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2013年广东高考文科数学(精美word版)逐题详解


2013 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(文科)逐题详解
【详解提供】广东佛山市南海区南海中学 钱耀周

1 参考公式:椎体的体积公式 V ? Sh ,其中 S 表示椎体的底面积, h 表示锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
2 2 1.设集合 S ? x | x ? 2 x ? 0, x ? R , T ? x | x ? 2 x ? 0, x ? R ,则 S ? T ? (

?

?

?

?

) D. ??2,0, 2?

A.

?0?

B. ?0, 2?

C. ??2,0?

【解析】A;易得 M ? ??2,0? , N ? ?0, 2? ,所以 S ? T ? ?0? ,故选 A. 2.函数 f ? x ? ? A.

lg ? x ? 1? 的定义域是( x ?1
B. ? ?1, ?? ?

) C. ? ?1,1? ? ?1, ??? D. ? ?1,1? ? ?1, ???

? ?1, ???

【解析】C;依题意 ?

?x ?1 ? 0 ,解得 x ? ?1 且 x ? 1 ,故选 C. ? x ?1 ? 0
) D. 5 B. 3 C. 4

3.若 i ? x ? yi ? ? 3 ? 4i , x, y ? R ,则 x ? yi 的模是( A. 2

开始 输入n
i ? 1, s ? 1

【解析】D;依题意 ? y ? xi ? 3 ? 4i ,所以 x ? 4, y ? ?3 , 所以 x ? yi ? 4 ? 3i 的模为 5 ,故选 D.

? 5? ? 1 ? ? ? ? ,那么 cos? ? ( 4.已知 sin ? ) ? 2 ? 5 2 1 1 A. ? B. ? C. 5 5 5

i?n




D.

2 5

s ? s ? ? i ?1?

输出 s 结束

1 ? 5? ? ? ? ? ? cos ? ? ,故选 C. 【解析】C;由诱导公式可得 sin ? 5 ? 2 ? 5.执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 3 ,则输出的 s 的值是 ( A. 1 B. 2 C. 4 D. 7 【解析】C;第一次循环后: s ? 1, i ? 2 ;第二次循环后: s ? 2, i ? 3 ;
第三次循环后: s ? 4, i ? 4 ;循环终止,故输出 4 ,选 C. 6.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是 ( A. )

i ? i ?1
第 5 题图

)

1 6

B.

1 3

C.

2 3

D. 1

正视图

侧视图

【解析】B;由三视图可知该三棱锥的底面积为 所以 V ?

1 ,高为 2 , 2
俯视图 第 6 题图

1 1 1 ? ? 2 ? ,故选 B. 3 2 3 7.垂直于直线 y ? x ? 1 且与圆 x 2 ? y 2 ? 1相切于第一象限的直线方程是(
A. x? y? 2 ?0 B. x ? y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0

) D. x ? y ? 2 ? 0

第 1 页 共 4 页

【解析】A;数形结合!画出直线和圆,不难得到切线方程为 y ? ? x ? 2 ,故选 A. 8.设 l 为直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( A . 若 l // ? , l // ? ,则 ? // ? C.若 l ? ? , l // ? ,则 ? // ? 【解析】B;ACD 是典型错误命题,选 B. 9.已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F ?1,0 ? ,离心率等于 A. ) B.若 l ? ? , l ? ? ,则 ? // ? D.若 ? ? ? , l // ? ,则 l ? ?

