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【精编】高一数学(人教A版)必修2课件:1-1-2圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征、简单组合体的结构特征-精心_图文

成才之路·数学
人教A版·必修2
路漫漫其修远兮吾将上下而求索

第一章
空间几何体

第一章
1.1 空间几何体的结构

第一章
1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特 征、简单组合体的结构特征

课前自主预习

温故知新 完成下列练习为求新知打下基础 1.下列命题中正确的是( ) A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B.有两个面平行,其余各面都是梯形的几何体叫棱台 C.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫 棱锥 D.棱台各侧棱的延长线交于一点 [答案] D

[解析] A选项中,缺少条件:其余各面是平行四边形, 且每相邻平行四边形的公共边平行;B选项中,缺少条件:每 相邻梯形的公共边相交于一点;C选项中,缺少条件:其余各 面三角形有公共顶点.

2.以三棱台的顶点为三棱锥的顶点,这样可以把一个三

棱台分成三棱锥的个数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

[答案] C

[解析] 如图所示,在三棱台ABC-A1B1C1中,分别连接 A1B,A1C,BC1,则将三棱台分成3个三棱锥,即三棱锥A- A1BC,B1-A1BC1,C-A1BC1.

3.用一个平面去截几何体,如果截面是三角形,那么这 个几何体可能是下面哪几种:________.
①棱柱 ②棱锥 ③棱台 ④圆柱 ⑤圆锥 ⑥圆台 ⑦球
[答案] ①②③⑤

新课引入

举世闻名的比萨斜塔是意大利一个著名景点.它的构造 从外形上看是由八个圆柱组合成的一个组合体,我们周围的 很多建筑物和它一样,也都是由一些简单几何体组合而成的 组合体,本节我们就学习圆柱、圆锥、圆台、球这些简单几 何体的结构特征和由这些简单几何体组合而成的简单组合体 的结构特征.

自主预习 阅读材料P5-7,回答下列问题: 1.圆柱
以 矩形 的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形 定义
成的面所围成的 旋转体 叫做圆柱 旋转轴叫做圆柱的 轴 ;垂直于轴的边旋转而成的 有关 圆面叫做圆柱的底面; 平行于轴的边旋转而成的曲 概念 面叫做圆柱的侧面;无论旋转到什么位置,不垂直 于轴的边都叫做圆柱侧面的母线

图形
用表示它的轴的字母,即表示两底面 圆心 的 表示法 字母表示,上图中的圆柱可记作圆柱 O′O 规定 圆柱 和 棱柱 统称为柱体

[知识拓展]圆柱的简单性质: (1)圆柱有无数条母线,它们平行且相等. (2)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆,如图a所 示. (3)过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形,如图b所示. (4)过任意两条母线的截面是矩形,如图c所示.

下列命题正确的个数为( ) ①圆柱的轴是过圆柱上、下底面圆的圆心的直线; ②圆柱的母线是连接圆柱上底面上一点和下底面上一点 的直线; ③矩形的任意一条边都可以作为轴,其他边绕其旋转围 成圆柱;

④矩形绕任意一条直线旋转,都可以围成圆柱.

A.1

B.2

C.3

D.4

[答案] B

[解析]

序号 ① ② ③


正误

理由

√ 圆柱的轴是旋转轴,过上、下底面圆的圆心

× 母线是不垂直于轴的边,它是与轴平行的线段

√ 绕矩形的任意一条边所在直线旋转,都可得到圆柱

应是绕矩形的任意一条边所在直线旋转,否则不一

× 定围成圆柱,如绕矩形的对角线所在直线旋转,围

成的几何就不是圆柱

2.圆锥 以 直角 三角形的一条 直角边 所在直线为旋转
定义 轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫 做圆锥
图形

如上图所示,轴为 SO ,底面为 ⊙O ,SA 有关
为母线.另外,S叫做圆锥的 顶点,OA(或 概念
OB)叫做底面⊙O的 半径 表示 圆锥用表示它的 轴 的字母表示,上图中 法 的圆锥可记作圆锥 SO 规定 棱锥 与 圆锥 统称为锥体

[知识拓展]圆锥的简单性质: (1)圆锥有无数条母线,它们有公共点即圆锥的顶点,且 长度相等. (2)平行于底面的截面都是圆,如图a所示. (3)过轴的截面是全等的等腰三角形,如图b所示.

