3986.net
小网站 大容量 大智慧
赞助商链接
当前位置:首页 >> 理学 >>

1.1-1 正弦定理


成才之路· 数学
人教A版 ·必修5

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

第一章
解三角形

第一章 解三角形

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

本章概述

第一章 解三角形

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

●课程目标 1.知识与技能目标 (1)掌握正弦定理、余弦定理. (2)能初步运用正弦定理、余弦定理解斜三角形. (3)能利用计算器解决有关解斜三角形的计算问题. (4)能够运用正弦定理、余弦定理等知识、方法解决一些与 测量以及几何计算有关的实际问题.

第一章 解三角形

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

2.过程与方法目标 (1)使学生在已有知识的基础上, 通过对任意三角形边角关 系的探究,发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关 系. (2)在探究学习和应用实习的过程中,认识到运用正弦定 理、余弦定理可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问 题,提高运用所学知识解决实际问题的能力.

第一章 解三角形

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

3.情感、态度与价值观目标 (1)通过对三角形边角关系的探究学习, 体验数学探究活动 的过程,培养探索精神和创新意识. (2)在运用正弦定理、 余弦定理解决一些简单的实际问题的 过程中,逐步养成实事求是、扎实严谨的科学态度,学会用数 学的思维方式去解决问题、认识世界.

第一章 解三角形

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

(3)通过实习作业,体会“解三角形在测量中的应用”,提 高应用数学知识解决实际问题的能力和实际操作的能力. (4)通过学习和运用,进一步体会数学的科学价值、应用价 值,进而领会数学的人文价值、美学价值,不断提高自身的文 化素养.

第一章 解三角形

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

●学法探究 一、加强新旧知识的联系 三角形是最基本的几何图形.三角形中的数量关系,有着 极其广泛的应用.在初中,我们已经能够借助于锐角三角函数 解决有关直角三角形的测量问题.在实际工作中,我们还会遇 到许多其它的测量问题, 这些仅用锐角三角函数就不够了. 如: 1.怎样在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离? 2.怎样测量底部不可到达的建筑物的高度?

第一章 解三角形

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

3.怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高 度? 4.怎样测出海上航行的轮船的航速和航向? 5.怎样确定航向,才能在航速一定的情况下,尽快与一 运动的物体(如轮船)相遇?等等.

第一章 解三角形

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

探究解决这些新问题时, 要多与已学过的相关知识联系(如 解直角三角形、三角函数、平面向量等),通过对任意三角形边 角关系的研究,发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量 关系,并将它们融入已有的知识体系.

第一章 解三角形

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

二、理清主要内容,理顺知识体系 本章主要内容是正弦定理、余弦定理及其应用和三角形面 积公式.重点是利用内角和、边角之间的关系、三角函数式的 变形公式去判断三角形的形状、求解三角形以及利用它们解决 一些实际问题. 学习本章内容,首先要弄清正弦定理、余弦定理的内容、 原理、用途.其次要清楚解三角形主要在什么条件下运用什么 原理解决些什么问题,有哪些实际用途.

第一章 解三角形

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

1.正弦定理、余弦定理 这两个定理揭示了三角形的边与角之间的数量关系,是研 究三角形有关问题的主要的常用工具. 从两个定理的推导过程中要掌握从特殊到一般和数形结 合的思维方法.掌握运用两个定理的关键是从其结构特征上充 分理解,注意针对不同类型问题选取恰当形式予以解决.

第一章 解三角形

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

2.解三角形 (1)解三角形就是已知三角形中的三个独立元素(至少一边) 求出其它元素的过程.三角形中的基本元素(边和角)与非基本 元素(如中线、高、角平分线、外接圆半径、内切圆半径 )之间 的联系要通过有关的概念与公式(周长、面积、射影定理、勾股 定理、内角和定理、全等关系、正余弦定理等)的掌握来实现

第一章 解三角形

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

(2)解斜三角形分以下四种类型. ①已知三角形的两角和任一边, ? ?主要用 ? 求三角形的其它边与角; ?正弦定 ②已知三角形的两边和其中一边的对? 理解决 ? 角,求三角形的其它边与角. ? ③已知三边,求三个角; ?主要用 ? ④已知两边和它们的夹角,求第三边和?余弦定 ?理解决 其它两个角. ?

