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新丰中学高三数学假期作业

新丰中学高三数学假期作业
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答 题纸的指定位置上. 1. 已知全集 U ? ? 1,2,3,4?,集合 P ? ?1,2? , Q ? ?2,3? ,则C U ( p ? Q) 等于________. 2. 已知复数 z 满足 (3 ? i) z ? 10i ( i 为虚数单位),则 z 的模为________. 3.已知 510° 角的始边在 x 轴的非负半轴上,终边经过点 P ( m, 2) ,则 m =________. 4.函数

y ? log 2(2 x? x ) 增区间_________

2

5.已知 tan(

?
4

? ? ) ? 2 ,则 tan ? ? ________.

6. 如图,在四边形 ABCD 中,已知 AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA =60° ,∠BCD=135° ,则 BC 的长为________. 7. 已知函数 f ( x) ? ax ?

x 是偶函数,则常数 a 的值为________. 4 ?1
x

8. 已知 log x y ? 2 ,则 y ? x 的取值范围为________. 9. 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a , b, c , 若 a c o sB? b c o s A ?

3 , c 则 5

tan A =_______. tan B
10. 在△ABC 中,B=60° ,AC= 3,则 AB+2BC 的最大值为________. 11. f ? x ? 是定义在 ? 0, ??? 上的非负可导函数,且满足 xf
/

? x? ? f ? x? ? 0 ,对任意正数
y

a , b ,若 a ? b ,则 bf ? a ? , af ?b? 的大小关系为__▲___.
12.已知 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx(a ? 0) 有极大值 5 ,其导函数 y ? f ?( x) 的图象如图所示,则 f ( x) 的解析式为________.

O

1

2

x

?log 2 x, ? 13. 设函数 f ( x) ? ?log (? x), 1 ? ? 2

x?0

x ? 0 ,若 f (a) ? f (?a) ,则实数 a

的取值范围是________. 14. 已知函数 f(x)=x2+2x,若存在实数 t,当 x∈[1,m]时,f(x+t)≤3x 恒成立,则实数 m 的最大值为____________. 二、解答题:本大题共 6 题,共 90 分.请在答题卡规定区域写出文字说明、证明过程或演 算步骤.

15.(本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中, a , b, c 分别是角 A, B, C 所对的边,且 a ? 5, b ? 3,sin C ? 2sin A . (1)求边 c 的值; 16.(本小题满分 14 分) 设函数 f(x)=mx2-mx-1. (1)若对于一切实数 x,f(x)<0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)若对于 x∈[1,3],f(x)<-m+5 恒成立,求 m 的取值范围. 17.(本小题满分 14 分) 某商品每件成本价为 80 元, 售价为 100 元, 每天售出 100 件. 若售价降低 x 成(1 成=10%), 8 售出商品数量就增加 x 成.要求售价不能低于成本价. 5 (1)设该商店一天的营业额为 y,试求 y 与 x 之间的函数关系式 y=f(x),并写出定义域; (2)若再要求该商品一天营业额至少为 10 260 元,求 x 的取值范围. 18. (本小题满分 16 分) 如图所示,某市准备在一个湖泊的一侧修建一条直路 OC;另一侧修建一条观光大道, 它的前一段 OD 是以 O 为顶点,x 轴为对称轴,开口向右的抛物线的一部分,后一段 DBC π? 是 函 数 y = Asin(ωx + φ) ? ?A>0,ω>0,|φ|<2? , x ∈ [4,8] 时 的 图 象 , 图 象 的 最 高 点 为 8 ? B? ?5,3 3?,DF⊥OC,垂足为 F. (1) 求函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式; (2) 若在湖泊内修建如图所示的矩形水上乐园 PMFE, 问点 P 落在曲线 OD 上何处时, 水上乐园的面积最大? 19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? (2)求 sin(2 A ? ) 的值.

?