(4)过任意两条母线的截面是等腰三角形,如图c所示.

“直角三角形绕其一边旋转一周所形成的几何体必是圆 锥”这个命题是否正确?若正确说明理由;若不正确举出反 例.

[解析] 不正确.当绕斜边所在直线旋转时,其余各边旋 转形成的曲面所围成的几何体不是圆锥.如图所示几何体是 由两个同底圆锥组成的几何体.

3.圆台 用平行于 圆锥 底面的平面去截圆锥,底面
定义 与 截面 之间的部分叫做圆台
图形

有关 概念

原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下 底面和上 底面.与圆柱和圆锥一样,圆台也有轴、 侧面 、 母线,如上图所示,轴为 OO′ ,AA′为母线

表示 用表示的轴的 字母 表示,上图中的圆台可记作 法 圆台 OO′ 规定 圆台 与 棱台 统称为台体

[知识拓展]圆台的简单性质: (1)圆台有无数条母线,且它们相等,延长后相交于一 点. (2)平行于底面的截面是圆,如图a所示. (3)过轴的截面是全等的等腰梯形,如图b所示.

(4)过任意两条母线的截面是等腰梯形,如图c所示.

关于圆台,下列说法正确的是________. ①两个底面平行且全等; ②圆台的母线有无数条; ③圆台的母线长大于高; ④两底面圆心的连线是高.
[答案] ②③④

[解析] 圆台的上底面和下底面是两个大小不同的圆,则 ①不正确,②③④正确.

4.球 以半圆的 直径 所在直线为旋转轴,半圆
定义 面旋转 一周 形成的旋转体叫做球体,简 称球 半圆的 圆心 叫做球的球心;半圆的 半径
有关 叫做球的半径;半圆的 直径 叫做球的直
概念 径

图形
表示 球常用表示 球心 的字母表示,如上图中 法 的球记作球 O

球的直径有( A.一条 C.三条

) B.两条 D.无数

[答案] D

[解析] 经过球心且端点在球面上的线段都是球的直径, 则球有无数条直径.

5.简单组合体 (1)概念:由 简单几何体 组合而成的几何体叫做简单组 合体.常见的简单组合体大多是由具有棱、锥、台、球等几 何结构特征的物体组成的. (2)基本形式:一种是由简单几何体 拼接 而成,另一种是 由简单几何体 截去 或 挖去 一部分而成.

[知识拓展]球与其他几何体形成的组合体问题 球与其他几何体组成的几何体在试题中通常以相切或相 接的形式出现,解决此类问题常常利用截面来分析这两个几 何体之间的关系,从而将空间问题转化成平面问题.

如图所示的组合体,其结构特征是( )

A.两个圆锥 B.两个圆柱 C.一个棱锥和一个棱柱 D.一个圆锥和一个圆柱
[答案] D
[解析] 该组合体的上部是圆锥,下部是圆柱.

思路方法技巧

圆柱、圆锥、圆台、球的概念的理解 学法指导 旋转体形状的判断方法: (1)首先要熟练掌握各类几何体的概念,把握好它们的性 质,其次要有一定的空间想象能力. (2)圆柱、圆锥、圆台、球可以分别看作是以矩形的一边、 直角三角形的一直角边、直角梯形垂直于底边的腰、半圆的直径 所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而成的曲面所围成的几何 体,其轴截面(过轴的截面)分别是矩形、等腰三角形、等腰梯 形、圆.这些轴截面集中反映了旋转体的各主要元素,处理旋转 体的有关问题时一般要作出其轴截面.

[例1] 给出下列命题: ①圆柱的母线与它的轴可以不平行; ②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆 心三点的连线都可以构成直角三角形; ③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点,则这两点的 连线是圆台的母线;

④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.