1 ,在椭圆 C 的方程是 ( 2

)

x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 ? ?1 C. D. ? ?1 ? ?1 4 4 2 4 3 3 1 【解析】D;依题意 c ? 1 , e ? ,所以 a ? 2 ,从而 a 2 ? 4 , b2 ? a 2 ? c 2 ? 3 ,故选 D. 2 ? ? ? ? 10.设 a 是已知的平面向量且 a ? 0 ,关于向量 a 的分解,有如下四个命题: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ① 给定向量 b ,总存在向量 c ,使 a ? b ? c ; 给定向量 b 和 c ,总存在实数 ? 和 ? ,使 a ? ?b ? ? c ; ② ? ? ? ? ? ③ 给定单位向量 b 和正数 ? ,总存在单位向量 c 和实数 ? ,使 a ? ?b ? ? c ; ? ? ? ? ? ④ 给定正数 ? 和 ? ,总存在单位向量 b 和单位向量 c ,使 a ? ?b ? ? c . ? ? ? 上述命题中的向量 b , c 和 a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 b
x2 y 2 ? ?1 3 4
B. 【解析】B;考查平面向量基本定理,成立的有①②,故选 B.说明:对于④,比

? ? ? ? ? ? 如给定 a 和 ? ? ? ? 1 ,就不一定存在单位向量 b 和单位向量 c ,使 a ? b ? c . ? ? ? 对于③,给定单位向量 b 和正数 ? ,可知 ? b 的方向确定, ? c 的模确定,如图 ? O ? c ? AB 时,等式不能成立.

B

a

A

二、填空题:本题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 (一)必做题(11~13 题)
11.设数列 ?an ? 是首项为 1 ,公比为 ?2 的等比数列,则 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ________. 【解析】 15 ;依题意 a2 ? ?2, a3 ? 4, a4 ? ?8 ,所以 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 1 ? 2 ? 4 ? 8 ? 15 . 12.若曲线 y ? ax2 ? ln x 在点 ?1, a ? 处的切线平行于 x 轴,则 a ? ______. 【解析】 y 3 B
?3

1 1 1 ;求导得 y ? ? 2ax ? ,依题意 2a ? 1 ? 0 ,所以 a ? . 2 x 2

A C

?x ? y ? 3 ? 0 ? 13. 已知变量 x, y 满足约束条件 ? ?1 ? x ? 1 ,则 z ? x ? y 的最大值是____. ?y ?1 ?

1 ?1 O

1

x

【解析】 5 ;画出可行域如图所示,其中 z ? x ? y 取得最大值时的点为 A ?1, 4 ? ,且最大值为 5 .

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分) 14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? ,以极点为坐标原点,极轴为 x
轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线 C 的参数方程为_____________. 【解析】 ?

? x ? 1 ? cos ? 2 2 ( ? 为参数); 曲线 C 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 2 x ,即 ? x ? 1? ? y ? 1 ,圆心为 ?1,0 ? , ? y ? sin ?
第 2 页 共 4 页

半径 r ? 1 ,所以曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? cos ? ( ? 为参数). ? y ? sin ?

B

C

15. (几何证明选讲选做题)如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 3 , BC ? 3 ,

BE ? AC ,垂足为 E ,则 ED ? _________.

21 【解析】 ;依题意 AC ? 2 3 ,在 Rt ?ABC 中,由射影定理可得, 2
AB2 ? AE ? AC ,所以 AE ?

E A
第 15 题图

D

3 (也可以由 ?ABC ? 30? 得到),在 ?ADE 中,由余弦定理可得 2

3 3 3 21 21 . ED2 ? AD2 ? AE 2 ? 2 AD ? AE cos30? ? 9 ? ? 2 ? 3 ? ? ? ,所以 ED ? 4 2 2 4 2 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (Ⅰ) 求 f ?

? ? ? 2 cos ? x ? ? , x ? R . ? 12 ?
(Ⅱ) 若 cos ? ?

?? ? ? 的值; ?3?

3 ? 3? ? ,? ? ? , 2? ? ,求 5 ? 2 ?

?? ? f ?? ? ? . 6? ?

【解析】(Ⅰ) f ?

? ?? ? ?? ? ? ? ? 2 cos ? ? ? ? 2 cos ? 1 ; 4 ?3? ? 3 12 ?
3 4 ? 3? ? ,? ? ? , 2? ? ,所以 sin ? ? ? , 5 5 ? 2 ?

(Ⅱ) 因为 cos ? ?