第一章 解三角形

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

(3)理解已知两边和其中一边的对角解斜三角形时,有一 解、二解或无解三种情况,并会判断哪些条件使解三角形有一 解、二解或无解. (4)关于三角形的已学过的一些结论:如边角不等关系:两 边之和大于第三边;两边之差小于第三边;大边对大角等;全 等关系;三角形的两积公式等等.在解三角形过程中可能要用 到.

第一章 解三角形

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

(5)要注意归纳总结学习过程中的一些共性和结论. 如常见 的三角形边角关系恒等式.三角形面积的公式等. (6)注意三角公式的灵活运用, 主要是利用两角和与差的三 角函数.二倍角的三角函数,诱导公式等进行三角函数变换. (7)由正弦定理可推得非常有用的一个结论,在△ABC 中, A>B?sinA>sinB,要熟记.

第一章 解三角形

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

三、注重数学思想方法的运用 解三角形作为几何度量问题,应注意数形结合方法的运 用,注意将实际问题数学化,抽象出其数学模型,转化为数学 问题.注意边角互化中“化异为同”策略运用——化边为角、 化角为边,将已知条件和待求问题归结到一个三角形中等.

第一章 解三角形

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

●教法点津 1.讲本章前注意引导学生阅读章始引言,并结合工农业 生产、生活及科学中的一些实例,引导学生通过天文测量、航 海测量、地理测量等实际应用问题的思考,产生探索三角形边 角关系的愿望、激发学生学习本章的兴趣,也可以就地取材, 提出一些实际问题,如不爬上树如何在地面上测得树高等.

第一章 解三角形

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

2.本章教学要集中突破:(一)如何应用正、余弦定理解决 三角形的边角关系,怎样选择应用两个定理.(二)如何分析科 研、生产、生活中的一些实际具体测量情景,将问题转化为解 三角形的的问题. 3.注意与初中学习的解直角三角形知识的衔接.

第一章 解三角形

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

4.不要人为构造一些繁琐的恒等变形训练. 5.已知两边和其中一边对角解三角形,是一个学生理解 和掌握的难点、不要匆忙将结论告诉学生、应引导学生通过独 立思考、合作探究,在实践基础上分析、总结、归纳出结论, 有利于学生的掌握.

第一章 解三角形

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

第一章
1.1 正弦定理和余弦定理

第一章 解三角形

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

第一章
第1课时 正弦定理

第一章 解三角形

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

课前自主预习

方法警示探究 课堂巩固训练

思路方法技巧 课后强化作业 名师辩误做答

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

课程目标解读

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

通过对任意三角形边长与角度关系的探索,发现边长与角 度之间的数量关系,掌握正弦定理及其推导过程,能够用正弦 定理解三角形,判断三角形的形状.

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

课前自主预习

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

1.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦 c b a sinC sinB =________. 的比相等,即: =________ sinA 2.解三角形:已知三角形的几个元素,求其它元素的过
解三角形 . 程叫做__________

3.利用正弦定理可以解决有关三角形的下列两类问题. (1)已知两角和任一边,求其它两边和一角. (2)已知两边和其中一边的对角,求其它的边和角.

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

4.正弦定理的推证: (1)教材从直角三角形入手,利用直角三角形的边角关系, a b c 推导出 = = , 然后又将锐角三角形通过作一边上的 sinA sinB sinC a b c 高转化为直角三角形,同样推导出sinA=sinB=sinC . 现就△ABC 为钝角三角形情形加以说明.

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

如图,当△ABC 为钝角三角形时,不妨设角 A 为钝角.作 AB 边上的高 CD,则点 D 在 BA 的延长线上,在 Rt△ADC 中,
bsinA ;在 Rt△BDC 中,CD=_______. asinB 所以 bsinA= CD=________

a b asinB,得到sinA=sinB.同理可得,

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

b c = . sinB sinC

a b c ∴ = = . sinA sinB sinC

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

(2)还有没有其它方法能够证明正弦定理?