3

2a , a?R . x

(1)若函数 f ( x ) 在 [2, ??) 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若函数 f ( x ) 在 [1, e] 上的最小值为 3,求实数 a 的值. 20.(本小题满分 16 分) 若函数 f ( x) 为定义域 D 上单调函数,且存在区间 ?a, b? ? D (其中 a ? b ),使得当

x ?? a, b? 时, f ( x) 的取值范围恰为 ? a, b? ,则称函数 f ( x) 是 D 上的正函数,区间 ? a, b? 叫
做等域区间. (1)已知 f ( x) ? x 2 是 ?0, ?? ? 上的正函数,求 f ( x) 的等域区间;
1

(2)试探究是否存在实数 m ,使得函数 g ( x) ? x2 ? m 是 ? ??,0 ? 上的正函数?若存在,请 求出实数 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 1. { 4 } 7. ? 2.

10

3. ?2 3

4. (0,1) 9. 4 10. 2 7

5.

1 3
11.

6. 8 2

1 2

8.

1 [? ,0) ? (0, ? ?) 4

bf (a) ? af (b)

12. f ( x) ? 2 x 3 ? 9 x 2 ? 12x

13. (?1, 0) ? (1, ? ?)

14. 8

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分. 15. (本小题满分 14 分) 解:(1)根据正弦定理,

c a sin C ? a ? 2a ? 2 5 ,所以 c ? sin C sin A sin A

……… 5 分

(2)根据余弦定理,得 cos A ?

c 2 ? b2 ? a 2 2 5 ? 2bc 5

……………………… 7 分

于是 sin A ? 1 ? cos A ? 从而 sin 2 A ? 2 sin A cos A ? 所以 sin(2 A ?

2

5 5
4 5

……………………… 8 分 ……… 10 分,cos 2 A ? cos
2

A ? sin 2 A ?

3 5

12 分

?
3

) ? sin 2 A cos

?
3

? cos 2 A sin

?
3

?

4?3 3 …………………… 14 分 10

16. (本小题满分 14 分) 解 (1)要使 mx2-mx-1<0 恒成立, 若 m=0,显然-1<0; 若 m≠0,则?

? ?m<0, ?Δ=m2+4m<0 ?

?-4<m<0. [6 分]

所以-4<m≤0. (2)要使 f(x)<-m+5 在[1,3]上恒成立,即 1 3 x- ?2+ m-6<0 在 x∈[1,3]上恒成立. m? ? 2? 4 有以下两种方法: 1 3 x- ?2+ m-6,x∈[1,3]. 方法一 令 g(x)=m? 2 ? ? 4 当 m>0 时,g(x)在[1,3]上是增函数,

[8 分]

[10 分]

所以 g(x)max=g(3)?7m-6<0, 6 6 所以 m< ,则 0<m< ; 7 7 当 m=0 时,-6<0 恒成立; 当 m<0 时,g(x)在[1,3]上是减函数, 所以 g(x)max=g(1)?m-6<0, 所以 m<6,所以 m<0.

[12 分]

6 综上所述:m 的取值范围是{m|m< }. [14 分] 7 1?2 3 方法二 因为 x2-x+1=? ?x-2? +4>0, 6 又因为 m(x2-x+1)-6<0,所以 m< 2 . [10 分] x -x+1 6 6 6 6 因为函数 y= 2 = 在[1,3]上的最小值为 ,所以只需 m< 即可.[12 分] 1 7 7 3 x -x+1 ?x- ?2+ 2 ? ? 4 6? ? 所以,m 的取值范围是?m|m<7?. [14 分] ? ? 17. (本小题满分 14 分) x? 解 (1)依题意,y=100? ?1-10?· 8 ? 100? ?1+50x?. 又售价不能低于成本价, x? 所以 100? ?1-10?-80≥0. 所以 y=f(x)=40(10-x)(25+4x),定义域为 x∈[0,2]. (2)由题意得 40(10-x)(25+4x)≥10 260, 1 13 化简得 8x2-30x+13≤0.解得 ≤x≤ . 2 4 1 ? 所以 x 的取值范围是? ?2,2?. 18. (本小题满分16分) 8 3 2π 2π π 解:(1) 对于函数 y=Asin(ωx+φ),由图象知,A= ,ω= = = .(4 分) 3 T 4?8-5? 6 8 ? 8 3 ?π 5π π ? 将 B? ?5,3 3?代入到 y= 3 sin?6x+φ?中,得 6 +φ=2kπ+2(k∈Z). π π 8 3 ?π π? 又|φ|< ,所以 φ=- ,故 y= sin? x -3?.(7 分) 2 3 3 8 3 ?π π? (2) 在 y= sin?6x-3?中令 x=4, 得 D(4,4), 则曲线 OD 的方程为 y2=4x(0≤x≤4). (9 3 分) t2 ? t2 ,t (0≤t≤4),则矩形 PMFE 的面积为 S=?4- ?t(0≤x≤4).(11 分) 设点 P? ?4 ? ? 4?

