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1.1.1正弦定理教案


1.1.1 正弦定理
(一)教学目标 1. 知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索, 掌握正弦定理的内容及其证明方 法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形中的一类简单问题 2. 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关 系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用 的实践操作。 3.情态与价值:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;培养学生合情 推理探索数学规律的数学思思想能力,通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间 的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 (二)教学重、难点 重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。 难点:正弦定理的推导即理解 (三)学法与教学用具 学法:引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系:

a
sin A

?

b
sin B

?

c
sinC

,接着就一般斜

三角形进行探索,发现也有这一关系;分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导, 让学生发现向量知识的简捷,新颖。 教学用具:直尺、投影仪、计算器 (四)教学过程 1[创设情景] 如图 1.1-1,固定 ? ABC 的边 CB 及 ? B,使边 AC 绕着顶点 C 转动。 思考: ? C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系? 显然,边 AB 的长度随着其对角 ? C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来? C

A

B

2[探索研究] (图 1.1-1) 在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等 式关系。如图 1.1-2,在 Rt ? ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数

a b c ? sin A , ? sin B ,又 sinC ? 1 ? , c c c a b c 则 ? ? ?c sin A sin B sinC a b c 从而在直角三角形 ABC 中, ? ? sin A sin B sin C
的定义,有

A b C a (图 1.1-2) c B

思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? (由学生讨论、分析) 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 如图 1.1-3,当 ? ABC 是锐角三角形时,设边 AB 上的高是 CD,根据任意角三角函数的
1

定义,有 CD= a sin B ? b sin A ,则 同理可得 从而

a
sin A

?

b
sin B

, b A

C a c B

c
sinC ?

?

b
sin B ?



a
sin A

b
sin B

c
sinC

(图 1.1-3) 思考: 是否可以用其它方法证明这一等式?由于涉及边长问题, 从而可以考虑用向量来研究 这个问题。 (证法二) :过点 A 作 j ? AC , 由向量的加法可得 则

? ?

??? ?

C

AB ? AC ? CB
? ? ???

???

??? ?

???

j ? AB ? j ?(AC ? CB )
∴ j ? AB ? j ? AC ? j ? CB

? ? ??? ? ???

A

B

? ? ???

? ? ??? ? ? ? ???

? ? j

? ??? ? ? ??? ? j AB cos?900 ? A? ?0 ? j CB cos?900 ?C ?
∴ c sin A ? a sin C ,即 同理,过点 C 作 j ? BC ,可得 从而

a c ? sin A sin C

? ??? ?

b c ? sin B sin C

a
sin A

?

b
sin B

?

c
sinC

类似可推出,当 ? ABC 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立。 (由学生课后自己推导) 从上面的研探过程,可得以下定理 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即

a
sin A

?

b
sin B

?

c
sinC

[理解定理] (1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即 存在正数 k 使 a ? k sin A , b ? k sin B , c ? k sinC ; (2)

a
sin A

?

b
sin B

?

c
sinC

等价于

a
sin A

?

b
sin B



c
sinC

?

b
sin B



a
sin A

?

c
sinC

从而知正弦定理的基本作用为: ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如 a ? β ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如 sin A ? sin B 。 一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形。 3[例题分析] 例 1.在 ?ABC 中,已知 A ? 32.00 , B ?81.80 , a ? 42.9 cm,解三角形。
2

b sin A ; sin B

a b

解:根据三角形内角和定理,

C ?1800 ? ( A? B) ?1800 ? (32.00 ?81.80 )
? 66.20 ; 根据正弦定理,

b?

a sin B 42.9sin81.80 ? ? 80.1(cm) ; sin A sin32.00 a sin C 42.9sin66.20 ? ? 74.1(cm). sin A sin32.00

根据正弦定理,

c?

评述:对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。 例 2 如图,在Δ ABC 中,∠A 的平分线 AD 与边 BC 相交于点 D,求证: A 证明:如图在Δ ABD 和Δ CAD 中,由正弦定理,

BD AB ? DC AC

B D C

BD AB DC AC AC 得 , , ? ? ? 0 sin ? sin ? sin ? sin(180 ? ? ) sin ?
两式相除得

BD AB ? DC AC
B

A β

(五)巩固深化反馈研究 1 已知Δ ABC A 3

0 α 180 ? α D 已知 A=600,B=300,a=3;求边 b=() :

C







3

D

2

(2)已知Δ ABC A 8 B 4

已知 A=450,B=750,b=8;求边a=() C 4 3 -3 D 8 3 -8

(3)正弦定理的内容是———————————— (4)已知 a+b=12 B=450 A=600
则则

则 a=------------------------,b=------------------------

(5)已知在Δ ABC 中,三内角的正弦比为 4:5:6,有三角形的周长为 7.5,则其三边长分别为 -------------------------(6) .在Δ ABC 中,利用正弦定理证明 (六)课堂小结(由学生自己总结)

a?b sin A ? sin B ?? c sin C

3


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