?? ? ? ? ?? 3 ? 4? 1 ? ? ? f ? ? ? ? ? 2 cos ? ? ? ? ? ? 2 cos ? ? ? ? ? cos ? ? sin ? ? ? ? ? ? ? ? . 6? 6 12 ? 4? 5 ? 5? 5 ? ? ?
17. (本小题满分 13 分) 从一批苹果中,随机抽取 50 个,其质量(单位:克)的频数分布表如下: 分组(重量) 频数(个)

?80,85?
5

?85,90?
10

?90,95?
20

?95,100?
15

(Ⅰ) 根据频率分布表计算苹果的重量在 ?90,95? 的频率; (Ⅱ) 用分层抽样的方法从重量在 ?80,85? 和 ?95,100? 的苹果中共抽取 4 个,其中重量在 ?80,85? 的有 几个? (Ⅲ) 在(Ⅱ)中抽出的 4 个苹果中,任取 2 个,求重量在 ?80,85? 和 ?95,100? 中各有1 个的概率. 【解析】(Ⅰ)依题意,苹果的重量在 ?90,95? 的频率为

20 2 ? ; 50 5 4 1 1 ? ,所以重量在 ?80,85? 的有 5 ? ? 1 个. (Ⅱ) 抽样比为 5 ? 15 5 5
(Ⅲ) 设抽取的 4 个苹果中,重量在 ?80,85? 的为 a ,重量在 ?95,100? 中的为 b, c, d .从中任取 2 个,包

含的基本事件有: ?a, b? , ?a, c? , ?a, d? , ?b, c? , ?b, d? , ?c, d? ,共 6 个;满足重量在 ?80,85? 和 ?95,100? 中各 有 1 个的基本事件为 ?a, b? , ?a, c? , ?a, d? ,共 3 个.所以所求概率为 18. (本小题满分 13 分)
第 3 页 共 4 页

3 1 ? . 6 2

如图 1,在边长为 1 的等边三角形 ABC 中, D, E 分别是 AB, AC 边上的点, AD ? AE , F 是 BC 的中 点, AF 与 DE 交于点 G ,将 ?ABF 沿 AF 折起,得到如图 2 所示的三棱锥 A ? BCF ,其中 BC ? A A

2 . 2

D

G

G E D F

E

C 图2

B

F 图1

C B

(Ⅰ) 证明: DE // 平面 BCF ; (Ⅱ) 证明: CF ? 平面 ABF ; (Ⅲ) 当 AD ?

2 时,求三棱锥 F ? DEG 的体积 V . 3

【解析】(Ⅰ)方法一:(面面平行)在图 1 中,因为 AD ? AE , AB ? AC ,所以

AD AE ? ,所以 DE // BC ; AB AC 由翻折的不变性可知,在图 2 中, DG // BF ,因为 DG ? 平面 BCF , BF ? 平面 BCF 所以 DG // 平面 BCF ,同理可证 GE // 平面 BCF ,又 DG ? GE ? G ,所以平面 DGE // 平面 BCF 又 DE ? 平面 DGE ,所以 DE // 平面 BCF . AD AE ? 方法二:在图 2 中,由翻折不变性可知 AD ? AE , AB ? AC ,所以 ,所以 DE // BC , AB AC 因为 DE ? 平面 BCF , BC ? 平面 BCF ,所以 DE // 平面 BCF . 1 2 2 2 2 , BC ? , BF ? CF ? BC ,所以 CF ? BF 2 2 又 CF ? AF , BF ? AF ? F ,所以 CF ? 平面 ABF . (Ⅲ) 因为 GE // CF ,由(Ⅱ)知 CF ? 平面 ABF ,所以 GE ? 平面 ABF ,所以 GE ? 平面 DGF ,
(Ⅱ) 在图 2 中,因为 BF ? CF ? 依题意可得 DG ? GE ? 所以 S?DGF ?

