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等比数列的前n项和公式学案


必修 5 学案

等比数列的前 n 项和公式(1)
教学目标 1.掌握等比数列的前 n 项和公式及公式证明思路. 2.会用等比数列的前 n 项和公式解决有关等比数列前 n 项和的一些简单问题. 教学重点 1.等比数列的前 n 项和公式;2.等比数列的前 n 项和公式推导. 教学难点 灵活应用公式解决有关问题. 教学过程 一.复习回顾 (1) 等比数列定义: (2) 等比数列通项公式: 二.探索与研究:采用印度国际象棋发明者的故事,你能计算出国际象棋盘中的麦粒数吗? 即求 s64 ? 1 ? 2 ? 4 ? 8?? ? 262 ? 263 用错项相消法推导结果,两边同乘以公比: ② ②-①: 这是一个庞大的数字 ①

以小麦千粒重为 40 g 计算,则麦粒总质量达 7000 亿吨——国王是拿不出来的。 三、一般公式推导:设 S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? ? an?1 ? an 乘以公比 q , qSn ? a2 ? a3 ? ?? ? an?1 ? an ? qan ①?②: ?1 ? q ?S n ? a1 ? qan , q ? 1 时: S n ? ① ②

a1 ? qan a1 ? aqn a1 1 ? q n ? ? 1? q 1? q 1? q

?

?

q ? 1 时: S n ? na1
公式与公式说明: (1) a1 , q, n, S n 和 a1 , an , q, S n 各已知三个可求第四个, (2)公式推导方法:错位相减法 特点:在等式两端同时乘以公比 q 后两式相减。

(3)应用求和公式时 q ? 1 ,必要时应讨论 q ? 1 的情况。

Sn ?

a1 (1 ? q n ) (q ? 1) 1? q

q ? 1 时, Sn ? na1 (q ? 1)
a1 ? an q ( q ? 1) 1? q
25

(4)另一种表示形式 总结:

Sn ?

q ? 1 时, Sn ? na1 (q ? 1)

必修 5 学案

? a1 (1 ? q n ) (q ? 1) ? Sn ? ? 1 ? q ?na (q ? 1) ? 1



? a1 ? an q (q ? 1) ? Sn ? ? 1 ? q ?na (q ? 1) ? 1

注意:每一种形式都要区别公比 q 四.例题讲解

? 1和 q ? 1 两种情况。

【题型一】 等比数列求和公式的简单应用 例 1.(1)根据下列条件,求相应的等比数列{an}的前 n 项和 Sn. 1 1 ①a1=3,q=2,n=6; ②a1=-27, q ? ? , a n ? 3 9

(2)求数列 1, x , x2 , x3 ,... 的前 n 项和 Sn.

【题型二】

等比数列基本量间关系的应用

例 2.已知等比数列

?a ?中, a
n

1

??

16 9, 781 ,求公比 q 与项数 n 。 an ? ? , S n ? ? 9 16 144

【题型三】 3. 例 某商场今年销售计算机 5000 台, 如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加 10%,
那么从今起,大约几年可使总销售量达到 30000 台(结果保留到个位)?

例 4.求数列 1 ?

1 1 1 1 , 2 ? ,3 ? ,? , n ? n ,? 的前 n 项和. 2 4 8 2

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必修 5 学案

等比数列的前 n 项和公式(2)
教学目标: 综合运用等比数列的前 n 项和公式与通项公式解决有关等比数列前 n 项和的一些简单问题 教学过程: 一.课前练习 1.求等比数列 {an } 中, (1)已知; a1 ? ?4 , q ?

1 ,求 S10 ; 2 (2)已知; a1 ? 1 , ak ? 243 , q ? 3 ,求 Sk .

2.求等比数列

3 3 3 从第 7 项到第 15 项的和。 , , ,? 2 4 8

二.例题讲解 例 1.在等比数列

?a ?中,已知 S
n

10

? 5 , S20 ? 15 ,求 S 30 。

变式练习:已知{an}为等比数列,且 Sn=a,S2n=b,(ab≠0),求 S3n.

例 2.设等比数列

?a ?的前 n 项和 S
n

n

? 3n ? a ,求常数 a 的值。

例 3.设等比数列的首项为 a(a 又它的前 2 n 项和为 6560,求

? 0) ,公比为 q(q ? 0) ,前 n 项和为 80,其中最大的一项为 54,

a 和q 。

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必修 5 学案

变式练习:1.在等比数列 ?an ? 中,Sn 表示前 n 项和,若 a3

? 2S2 ? 1 ,a4 ? 2S3 ? 1 ,求公比 q 。

2.已知等比数列

?a ?中, a
n

1

? an ? 66 , a2 an?1 ? 128, S ? 126,求公比 q 与项数 n 。
n

例 4、设数列 ?an ? 为 1,2x,3x 2 ,4x 3 ??nxn?1 ? ?x ? 0? 求此数列前 n 项的和。

变式练习. 求数列 1,1+2,1+2+4,…, 1 ? 2 ? 4 ? ? ? 2

n?1

,…的前 n 项和。

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