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2018年高中数学北师大版必修五课件:2.1.1.3-正弦定理和余弦定理习题课ppt讲练课件


第二章 解三角形 1.3 正弦定理和余弦定理习题课 利用正、余弦定理解三角形 2 在△ABC 中,若 c· cos B=b· cos C,且 cos A= ,求 3 sin B 的值. 【解】 由 c· cos B=b· cos C,结合正弦定理得,sin Ccos B= sin Bcos C, 故 sin(B-C)=0,易知 B=C,故 b=c. 2 因为 cos A= ,所以由余弦定理得 3a2=2b2,再由余弦定理得 3 6 cos B= , 6 30 故 sin B= . 6 正、余弦定理的变形形式比较多,解题时应根据题目条件的不 同,灵活选择. 1.在锐角三角形 ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对应的边,且 3a=2csin A. (1)确定角 C 的大小; 3 3 (2)若 c= 7,且△ABC 的面积为 ,求 a+b 的值. 2 解:(1)由 3a=2csin A 及正弦定理得, a 2sin A sin A c = 3 = sin C. 3 因为 sin A≠0,所以 sin C= . 2 π 因为△ABC 是锐角三角形,所以 C= . 3 π (2)法一:因为 c= 7,C= , 3 由面积公式得 1 π 3 3 absin = ,即 ab=6.(i) 2 3 2 由余弦定理得, π a +b -2abcos =7, 3 2 2 即 a2+b2-ab=7.(ii) 由(ii)变形得(a+b)2=3ab+7.(iii) 将(i)代入(iii),得(a+b)2=25, 故 a+b=5. 法二:前同法一,联立(i)、(ii) 2 2 2 2 ? ?a +b -ab=7, ? ?a +b =13, 得? ?? ? ? ?ab=6 ?ab=6, 消去 b 并整理得 a4-13a2+36=0, 解得 a2=4 或 a2=9. ? ?a=2 ? ?a=3 所以? 或? ? ? b= 3 ? ?b=2. 故 a+b=5. 正、余弦定理与三角恒等变形的综合 设△ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别是 a, b, c, 且 b=3,c=1,A=2B. (1)求 a 的值; (2)求 ? π? sin?A+ 4 ?的值. ? ? 【解】 (1)因为 A=2B,所以 sin A=sin 2B= 2sin Bcos B. a2+c2-b2 由正、余弦定理得 a=2b· . 2ac 因为 b=3,c=1,所以 a2=12,a=2 3. b2+c2-a2 9+1-12 1 (2)由余弦定理得 cos A= = =- . 2bc 6 3 由于 0<A<π,所以 sin A= 1-cos A= 故 ? π? sin?A+4 ?=sin ? ? 2 1 2 2 1- = . 9 3 π π 2 2 2 ? 1? 2 ? ? - Acos +cos Asin = × + 3× 4 4 3 2 ? 2 ? 4- 2 = . 6 本例所有条件不变,试求 2 2 ? 1? 4 2 ? ? 解: 由例题(2)知 sin 2A=2sin Acos A=2× × -3 =- , 3 9 ? ? 1 8 7 cos 2A=cos A-sin A= - =- . 9 9 9 2 2 ? π? cos?2A-6 ?的值. ? ? 所以 ? π? cos?2A-6 ?=cos ? ? π π 2Acos +sin 2Asin 6 6 7 3 ? 4 2? 1 ?× =- × +?-

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