1 1 3 3 3 AD ? , GF ? AF ? AG ? , ? ? 2 3 2 3 6

1 1 3 3 1 3 1 3 ? ? ? ,所以三棱锥 F ? DEG 的体积 V ? ? . ? ? 2 3 6 36 3 36 3 324

20. (本小题满分 14 分)
2 设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 4Sn ? an?1 ? 4n ? 1 , n ? N* ,且 a2 、a 5 、a14 构成等比

数列. (Ⅰ)证明: a2 ? 4a1 ? 5 ; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ)证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 1 ? ?? ? ? . a1a2 a2 a3 an an ?1 2

2 2 【解析】 (Ⅰ)在 4Sn ? an?1 ? 4n ? 1 中令 n ? 1 ,可得 4S1 ? a2 ? 4 ? 1 ,而 a2 ? 0 ,所以 a2 ? 4a1 ? 5 .
2 2 (Ⅱ)由 4Sn ? an?1 ? 4n ? 1 可得 4Sn?1 ? an ? 4 ? n ? 1? ? 1 ( n ? 2 ).

第 4 页 共 4 页

2 2 2 两式相减,可得 4an ? an?1 ? an ? 4 ,即 an?1 ? ? an ? 2? ,因为 an ? 0 ,所以 an?1 ? an ? 2 ,

2

于是数列 ?an ? 把第 1 项去掉后,是公差为 2 的等差数列.
2 由 a2 、 a 5 、 a14 成等比数列可得 a5 ? a2 a14 ,即 ? a2 ? 6? ? a2 ? a2 ? 24? ,解得 a2 ? 3 ,

2

由 a2 ? 4a1 ? 5 可得 a1 ? 1 ,于是 a2 ? a1 ? 2 , 所以数列 ?an ? 是首项为 1,公差为 2 的等差数列,所以 an ? 1 ? 2 ? n ? 1? ? 2n ? 1 . (Ⅲ)因为 所以

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ?, an an ?1 ? 2n ? 1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

1 1 1 1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 1 1 ? 1 ? ??? ? ??1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . ?? ? ? a1a2 a2 a3 an an ?1 2 ?? 3 ? ? 3 5 ? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ? 2 2 ? 2n ? 1? 2

20. (本小题满分 14 分) 已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F ? 0, c ?? c ? 0? 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为 线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA, PB ,其中 A, B 为切点. (Ⅰ) 求抛物线 C 的方程; (Ⅱ) 当点 P ? x0 , y0 ? 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (Ⅲ) 当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值. 【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线 C 的方程为 x 2 ? 4cy ,由 所以抛物线 C 的方程为 x ? 4 y .
2

3 2 .设 P 为直 2

0?c?2 2

?

3 2 结合 c ? 0 ,解得 c ? 1 . 2

(Ⅱ) 抛物线 C 的方程为 x2 ? 4 y ,即 y ? 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? (其中 y1 ? 所以切线 PA 的方程为 y ? y1 ?

1 2 1 x ,求导得 y? ? x 4 2

1 1 x12 x2 , y2 ? 2 ),则切线 PA, PB 的斜率分别为 x1 , x2 , 2 2 4 4

x1 x x2 ? x ? x1 ? ,即 y ? 1 x ? 1 ? y1 ,即 x1x ? 2 y ? 2 y1 ? 0 2 2 2 同理可得切线 PB 的方程为 x2 x ? 2 y ? 2 y2 ? 0
因为切线 PA, PB 均过点 P ? x0 , y0 ? ,所以 x1x0 ? 2 y0 ? 2 y1 ? 0 , x2 x0 ? 2 y0 ? 2 y2 ? 0 所以 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? 为方程 x0 x ? 2 y0 ? 2 y ? 0 的两组解. 所以直线 AB 的方程为 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 . (Ⅲ) 由抛物线定义可知 AF ? y1 ? 1, BF ? y2 ? 1 , 所以 AF ? BF ? ? y1 ? 1?? y2 ? 1? ? y1 y2 ? ? y1 ? y2 ? ? 1 联立方程 ?

