?

?
3

) ? kx

?
3

) | ,则函数 y ? g ( x) 在 x ? [0,
两 个 图 形 在

y ? h( x )




y ? 2 ? kx

7? ] 上零点的个数等价于函数 18 7? x ? [0, ] 上 交 点 个 18

………………………………………6 分 画出 y ? h( x) 的函数图象如图: ………………………8 分
8

7? 2? ,2) ,与 x 轴交点 C ( ,0) 18 18 9 9 当直线 y ? 2 ? kx 经过 C 时, k ? …………………9 分
最高点 A(

?

, 2) , B (

6

4

?

y A B x

当 k ? 0 ,两函数图象无交点; 当 k ? 0 ,两函数图象有两个交点; 3π 2π 7π π 当0 ? k ? 当k ? 当k ?
5π 12 π 3 π 4 π 6 π 12

22 O
2

π 12

π 6

C

π 4

π 3

9

4

3

12

2

7? 12 18



π 2

7

1

?

,两函数图象有三个交点;

9

?
9

,两函数图象有两个交点; ,两函数图象有一个交点;

4

?

………………………………………11 分
8

6

所以:当 k ? 0 , y ? g ( x) 在 x ? [0,

7? ] 上无零点; 18 9 7? ] 上有一零点; 当 k ? , y ? g ( x) 在 x ? [0, ? 18

7? ] 上有两零点; ? 18 9 7? ] 上有三零点。 当 0 ? k ? ,y ? g ( x) 在 x ? [0, ? 18
当 k ? 0或

9

, y ? g ( x) 在 x ? [0,

……………………12



22.解: (Ⅰ) ∵E 为 BC 中点 ∴ CE ?

1 2

在 Rt ?ECF 中,设 CF ? t 则 EF ? t ? ( )
2

D

F

C

1 2

2

E

∵△ECF 的周长为 2 ∴

A

B

1 1 ? t ? t 2 ? ( )2 ? 2 2 2
2 2 , 即 CF ? 3 3
1 ,∠BAE = ? 2
…………………………………… 1

解得 t ? 分

在 Rt ?ABE 中, AB ? 1 , BE ? ∴ tan ? ?

1 , 2 1 ,∠DAF = ? 3
……………………………………

在 Rt ?ADF 中, AD ? 1 , DF ? ∴ tan ? ? 2分

1 3

1 1 ? tan? ? tan ? 2 3 ?1 ∴ tan( ? ? ?) ? ? 1 1 ? tan? tan ? 1 ? ? 1 2 3
3分 (Ⅱ)在 Rt ?ABE 中, AB ? 1 ,∠BAE = ? ∴ BE ? tan? ? (0,1) , AE ?

……………………………………

1 cos ?

在 Rt ?ADF 中, AD ? 1 ,∠DAF = ? ∴ DF ? tan ? ? (0,1) ,AF ?

1 cos ?

………………………… 4 分

∴在 Rt ?ECF 中, CE ? 1 ? tan ? , CF ? 1 ? tan ?

EF ? (1 ? t a n ? ) 2 ? (1 ? t a n? ) 2
∵△ECF 的周长为 2 ∴

1 ? tan ? ? 1 ? tan ? ? (1 ? tan ? ) 2 ? (1 ? tan ? ) 2 ? 2 ……………………………… 5 分
化简得 tan? ? tan ? ? 1 ? tan? tan ?

? ? ?) ? ∴ tan(
6分 又∵ ∴ 7分 ∴ ?EAF ?

tan? ? tan ? ?1 1 ? tan? tan ?

……………………………

0?? ? ? ?

?
2
……………………………

? ?? ?

?
4

?
2

? (? ? ? ) ?

?
4

AE ? AF ? AE ? AF ? c o ? s EAF ?

1 1 ? ? ? c o s ………………………… 8 分 co? s cos ? 4

?

2

2 cos? cos( ? ? ) 4

?

?

2 2 sin(2? ?

?
4

………………………

) ?1

10 分 ∵ 0?? ? ∴ 11 分

?
4

?
4

? 2? ?

?
4

?

3? 4

……………………

∴ 当 2? ? 即

?
4

?

?
2

,即 ? ?

?
8

时, sin( 2? ? 取 得

?
4

) 取得最大值 1,
最 小 值

AE ? AF

2 ? 2( 2 ? 1) 2 ?1

……………………………… 12 分


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