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高中数学几何概型课件1 新课标 人教版 必修3(A).ppt


几何概型

为什么要学习几何概型 ? 引例
假设你家订了一份报纸,送报人可能在 早上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父 亲离开家去工作的时间在早上7:00—8:00 之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称 为事件A)的概率是多少? 能否用古典概型的公式来求解? 事件A包含的基本事件有多少?

问题:图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘 游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜, 否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获 胜的概率是多少?

事实上,甲获胜的概率与字母B所在扇形区 域的圆弧的长度有关,而与字母B所在区域 的位置无关.因为转转盘时,指针指向圆弧 上哪一点都是等可能的.不管这些区域是 相邻,还是不相邻,甲获胜的概率是不变的.

几何概型的定义
?

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长 度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何 概率模型,简称为几何概型.

?

在几何概型中 ,事件 A的概率的计算公式如下: 几何概型的特点 :

(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个. 构成事件A的区域长度(面积或体积) (2) 每个基本事件出现的可能性相等 . P( A) ?

全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

例1 某人午觉醒来,发现表停了,他 打开收音机,想听电台报时,求他等待 的时间不多于10分钟的概率.
解:设A={等待的时间不多于10分钟}.我们所 关心的事件A恰好是打开收音机的时刻位于 [50,60]时间段内,因此由几何概型的求概率 的公式得 60 ? 50 1 P( A) ? ? , 60 6 1 即“等待的时间不超过10分钟”的概率为
6

练习:
1.有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用 一个小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯 水中含有这个细菌的概率.

2.如右下图,假设你在每个图形上随机撒 一粒黄豆,分别计算它落到阴影部分的概 率.

3.一张方桌的图案如图所示。将一颗豆子 随机地扔到桌面上,假设豆子不落在线上, 求下列事件的概率: (1)豆子落在红色区域; (2)豆子落在黄色区域; (3)豆子落在绿色区域; (4)豆子落在红色或绿色区域; (5)豆子落在黄色或绿色区域。

4.取一根长为3米的绳子,拉直后在任意位置剪断, 那么剪得两段的长都不少于1米的概率有多大?

例2 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早
上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲 离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间, 问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A) 的概率是多少?

解: 以横坐标X表示报纸送到时间,以纵坐标 Y表示父亲离家时间建立平面直角坐标 系,假设随机试验落在方形区域内任何一 点是等可能的,所以符合几何概型的条件. 根据题意,只要点落到阴影部 分,就表示父亲在离开家前能 得到报纸,即时间A发生,所以
2 30 602 ? 2 ? 87.5%. P( A) ? 602

对于复杂的实际问题,解题的关键是要建 立模型,找出随机事件与所有基本事件相 对应的几何区域,把问题转化为几何概率 问题,利用几何概率公式求解.

例3 抛阶砖游戏
“抛阶砖”是国外游乐场的典型游戏之一.参 与者只须将手上的“金币”(设“金币”的半径 为 r )抛向离身边若干距离的阶砖平面上,抛出 的“金币”若恰好落在任何一个阶砖(边长为a的 正方形)的范围内(不与阶砖相连的线重叠), 便可获奖.

玩抛阶砖游戏的人,一般需换购代用 “金币”来参加游戏. 那么要问:参加者 获奖的概率有多大?
显然,“金币”与阶砖的相对大小将决定 成功抛中阶砖的概率.

设阶砖每边长度为a , “金币”直径为d . 若“金币”成功地落 在阶砖上,其圆心必 位于右图的绿色区域 A内. a A
S

a 问题化为:向平面区域S (面积为a2)随机投 点( “金币” 中心),求该点落在区域A内 的概率.

于是成功抛中阶砖的概率
A的面积 p? S的面积

a
0<d<a

A

(a ? d ) ? a2

2

由此可见,当d接近a, p接近于0; 而当d接近0, p接近于1. 若d>a, 你还愿意玩这个游戏吗?

a

思考题
甲乙两人约定在6时到7时 之间在某处会面,并约定 先到者应等候另一个人一 刻钟,到时即可离去,求两 人能会面的概率.

课堂小结
? 1.几何概型的特点. ? 2.几何概型的概率公式.
构成事件A的区域长度(面积或体积) P( A) ? 全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

? 3.公式的运用. ? 作业:137页 3

古典概型:
特点:
(1)试验中所有可能出现的基本 事件只有有限个. (2)每个基本事件出现的可能性 相等.

A包含基本事件的个数 公式:P( A) ? 基本事件的总数

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