①如图,以 A 为原点,以射线 AB 的方向为 x 轴正方向建 立直角坐标系,C 点在 y 轴上的射影为 C′.

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

→ → → → 因为向量AC与BC在 y 轴上的射影均为|OC′|,即|OC′| → → → =|AC|cos(A-90° )=bsinA, |OC′|= |BC|sinB=asinB,因此, a b asinB=bsinA,即sinA=sinB . a c a b c 同理,sinA=sinC .所以,sinA=sinB=sinC . 若 A 为锐角或直角,也可以得到同样的结论.

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

②用向量的数量积推证如下: 如图(1)△ABC 为锐角三角形, 过点 A 作单位向量 j 垂直于 → → → AC,则 j 与AB的夹角为 90° -A,j 与CB的夹角为 90° -C .

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

由图(1)看到, → → → AC+CB=AB. 为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量 等式的两边同取与向量 j 的数量积运算,得到 → → → j· (AC+CB)=j· AB. → → → ∴j· AC+j· CB=j· AB.

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

→ → ∴|j||AC|cos90° +|j||CB|cos(90° -C) → =|j||AB|cos(90° -A). ∴asinC=csinA. a c ∴sinA=sinC.

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

→ 同理,过点 C 作与CB垂直的单位向量 j,可得 c b = . sinC sinB a b c ∴sinA=sinB=sinC. 当△ABC 为钝角三角形时, 不妨设∠A>90° (图(2)), 过点 A → → → 作与AC垂直的单位向量 j, 则 j 与AB的夹角为 A-90° , j 与CB的 夹角为 90° -C.同样可证得

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

a b c = = . sinA sinB sinC 这就是说,对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形来 说,上面的关系式均成立.

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

③下面用三角形面积公式证明:如图三角形 ABC 中,

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

1 1 1 AD 是边 BC 上的高,则 S△ABC= BC· AD= a· bsinC = 2 2 2 b c a· csinB ∴bsinC=csinB,即sinB=sinC.作 AB 边上高,同样可 a b 证sinA=sinB.

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

a b c 5.设△ABC 外接圆半径为 R,则 = = =2R, sinA sinB sinC 你会证明吗? 作△ABC 的外接圆,设直径为 BD,则∠A=∠BDC,∠ BCD=90° .

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

a 在 Rt△BDC 中,a=2Rsin∠BDC=2RsinA,∴ =2R. sinA 特别地,当△ABC 为 Rt△时,上述结论显然成立.

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

重点难点展示

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

重点:正弦定理的导出与应用. 难点:已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形的讨 论.

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

学习要点点拨

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

1.正弦定理及其变形要熟知: 正弦定理揭示了三角形的边与其对角的正弦的比相等的 事实,并且这个比值等于三角形外接圆的直径. a b c 即sinA=sinB=sinC=2R(R 为△ABC 外接圆半径). 变形一 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(边化角). a b c 变形二 sinA= ,sinB= ,sinC= (角化边). 2R 2R 2R 变形三 asinB=bsinA;bsinC=csinB,asinC=csinA. A:b:c=sinA:sinB:sinC.
第一章 1.1 第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

2.正弦定理的应用: (1)如果已知三角形的任意两个角与一边, 由三角形内角和 定理可以计算出三角形的另一角,并由正弦定理计算出三角形 的另两边. (2)如果已知三角形的任意两边与其中一边对角, 应用正弦 定理,可以计算出另一边的对角的正弦值,进而确定这个角和 三角形其它的边和角.

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

(3)在证三角形全等时, 不能用“两边及一边的对角对应相 等”来推证.是因为这种情形之下两个三角形可能全等,也可 能不全等.故在用正弦定理解决“已知两边和一边的对角解三 角形”这个问题时,有一解、两解或无解的情况,应注意判断. 下面以已知 a、b 和 A 时解三角形为例加以说明,具体见 下表:

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

A<90° a≥b a<b a>bsinA a=bsinA a<bsinA a>b

A≥90° a≤b

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

也可以如下判定:由“三角形中大边对大角”可知,若 a≥b,则 A≥B,从而 B 为锐角,有一解;若 a<b,则 A<B, bsinA 此时, 由正弦定理得 sinB= 的值. ①sinB>1, 无解; ②sinB a =1,一解;③sinB<1,两解.