其中正确的是( )

A.①②

B.②③

C.①③

D.②④

[答案] D

[解析] 由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知② ④正确,①③错误.

下列命题中正确的是( ) ①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆; ②球的任意两个经过球心的圆的交点的连线是球的直 径; ③用不过球心的截面截球,球心和截面圆心的连线垂直 于截面;

④球是与定点的距离等于定长的所有点的集合.

A.①②③

B.②③④

C.②③

D.②④

[答案] C

[解析] 本题主要考查球的概念与性质,正确理解球的有 关性质是解题的关键.写任两点恰为一直径的端点时可作无 数个过球心的圆.故①错;②正确;③正确;球是几何体, 而④描述的是球面的概念.

规律总结:解决有关柱、锥、台、球定义方面的问题 时,准确理解定义及性质是解题的关键.举反例排除法是解 决此类问题的重要方法.

旋转体的结构特征
学法指导 旋转体形状的判断方法: 判断旋转体形状的关键是轴的确定,看是由平面图形绕 哪条直线旋转所得,同一个平面图形绕不同的轴旋转,所得 的旋转体一般是不同的.在旋转过程中观察平面图形的各边 所形成的轨迹,应利用空间想象能力,或亲自动手做出平面 图形的模型来分析旋转体的形状.

[例2] 已知AB是直角梯形ABCD中与底边垂直的一腰, 如下图.分别以AB、BC、CD、DA为轴旋转,试说明所得几 何体的结构特征.
[分析] 梯形 ―任―一―边――为―轴→ 几何体 ――空―间―想―象―→ 结构特征

[解析] (1)以AB为轴旋转所得旋转体是圆台.如下图① 所示.
(2)以BC边为轴旋转所得的旋转体是一组合体:下部为圆 柱,上部为圆锥.如下图②所示.

(3)以CD边为轴旋转所得的旋转体为一组合体:上部为圆 锥,下部为圆台,再挖去一个小圆锥.如下图③所示.
(4)以AD边为轴旋转所得的组合体:一个圆柱上部挖去一 个圆锥.如下图④所示.

如图所示是由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形 成的轴对称平面图形,若将它绕轴旋转180°后形成一个组合体, 下面说法不正确的是( )

A.该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体 B.该组合体仍然关于轴对称 C.该组合体中的圆锥和球只有一个公共点 D.该组合体中的球和半球只有一个公共点
[答案] A

简单组合体的识别
学法指导 组合体是由简单几何体拼接、截去或挖去一 部分而成的,因此,要仔细观察组合体的组成和结构,结合 柱、棱、台、球的几何结构特征对原组合体进行分割.
特别提醒:注意几何体的轮廓是由虚线还是实线画出 的,若是虚线则表示该几何体一部分被遮挡;若是实线,则 没有被遮挡,是可以看见的.

[例3] 如图所示的物体是运动器材——空竹,你能描述 它的结构特征吗?

[分析] 由题目可获取以下主要信息: (1)图中的几何体是组合体; (2)应把组合体分解成柱、锥、台、球. 解答本题时应先看图形结构,再与本节的柱、棱、台、 球的基本结构相联系.

[解析] 此几何体是由两个大圆柱,两个小圆柱和两个小 圆台组合而成的.

描述下列几何体的结构特征.

[解析] 观察各组合体,利用多面体或旋转体的定义与结 构特征,结合简单组合体的两种基本构成形式,入手分析.
[答案] 图(1)所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组 合体;图(2)所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的 组合体;图(3)所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱 柱后得到的组合体.

探索延拓创新

几何体的展开问题
学法指导 侧面展开法求几何体表面上两点间的最小距 离
(1)将几何体沿着某棱剪开后展开,画出其侧面展开 图;
(2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题; (3)结合已知条件求得结果.

[例4] 如图所示,在侧棱长为2 3 的正三棱锥V-ABC 中,∠AVB=∠BVC=∠CVA=40°,过点A作截面AEF分别交 VB,VC于点E,F.求截面△AEF周长的最小值.