3t2 4 3 4 3? 因为 S′=4- ,由 S′=0,得 t= ,且当 t∈?0, 时,S′>0,S 递增;当 4 3 3 ? ? 4 3 4 3 ? 4 4 3? t∈? S′<0, S 递减, 所以当 t= 时, S 最大, 此时点 P 的坐标为? , .(14 ,4 时, 3 ? 3 ? ?3 3 ? 分) 19. (本小题满分 16 分) 解:(1)∵ f ( x) ? ln x ?

2a 1 2a ,∴ f ?( x) ? ? 2 .………………………………1 分 x x x

∵ f ( x ) 在 [2, ??) 上是增函数,

x 1 2a ? 2 ≥0 在 [2, ??) 上恒成立,即 a ≤ 在 [2, ??) 上恒成立.……… 4 分 2 x x x 令 g ( x ) ? ,则 a ≤ ? g ( x)?min , x ?[2, ??) . 2 x ∵ g ( x ) ? 在 [2, ??) 上是增函数,∴ ? g ( x)?min ? g (2) ? 1. 2 ∴ a ? 1 .所以实数 a 的取值范围为 (??,1] . ……………………7 分 x ? 2a (2)由(1)得 f ?( x) ? , x ? [1, e] . x2 ①若 2a ? 1 ,则 x ? 2a ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 在 [1, e] 上恒成立,此时 f ( x ) 在 [1, e] 上是增函
∴ f ?( x) ? 数. 所以 ? ? f ? x ?? ? min ? f (1) ? 2a ? 3 ,解得 a ? 2 (舍去). ……………………10 分 ②若 1≤ 2a ≤ e ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 2a .当 1 ? x ? 2a 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在

3

(1, 2a) 上是减函数,当 2a ? x ? e 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (2a, e) 上是增函数.
所以 ? ? f ? x ?? ? min

e2 ? f ? 2a ? ? ln(2a) ? 1 ? 3 ,解得 a ? (舍去).…………………13 分 2

③若 2a ? e ,则 x ? 2a ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 在 [1, e] 上恒成立,此时 f ( x ) 在 [1, e] 上是减函 数. 所以 ? ? f ? x ?? ? min ? f ? e ? ? 1 ? e ? 3 ,所以 a ? e . 综上所述, a ? e . 20. (本小题满分 16 分)

2a

………………16 分

? ? ? 上的正函数,且 f ( x) ? x 在 ?0, ? ? ? 上单调递增, 解:(1)因为 f ( x) ? x 是 ?0,

? f ? a ? ? a, ? ? ? a ? a, b? 时, ? 所以当 x ? ? a, 即? ………………………………………3 分 ? ? ? f ? b ? ? b, ? b ? b, b ?1, 1? ;………………………5 分 解得 a ? 0, 故函数 f ? x ? 的“等域区间”为 ? 0,

0 ? 上的减函数, (2)因为函数 g ( x) ? x2 ? m 是 ? ??,
2 ? ? g ? a ? ? b, ? ?a ? m ? b, b? 时, ? 所以当 x ? ? a, 即? 2 ………………………………7 分 ? ?b ? m ? a, ? g ? b ? ? a, ?

两式相减得 a 2 ? b2 ? b ? a ,即 b ? ? ? a ? 1? , ……………………………9 分 代入 a 2 ? m ? b 得 a 2 ? a ? m ? 1 ? 0 , 由 a ? b ? 0 ,且 b ? ? ? a ? 1? 得 ?1 ? a ? ? 1 , ………………………………11 分 2 2 故关于 a 的方程 a ? a ? m ? 1 ? 0 在区间 ?1,? 1 内有实数解,………………13 分 2 ?h ? ?1? ? 0, ? 记 h ? a ? ? a2 ? a ? m ? 1 , 则 ? 解得 m ? ?1,? 3 . ……16 分 1 ? 0, 4 h ? ? 2 ?

?

?

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