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

3.正弦定理的推广. 1 由正弦定理的推导过程可以得到如下面积公式: S △ = 2 1 1 absinC= acsinB= bcsinA.这些面积公式在求解与三角形面积 2 2 有关问题中的作用是非常突出的,要熟练掌握.

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

4.在解三角形时,常用到以下结论: (1)在△ABC 中,A>B?a>b?sinA>sinB;(即大边对大角). (2)a+b>c,b+c>a,a+c>b;(即两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边) A+B π C (3)内角和定理: A+B+C=π; A+B=π-C, 2 =2- 2 . sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC; A+B A+B C C sin 2 =cos 2 ,cos 2 =sin 2 .

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

π π (4) 在锐角△ ABC 中, A + B> ? A> - B ? sinA>cosB ? 2 2 cosA<sinB. 5.判断三角形形状特征,要深入研究边、角之间关系.从 有无等边,有无等角,有无直角或钝角入手,结合条件进行代 换、转化、化简,暴露其关系.

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

思路方法技巧

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

命题方向

已知两角和一边解三角形

[例 1] A.4 2 [分析]

在△ABC 中, a=8, B=60° , C=75° , 则 b=( B.4 3 C.4 6 22 D. 3

)

已知两角,由三角形内角和定理第三角可求,

已知一边可由正弦定理求其它两边.

[答案] C

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

[解析]

在△ABC 中,A=180° -(B+C)=45° ,由正弦定

a b asinB 8· sin60° 理 = 得,b= = =4 6.∴选 C. sinA sinB sinA sin45°

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

在△ABC 中, AB= 3, A=45° , C=75° , 则 BC 等于( A.3- 3 B. 2 C.2 D.3+ 3

)

[答案] A
AB BC [解析] 由sinC=sinA得,BC=3- 3.

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

命题方向 形

已知三角形的两边和其中一边的对角解三角

[例 2]

已知在△ABC 中,a= 3,b= 2,B=45° ,解

这个三角形. [分析] 在△ABC 中,已知两边和其中一边的对角,可

运用正弦定理求解,但要注意解的个数的判定.

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

[解析]

3 2 由正弦定理及已知条件有sinA=sin45° ,

3 6 得 sinA= 2 ,asinB= 3sin45° = 2 < 2. ∴∠A 有两解,∴A=60° 或 120° . 当 A=60° 时,C=180° -45° -60° =75° , bsinC 2sin75° 6+ 2 c= sinB = sin45° = 2 . 当 A=120° 时,C=180° -45° -120° =15° , bsinC 2sin15° 6- 2 c= sinB = sin45° = 2 .
第一章 1.1 第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

6+ 2 综上可知:A=60° ,C=75° , c= 或 A=120° ,C 2 6- 2 =15° ,c= 2 .

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

[点评]

已知三角形两边及一边对角解三角形时利用正弦

定理求解,但要注意判定解的情况.在利用定理过程中,要注 bsinC asinC 意灵活使用三角公式及正弦定理的变形,如:c= = sinB sinA 等.

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

(1)在△ABC 中,B=30° ,b=4,c=8,则 a=________. (2)(2010· 广东理)已知 a, b, c 分别是△ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边. 若 a=1, b= 3, A+C=2B, 则 sinC=________.
[答案] (1)4 3 (2)1

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

[解析]

csinB 8sin30° (1)由正弦定理得 sinC= = =1. b 4

∴C=90° ,∴a= c2-b2=4 3. (2)在△ABC 中,∵A+C=2B,A+B+C=π, π π ∴B=3,∵a=1,b= 3,∴a<b,∴A<B,∴A<3.

