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上海重点中学2011-2012学年高一下学期期末考试 数学试题


上海重点中学 2011 学年度第二学期 高一数学期终试卷
(满分 100 分,90 分钟完成,允许使用计算器,答案一律写在答题纸上)

一.填空题(共 14 小题,每小题 3 分) : 1. 已知 sin ?
?? ? ? ? ? ? m ,则 co s ? ? ? ? ? 2 ?
2 3

??

.

2.在 ? A B C 中,若 tan A ?
?
2

,则 sin A ?

.

3.函数 y=

+arcsinx 的反函数是

. . .
n?2

4.设 ?a n ? 为等差数列,若 a 1 ? a 5 ? a 9 ? ? ,则 tan ( a 2 ? a 8 ) 的值为 5.若 { a n } 是等比数列,a1=8,a4=1,则 a2+ a4+ a6+ a8= 6.用数学归纳法证明等式:1 ? a ? a ? ? ? a
2 n ?1

?

1? a

1? a

( a ? 1 ,n ? N ) ,验证 n ? 1
*

时,等式左边=

.

7.若动直线 x ? a 与函数 f ( x ) ? sin x 和 g ( x ) ? cos x 的图像分别交于 M , N 两点,则 M N 的最大值为 .

8.8.若 S n 为等比数列 ? a n ? 的前 n 项和, 8 a 2 ? a 5 ? 0 ,则

S6 S3

?

.

9.设 S n 为数列 { a n } 的前 n 项和,若不等式 a n ? 数 n 都成立,则实数 m 的最大值为 .

2

Sn n

2

2

? ma 1 对任意等差数列 { a n } 及任意正整
2

10.根据所示的程序框图(其中 [ x ] 表示不大于 x 的最大整数) ,输出 r ?

.

11.已知等比数列 { a n } 的首项 a 1 ? 1 ,公比为 q ( q ? 0 ) S n 为 { a n } 的前 n 项和,则 ,
Sn S n ?1
?

lim

n? ?

.
?x
2

12.当 0≤ x ≤ 1 时,不等式 sin

≥ kx 成立,则实数 k 的取值范围是
an ?
*



13.已知等差数列 { a n } 的首项及公差均为正数,令 b n ? 当 b k 是数列 { b n } 的最大项时,k=__________.

a 2012 ? n ( n ? N , n ? 2012 ) ,

14.某同学对函数 f ( x ) ? x cos x 进行研究后,得出以下五个结论:(1)函数 y ? f ( x ) 的图像 是中心对称图形;(2)对任意实数 x ,| f ( x ) |? | x | 均成立;(3)函数 y ? f ( x ) 的图像与 x 轴有 无穷多个公共点,且任意相邻两点的距离相等;(4)函数 y ? f ( x ) 的图像与直线 y ? x 有无穷 多个公共点,且任意相邻两点的距离相等;(5)当常数 k 满足 | k |? 1 时,函数 y ? f ( x ) 的图像 与直线 y ? kx 有且仅有一个公共点,其中所有正确结论的序号是 二.选择题(共 4 小题,每小题 3 分):
k 15. x ? 2 ?? “

.

?

k ?? Z 4

? ”是“ tan x

? 1 ”成立的





(A)充分不必要条件. (C)充分条件.

(B)必要不充分条件. (D)既不充分也不必要条件. ( )

16.在等比数列 ? a n ? 中, a1 ? 1 ,公比 q ? 1 .若 a m ? a1 a 2 a 3 a 4 a 5 ,则 m= (A)9 (B)10 (C)11 (D)12

17.已知 W∈R ,函数 f ( x ) ? 2 sin wx ,在 ? ? , ? 上递增,则 ? 3 4? (A) 0 ? W ?
3 2



?

?

? ?





(B) 0 ? W ? 2

(C) 0 ? W ?

24 7

(D) w ? 2

18.已知存在正整数 p、q、r(p<q<r) ,使得非常数等差数列 ? a n ? 中,第 p、q、r 项成等比数 列, 2p、 2r 项也成等比数列, 第 2q、 则使
a 2012 a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 1 成立的最小正整数 n 为

(

)

(A)45

(B)63

(C)64

(D)2012

三、解答题 19.(本题 10 分)已知函数 f ( x ) ?
1 2 sin 2 x ? 3 2 co s 2 x ? 1 .

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调递增区间; (2)若 f ( x ) ? log 2 t 恒成立,求 t 的取值范围.

20.(本题 10 分)在△ ABC 中, ? A ? (1)若 ? B ?
π 4

π 3

, BC ? 1 .

,求 AC 的长;

(2)若△ ABC 的周长为 2 ? 1 ,求 ? ABC 的值. 21. (本题 12 分) 设数列 { a n } 的通项公式为 a n ? p n ? q ( n ? N , P ? 0 ) . 数列 { b n } 定义如下: 对于正整数 m, b m 是使得不等式 a n ? m 成立的所有 n 中的最小值. (1)若 p ?
1 2 ,q ? ? 1 3
?

,求 b 3 ;

(2)若 p ? 2, q ? ? 1 ,求数列 { b m } 的前 2m 项和公式; (3)是否存在 p 和 q,使得 b m ? 3 m ? 2 ( m ? N ) ?如果存在,求 p 和 q 的取值范围;如果不 存在,请说明理由.
?

22.(本题 14 分)对于给定首项 x 0 ?

3

a ? a ? 0 ? ,由递推式 x n ? 1 ?

1? ? xn ? 2? ?
3

a ? * ? ?n ? N ? 得 xn ? ?
a 的近似值.

* 到数列 ? x n ? ,且对于任意的 n ? N ,都有 x n ?

3

a ,用数列 ? x n ? 可以计算

(1) 取 x 0 ? 5 , a ? 1 0 0 ,计算 x1 , x 2 , x 3 的值(精确到 0 .0 1 ) ,归纳出 x n , x n ? 1 的大小关系; (2) 当 n ? 1 时,证明 x n ? x n ? 1 ?
1 2

? x n ?1 ?

xn ? ;
?4

(3) 当 x 0 ? ? 5,1 0 ? 时,用数列 ? x n ? 计算 3 1 0 0 的近似值,要求 x n ? x n ? 1 ? 1 0 并说明理由.

,请你估计 n ,


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