[分析] 问题1:如何求截面周长的最小值? 答:化曲为直,转化为平面问题处理. 问题2:如何化曲为直? 答:利用三棱锥的侧面展开图. 问题3:如何作三棱锥的侧面展开图? 答:将三棱锥的侧面沿侧棱VA展开.

[解析] 将三棱锥V-ABC的侧面沿侧棱VA剪开,将其展

开图平铺在一个平面上,如右图所示,则截面△AEF的周长为

AE+EF+FA1.因为AE+EF+FA1≥AA1,线段AA1(即A,E,

F,A1四点共线时)的长即为所求△AEF周长的最小值.作VD ⊥AA1,垂足为D,由VA=VA1,知D为AA1的中点.由已知, 得∠AVB=∠BVC=∠CVA1=40°,得∠AVD=60°.在Rt△AVD

中,AD=VAsin60°=2



3 2

=3,即AA1=2AD=6.所以,截

面△AEF周长的最小值是6.

一圆柱的底半径为

3 π

,母线长为4,轴截面ABCD,从点A

拉一绳子沿圆柱侧面到相对顶点C,求最短绳长.

[分析] 绳子沿圆柱侧面由A到C且最短,故侧面展开后

为A、C两点间的线段长.

[解析] 沿BC剪开,将圆柱体的侧面的一半展开得到矩 形BADC.则AD=4,AB=3π·π=3.∴AC= 32+42=5
即最短绳长为5.

名师辨误做答

[例5] 如下图所示,它们是不是棱锥、棱台、圆柱、圆 锥等几何体?

[错解] 图①,因为一面ABCD是四边形,其余各面都是 三角形,所以图①是棱锥;图②是棱台;图③不是圆柱;图 ④不是圆锥.
[错因分析] 不能只依据概念的某一结论去判断.

[思路分析] 判断几何体的形状时,要考虑周全,要满足 几何体的所有特征.
[正解] 图①中的六个三角形没有一个公共点,故不是棱 锥,只是一个多面体;图②不是棱台,因为侧棱延长线不能相 交于同一点;图③不是圆柱,因为上下两面不平行(或不是由 一个矩形旋转而成);图④不是由一个直角三角形旋转而成, 故不是圆锥.

基础巩固训练

1.圆锥的母线有( )

A.2条

B.3条

C.4条

D.无数条

[答案] D

2.圆柱的母线长为10,则其高等于( ) A.5B.10 C.20D.不确定 [答案] B [解析] 圆柱的母线长与高相等,则其高等于10.

3.圆台的母线( )

A.平行

B.相等

C.与高相等 D.与底面平行

[答案] B

[解析] 圆台的母线延长线交于一点,则A项不正确;圆 台的母线大于高,则C项不正确;圆台的母线与底面相交,则 D项不正确;很明显B项正确.

4.下列几何体是组合体的是( ) [答案] D

[解析] A选项中的几何体是圆锥,B选项中的几何体是 圆柱,C选项中的几何体是球,D选项中的几何体是一个圆台 中挖去一个圆锥,是组合体.

5.用一个平面去截一个几何体,得到的截面是圆面,这

个几何体不可能是( )

A.圆锥

B.圆柱

C.球

D.棱柱

[答案] D

[解析] 棱柱的任何截面都不可能是圆面.

6.在圆柱、圆锥、圆台、球中,没有底面的几何体是 ______.
[答案] 球

7.有下列说法: ①球的半径是球面上任意一点与球心的连线; ②球的直径是球面上任意两点间的连线; ③用一个平面截一个球,得到的是一个圆. 其中正确说法的序号是________.
[答案] ①

[解析] 利用球的结构特征判断:①正确;②不正确,因 为直径必过球心;③不正确,因为得到的是一个圆面.

8.如下图所示,这两个组合体分别由哪些几何体组合而 成?

[解析] 图①是在三棱柱中挖去一个圆柱而成的. 图②由圆柱和球组成.

制作不易 尽请参考

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