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

3 1× 2 1 a b asinB π 由 = 得 sinA= = = ,∴A= , sinA sinB b 2 6 3 π π π ∴C=π- - = ,∴sinC=1. 3 6 2 [点评] (1)已知三角形两边和其中一边的对角,利用正弦

定理求得另一边对角的正弦值为 1 时,只有一解,因为三角形 中直角至多有一个. (2)已知 a、 b 和角 A 时, 如果 b<a, 则 B<A, 此时三角形只能有一解.

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

命题方向

三角形形状的判断

[例 3]

(2010~2011· 河南汤阴县高二期中)在△ABC 中,

a、b、c 分别是三内角 A、B、C 的对边,若 acosA=bcosB, 则△ABC 一定是( A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形或直角三角形 )

[答案] D
第一章 1.1 第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

[分析]

判断三角形形状通常从三角形内角的关系确定,

也可以从三角形三边关系确定.本题由条件式可考虑应用正弦 定理把边化为角,寻找三角形角与角之间的关系,然后予以判 定.

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

[解析]

a sinA 由正弦定理得 = . b sinB

a cosB sinA cosB 又 acosA=bcosB,即 = ,∴ = , b cosA sinB cosA 即 sinAcosA=sinBcosB,∴sin2A=sin2B. π ∴2A=2B 或 2A=π-2B.∴A=B 或 A+B=2. ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形,故选 D.

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

[点评]

(1)已知三角形中的边角关系式,判断三角形的形

状,可考虑使用正弦定理,把关系式中的边化为角,再进行三 角恒等变换求出三个角之间的关系式,然后给予判定.在正弦 定理的推广中,a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC 是化边为 角的主要工具. (2)后面学过余弦定理后,自己再用余弦定理解决本题.

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

在△ABC 中,sinA=sinB,则△ABC 是( A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.锐角三角形
[答案] B
a sinA [解析] 由正弦定理 = =1,∴a=b. b sinB

)

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

建模应用引路

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

命题方向

实际应用问题

[例 4] 如图是曲柄连杆机构的示意图,当曲柄 CB 绕 C 点旋转时,通过连杆 AB 的传递,活塞作往复运动,当曲柄 在 CB0 位置时,曲柄和连杆成一条直线,连杆的端点 A 在 A0 处,设连杆 AB 长为 340 mm,曲柄 CB 长为 85 mm,曲柄自 CB0 按顺时针方向旋转 80° ,求活塞移动的距离(即连杆的端 点 A 移动的距离 A0A).(精确到 1 mm,sin80° =0.9848, sin85° 45′=0.9973)
第一章 1.1 第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

[分析]

因为 AA0=A0C-AC, 又已知 A0C=AB+BC=340

+85=425 mm,所以只要求出 AC 的长,问题就解决了,在 △ABC 中, 已知两边和其中一边的对角, 可由正弦定理求 AC.

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

[解析]

在△ABC 中,由正弦定理得

BCsinC 85×sin80° sinA= AB = =0.2462. 340 因为 BC<AB,所以 A 为锐角,得 A=14° 15′, ∴B=180° -(A+C)=180° -(14° 15′+80° )=80° 45′, 由正弦定理,可得 AB· sinB 340×0.9973 AC= sinC = 0.9848 =344.3, 因此 AA0=A0C-AC=(AB+BC)-AC=(340+85)-344.3 =80.7≈81. 答:活塞移动的距离约为 81 mm.
第一章 1.1 第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

[点评]

解决实际应用问题时,应先画图分析,将实际问

题中的量归结为三角形的边、角,再解三角形求得结果.

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

海上有 A、B、C 三个小岛,已知 A、B 相距 10n mile,从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60° 的视角, 从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75° 的视角,则 B、C 的距离是________.

