等比数列的前n项和公式学案

必修 5 学案

等比数列的前 n 项和公式（1）
教学目标 1．掌握等比数列的前 n 项和公式及公式证明思路． 2．会用等比数列的前 n 项和公式解决有关等比数列前 n 项和的一些简单问题. 教学重点 1.等比数列的前 n 项和公式；2.等比数列的前 n 项和公式推导. 教学难点 灵活应用公式解决有关问题. 教学过程 一.复习回顾 (1) 等比数列定义： (2) 等比数列通项公式： 二.探索与研究：采用印度国际象棋发明者的故事，你能计算出国际象棋盘中的麦粒数吗？ 即求 s64 ? 1 ? 2 ? 4 ? 8?? ? 262 ? 263 用错项相消法推导结果，两边同乘以公比： ② ②－①： 这是一个庞大的数字 ①

以小麦千粒重为 40 g 计算，则麦粒总质量达 7000 亿吨——国王是拿不出来的。 三、一般公式推导：设 S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? ? an?1 ? an 乘以公比 q ， qSn ? a2 ? a3 ? ?? ? an?1 ? an ? qan ①?②： ?1 ? q ?S n ? a1 ? qan ， q ? 1 时： S n ? ① ②

a1 ? qan a1 ? aqn a1 1 ? q n ? ? 1? q 1? q 1? q

?

?

q ? 1 时： S n ? na1
公式与公式说明： （1） a1 , q, n, S n 和 a1 , an , q, S n 各已知三个可求第四个， （2）公式推导方法：错位相减法 特点：在等式两端同时乘以公比 q 后两式相减。

（3）应用求和公式时 q ? 1 ，必要时应讨论 q ? 1 的情况。

Sn ?

a1 (1 ? q n ) (q ? 1) 1? q

q ? 1 时， Sn ? na1 (q ? 1)
a1 ? an q （ q ? 1） 1? q
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（4）另一种表示形式 总结：

Sn ?

q ? 1 时， Sn ? na1 (q ? 1)

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? a1 (1 ? q n ) (q ? 1) ? Sn ? ? 1 ? q ?na (q ? 1) ? 1

或

? a1 ? an q (q ? 1) ? Sn ? ? 1 ? q ?na (q ? 1) ? 1

注意：每一种形式都要区别公比 q 四．例题讲解

? 1和 q ? 1 两种情况。

【题型一】 等比数列求和公式的简单应用 例 1．(1)根据下列条件,求相应的等比数列{an}的前 n 项和 Sn. 1 1 ①a1=3,q=2,n=6; ②a1=-27, q ? ? , a n ? 3 9

（2）求数列 1, x , x2 , x3 ,... 的前 n 项和 Sn.

【题型二】

等比数列基本量间关系的应用

例 2．已知等比数列

?a ?中， a
n

1

??

16 9， 781 ，求公比 q 与项数 n 。 an ? ? ， S n ? ? 9 16 144

【题型三】 3． 例 某商场今年销售计算机 5000 台， 如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加 10%，
那么从今起，大约几年可使总销售量达到 30000 台(结果保留到个位)？

例 4．求数列 1 ?

1 1 1 1 , 2 ? ,3 ? ,? , n ? n ,? 的前 n 项和． 2 4 8 2

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等比数列的前 n 项和公式（2）
教学目标： 综合运用等比数列的前 n 项和公式与通项公式解决有关等比数列前 n 项和的一些简单问题 教学过程： 一.课前练习 1．求等比数列 {an } 中， （1）已知； a1 ? ?4 ， q ?

1 ，求 S10 ； 2 （2）已知； a1 ? 1 ， ak ? 243 ， q ? 3 ，求 Sk ．

2．求等比数列

3 3 3 从第 7 项到第 15 项的和。 , , ,? 2 4 8

二.例题讲解 例 1.在等比数列

?a ?中，已知 S
n

10

? 5 ， S20 ? 15 ，求 S 30 。

变式练习：已知｛an｝为等比数列，且 Sn=a，S2n=b，(ab≠0)，求 S3n．

例 2.设等比数列

?a ?的前 n 项和 S
n

n

? 3n ? a ，求常数 a 的值。

例 3．设等比数列的首项为 a(a 又它的前 2 n 项和为 6560，求

? 0) ，公比为 q(q ? 0) ，前 n 项和为 80，其中最大的一项为 54，

a 和q 。

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变式练习：1.在等比数列 ?an ? 中，Sn 表示前 n 项和，若 a3

? 2S2 ? 1 ，a4 ? 2S3 ? 1 ，求公比 q 。

2．已知等比数列

?a ?中， a
n

1

? an ? 66 ， a2 an?1 ? 128， S ? 126，求公比 q 与项数 n 。
n

例 4、设数列 ?an ? 为 1,2x,3x 2 ,4x 3 ??nxn?1 ? ?x ? 0? 求此数列前 n 项的和。

变式练习. 求数列 1，1＋2，1＋2＋4，…， 1 ? 2 ? 4 ? ? ? 2

n?1

，…的前 n 项和。

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