? x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 ?x ? 4 y
2

2 2 2 ,消去 x 整理得 y ? 2 y0 ? x0 y ? y0 ? 0

?

?

由一元二次方程根与系数的关系可得 y1 ? y2 ? x02 ? 2 y0 , y1 y2 ? y02 所以 AF ? BF ? y1 y2 ? ? y1 ? y2 ? ? 1 ? y0 ? x0 ? 2 y0 ? 1
2 2

又点 P ? x0 , y0 ? 在直线 l 上,所以 x0 ? y0 ? 2 ,
第 5 页 共 4 页

所以 y0 2 ? x0 2 ? 2 y0 ? 1 ? 2 y0 2 ? 2 y0 ? 5 ? 2 ? y0 ? 所以当 y0 ? ?

? ?

1? 9 ? ? 2? 2

2

1 9 时, AF ? BF 取得最小值,且最小值为 . 2 2

21. (本小题满分 14 分) 设函数 f ? x ? ? x3 ? kx2 ? x ? k ?R ? . (Ⅰ) 当 k ? 1 时,求函数 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ) 当 k ? 0 时,求函数 f ? x ? 在 ? k , ?k ? 上的最小值 m 和最大值 M . 【解析】(Ⅰ) 当 k ? 1 时, f ? x ? ? x3 ? x2 ? x , f ? ? x ? ? 3x2 ? 2x ?1 因为 ? ? ? ?2 ? ? 4 ? 3 ? 1 ? 0 ,所以 f ? ? x ? ? 0 在 R 上恒成立,所以 f ? x ? 在 R 上单调递增.
2

所以 f ? x ? 的单调递增区间为 ? ??, ??? ,无递减区间.
2 (Ⅱ) f ? ? x ? ? 3x ? 2kx ? 1,判别式 ? ? ? ?2k ? ? 4 ? 3 ?1 ? 4 k ? 3
2 2

?

?
y

当 ? ? 0 ,即 ? 3 ? k ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 在 R 上恒成立,所以 f ? x ? 在 R 上单调递增. 所以 f ? x ? 在 ? k , ?k ? 上的最小值 m ? f ? k ? ? k ,最大值 M ? f ? ?k ? ? ?2k 3 ? k ; 当 ? ? 0 ,即 k ? ? 3 时,令 f ? ? x ? ? 0 得 x1 ?

k ? k2 ?3 k ? k2 ?3 , x2 ? . 3 3 k k 2 因为 f ? ? x ? ? 3x ? 2kx ? 1的对称轴为 x ? ,且恒过 ? 0,1? , 3 画出大致图像如图所示,可知 k ? x1 ? x2 ? 0 ,

1 x1 x2 O x

当 x 变化时, f ? ? x ? , f ? x ? 的变化如下表:

x
f ? ? x? f ? x?

k

? k, x1 ?
?
?

x1
0
极大值

? x1 , x2 ?
?
?

x2
0
极小值

? x2 , ?k ?
?
?

?k

k

?2k 3 ? k

由表可知, m ? min ? f ? k ? , f ? x2 ?? , M ? max? f ? ?k ? , f ? x1 ?? .
3 2 2 因为 f ? x2 ? ? f ? k ? ? x2 ? kx2 ? x2 ? k ? ? x2 ? k ? x2 ? 1 ? 0 ,所以 m ? f ? k ? ? k .
3 因为 f ? x1 ? ? f ? ?k ? ? x1 ? kx12 ? x1 ? ?2k 3 ? k ? ? x1 ? k ? ?? x1 ? k ? ? k 2 ? 1? ? 0 , ? ? 2

?

?

?

? ?

?

所以 M ? f ? ?k ? ? ?2k 3 ? k . 综上所述,当 k ? 0 时,函数 f ? x ? 在 ? k , ?k ? 上的最小值 m ? f ? k ? ? k ,最大值 M ? f ? ?k ? ? ?2k 3 ? k .

有错难免,不吝赐教
第 6 页 共 4 页


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