[答案]

5 6n mile

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

[解析]

在△ABC 中,∠C=180° -(60° +75° )=45° ,

10 BC 由正弦定理得,sin45° =sin60° , ∴BC=5 6.

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

探索延拓创新

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

命题方向

三角形的边角不等关系

[ 例 5]

在△ ABC 中,若 sinA )

B

C=k

k+

k,则 k 的取值范围是( A.(2,+∞) 1 C.(-2,0)
[答案] D

B.(-∞,0) 1 D.(2,+∞)

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

[解析] +

由正弦定理知 a b c=sinA

B

C=k

k

k,又因为三角形两边之和大于第三边, ?k+?k+1?>2k ? ∴??k+1?+2k>k ?k+2k>k+1 ? 1 ,所以 k>2,选 D.

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

已知三角形的两角分别是 45° 、60° ,它们夹边的长是 1, 则最小边长为________.

[答案]

3-1

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

[解析]

不妨假定△ABC 内角 A=45° , B=60° , 则 C=75° .

∵C>B>A,∴最小边长为 a. c· sinA 1×sin45° ∵ c = 1 , ∴ 由 正 弦 定 理 得 , a = sinC = sin75° = 2 2 sin45° = = 3 - 1. ∴最小 sin45° cos30° +cos45° sin30° 2 3 2 1 × + × 2 2 2 2 边长为 3-1.

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

命题方向
※[例 6]

综合应用
如图所示,在等边△ABC 中,AB=a,O 为中

1 1 心,过 O 的直线交 AB 边于 M,交 AC 于 N,那么OM2+ON2 有没有最大值和最小值?

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

[分析] 点 M、N 分别在直线 AB、AC 上,直线 MN 过△ ABC 的中心 O,故 MN 变动时,OM、ON 都在变动,利用∠ MOA 可将两者沟通起来(因为∠MOA 与∠NOA 互补),因此, 1 1 欲求OM2+ON2的最值,可设∠MOA=θ,把 OM2 及 ON2 用 θ 的三角函数表示出来,转化为求三角函数式的最值问题.这里 关键是角 θ 范围的讨论.

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

[解析]

3 AO= a, ∠MAO=∠NAO=30° , 设∠MOA=θ, 3

则 60° ≤θ≤120° , 3 a 6 在△AOM 中,根据正弦定理有:OM= ,在△ sin?θ+30° ? 3 a 6 AON 中,同理有:ON= sin?θ-30° ?

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

1 1 ∴OM2+ON2 12 2 = a2 [sin (θ+30° )+sin2(θ-30° )] 12 1 1 = a2 [1-2cos(2θ+60° )-2cos(2θ-60° )] 12 6 = a2 (1-cos2θ· cos60° )=a2· (2-cos2θ) ∵60° ≤θ≤120° ,∴120° ≤2θ≤240°

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

1 1 18 ∴当 cos2θ=-1,即 θ=90° 时,OM2+ON2取最大值 a2 ; 1 1 1 当 cos2θ=-2,即 θ=60° 或 120° 时,OM2+ON2取最小值 15 . a2 [注意] 考选用. 本书中带※号的题目供学有余力的同学学习时参

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

名师辩误做答

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

[例 7] ________.

在△ABC 中,a=15,b=12,A=60° ,则 cosB=

13 15 12 [错解] ± 5 由正弦定理得sin60° =sinB, 12×sin60° 2 3 ∴sinB= = 5 , 15 13 ∴cosB=± 1-sin B=± . 5
2

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

[辨析]

∵a>b,∴A>B,因此 cosB>0.
13 15 12 由正弦定理得, = , 5 sin60° sinB

[正解]

12×sin60° 2 3 ∴sinB= = , 15 5 ∵a>b,∴A>B,∴B 为锐角, 13 ∴cosB= 1-sin B= 5 .
2

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

课堂巩固训练

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

一、选择题 1. △ABC 中, 已知 a=5 2, c=10, A=30° , 则 B=( A.105° C.15°
[答案] D

)

B.60° D.105° 或 15°

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

[解析]

a c 5 2 10 2 ∵ = ,∴ = ,∴sinC= , sinA sinC sin30° sinC 2

∵c>a,csinA=5<5 2=a,∴角 C 有两解. ∴C=45° 或 135° .∴B=105° 或 15° .

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

2. 已知△ABC 的三个内角之比为 A:B:C=3:2:1, 那么对应 的三边之比 a:b:c 等于( A.3:2:1 C. 3: 2:1 ) B. 3:2:1 D.2: 3:1

[答案] D

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

[解析]

? ?A:B:C=3:2:1 ∵? ? ?A+B+C=180°



∴A=90° ,B=60° ,C=30° . 31 ∴a:b:c=sinA:sinB:sinC=1: : =2: 3:1. 2 2

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

3.不解三角形,确定下列判断中正确的是( A.a=7,b=14,∠A=30° ,有两解 B.a=30,c=25,∠A=150° ,有一解 C.a=6,b=9,∠A=45° ,有两解 D.b=9,c=10,∠B=60° ,无解
[答案] B

)

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

[解析]

bsinA=14sin30° =7=a 有一解, 故 A 错; A=150°

9 2 为钝角, c=25<30=a, 故有一解, ∴B 对; bsinA=9sin45° = , 2 9 2 ∵ 2 >6,∴bsinA>a,故无解.∴C 错;csinB=10sin60° =5 3 <9,∴csinB<b<c,故有两解.∴D 错.

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

二、填空题 4.(2010· 山东理,15)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边 分别为 a,b,c,若 a= 2,b=2,sinB+cosB= 2,则角 A 的大小为________.

π [答案] 6

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

[解析] sinB+cosB=

? π? 2sin?B+4?= ? ?

2,

π ∴sin(B+ )=1,∵0<B<π, 4 π π 5 π ∴4<B+4<4π,∴B=4, b a 1 又∵sinB=sinA,∴sinA=2, π ∵a<b,∴A<B,故 A=6.

第一章

1.1

第1课时

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5

课后强化作业(点此链接)

第一章

1.1

第1课时



推荐相关:

§1.1.1正弦定理

§1.1.1正弦定理_数学_自然科学_专业资料。知识改变命运,拼搏成就未来 高中数学必修五 §1.1.1 正弦定理学习目标 1.理解正弦定理的推导过程,会初步应用正弦定理...


《1.1.1 正弦定理》专题(一)

1.1.1 正弦定理》专题() - 鸡西市第十九中学高一数学组 《1.1.1 正弦定理》专题() 2018 年( )月( )日 班级 姓名 不求难题都做,先求中低档题...


1.1.1正弦定理课后习题

1.1.1正弦定理课后习题_高一数学_数学_高中教育_教育专区。1.1.1 正弦定理 1.在△ABC 中,若 sin2A=sin2B+sin2C,则△ABC 的形状是( A.锐角三角形 C...


第一章1.1 1.1.1正弦定理

第一章1.1 1.1.1正弦定理_理学_高等教育_教育专区。1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容...


人教版高中数学必修五教案:1-1-1 正弦定理

人教版高中数学必修五教案:1-1-1 正弦定理_高三数学_数学_高中教育_教育专区。1.1.1 正弦定理 项目 课题 (共一、知识与技能 1 内容 1.1.1 正弦定理 修改...


1.1.1正弦定理教案

1.1.1正弦定理教案_高二数学_数学_高中教育_教育专区。1.1.1 正弦定理(一)教学目标 1. 知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索, 掌握正弦定理的...


【章节训练】1.1.1+正弦定理-1

【章节训练】1.1.1+正弦定理-1 - 【章节训练】1.1.1 正弦定理-1 一、选择题(共 10 小题) 1. (2016?福建模拟)在△ ABC 中,∠A=60°,AC=2 ,BC=...


必修五第一章1.1.1 正弦定理

必修五第1.1.1 正弦定理_数学_高中教育_教育专区。1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理 (教师用书独具) ●三维目标 1.知识与技能 (1)引导学生...


1.1.1正弦定理公式及练习题

1.1.1 正弦定理 、引入 我们知道,在任意三角形中有大边对大角,小边对小角的边角关系,我们是否能得到这 个边、角关系准确量化的表示呢?这就是我们今天要...


§1.1.1正弦定理教案

§1.1.1 正弦定理(1)课标要求:通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法; 会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本...

网站首页 | 网站地图
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com