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高中数学(苏教版选修2-3)双基达标训练:2.6 正态分布


2.6

正态分布

双基达标

?限时15分钟?

1.已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,σ2),则 P(X<3)=________. 解析 答案 1 由正态分布图象知,μ=3 为该图象的对称轴,P(X<3)=P(X>3)=2. 1 2

2.若随机变量 X 服从标准正态分布 N(0,1),则 X 在区间(-3,3]上取值的概率等 于________. 答案 0.997

3.设随机变量 X 服从正态分布 N(2,9)若 P(X>c+1)=P(X<c-1),则 c 等于 ________. 解析 ∵ μ = 2 ,由正态分布的定义知其图象关于直线 x = 2 对称,于是

c+1+c-1 =2,∴c=2. 2 答案 2

4.已知 X~N(0,σ2)且 P(-2≤X≤0)=0.4,则 P(X>2)=________. 解析 ∵P(0≤X≤2)=P(-2≤X≤0)=0.4,

1 ∴P(X>2)=2(1-2×0.4)=0.1. 答案 0.1

5.已知正态总体落在区间(0.2,+∞)内的概率是 0.5,那么相应的正态曲线 f(x) 在 x=________时达到最高点. 解析 答案 由正态曲线的性质知: μ=0.2, 故 x=0.2 时, 正态曲线 f(x)达到最高点. 0.2

6.已知某种零件的尺寸 X(单位:mm)服从正态分布,其正态曲线在(0,80)上是增 函数,在(80,+∞)上是减函数,且 f(80)= (1)求正态分布密度函数的解析式; (2)估计尺寸在 72 mm~88 mm 之间的零件大约占总数的百分之几. 解 (1)由于正态曲线在(0,80)上是增函数,在(80,+∞)上是减函数,
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1 . 8 2π

所以正态曲线关于直线 x=80 对称,且在 x=80 处取得最大值. 因此得 μ=80, 1 1 = ,所以 σ=8. 2π· σ 8 2π

故正态分布密度函数的解析式是

(2)由 μ=80,σ=8,得 μ-σ=80-8=72,μ+σ=80+8=88, 所以零件尺寸 X 在区间(72,88)内的概率是 0.682 6.因此尺寸在 72 mm~88 mm 间的零件大约占总数的 68.26%.

综合提高

?限时30分钟?
,有下列四种说法:①

7.对于正态分布 N(0,1)的概率密度函数 P(x)= P(x)为偶函数; ②P(x)的最大值为

1 ; ③P(x)在 x>0 时是单调减函数, 在 x≤0 2π

时是单调增函数;④P(x)关于 σ=1 对称.不正确的是________(填序号). 解析 答案 X~N(0,1),∴曲线的对称轴为 x=μ=0. ④

8.已知某次英语考试的成绩 X 服从正态分布 N(116,64),则 10 000 名考生中成 绩在 140 分以上的人数为________. 解析 由已知得 μ=116,σ=8.

∴P(92<X≤140)=P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997 4, 1 ∴P(X>140)=2(1-0.997 4)=0.001 3, ∴成绩在 140 以上的人数为 13. 答案 13

9.如图是当 σ 取三个不同值 σ1、σ2、σ3 时的三种正态曲线 N(0,σ2)的图象,那 么 σ1、σ2、σ3 的大小关系是________.

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解析

由已知得

1 1 = , 2πσ2 2π

∴σ2=1. 由正态曲线的性质知,当 μ 一定时,曲线的形状由 σ 确定,σ 越小,曲线越 “瘦高”,所以 0<σ1<σ2=1<σ3. 答案 0<σ1<σ2=1<σ3

10.设 X~N(0,1). ①P(-ε<X<0)=P(0<X<ε); ②P(X<0)=0.5; ③已知 P(-1<X<1)=0.682 6, 则 P(X<-1)=0.158 7; ④已知 P(-2<X<2)=0.954 4, 则 P(X<2)=0.977 2; ⑤已知 P(-3<X<3)=0.997 4, 则 P(X<3)=0.998 7. 其中正确的有________(只填序号). 解析 正态曲线关于 y 轴对称,故①②正确.

1 对于③,P(X<-1)=2(1-P(|X|<1)), 1 =2(1-0.682 6)=0.158 7, 故③正确;对于④,P(X<2) 1 =2(1-P(|X|<2))+P(|X|<2) 1 =2(1-0.954 4)+0.954 4=0.977 2; 故④正确,同理⑤正确. 答案 ①②③④⑤
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11.若一批白炽灯共有 10 000 只,其光通量 X 服从正态分布,其正态分布密度

函数是 f(x)= 的灯泡的个数. (1)(203,215);(2)(191,227). 解

,x∈(-∞,+∞),试求光通量在下列范围内

由于 X 的正态分布密度函数为

f(x)= ∴μ=209,σ=6.

,x∈(-∞,+∞),

∴μ-σ=209-6=203,μ+σ=209+6=215. μ-3σ=209-6×3=209-18=191, μ+3σ=209+6×3=209+18=227. 因此光通量 X 的取值在区间(203,215), (191,227)内的概率应分别是 0.682 6 和 0.997 4. (1)于是光通量 X 在(203,215)范围内的灯泡个数大约是 10 000×0.682 6=6 826. (2)光通量在(191,227)范围内的灯泡个数大约是 10 000×0.997 4=9 974. 12 .在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布 N(60,100),已知成绩在 90 分以上(含 90 分)的学生有 13 人. (1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人? (2)若计划奖励竞赛成绩排在前 228 名的学生,问受奖学生的分数线是多少? 解 (1)设学生的成绩为 X,共有 n 人参加竞赛,

∵X~N(60,100),∴μ=60,σ=10. 1 ∴P(X≥90)=2[1-P(30<X<90)] 1 =2(1-0.997 4)=0.001 3. 13 13 又 P(X≥90)= n ,∴ n =0.001 3.∴n=10 000. 故此次参加竞赛的学生总数共有 10 000 人. (2)设受奖的学生的分数线为 x0.
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228 则 P(X≥x0)=10 000=0.022 8. ∵0.022 8<0.5,∴x0>60. ∴P(120-x0<X<x0)=1-2P(X≥x0)=0.954 4, ∴x0=60+20=80.故受奖学生的分数线是 80 分. 13.(创新拓展)已知电灯泡的使用寿命服从正态分布 X~N(1 500,1002)(单位: h). (1)购买一个灯泡,求它的使用寿命不小于 1 400 小时的概率; (2)这种灯泡中,使用寿命最长的占 0.13%,这部分灯泡的使用寿命至少为多 少小时? 解 (1)P(X≥1 400)=1-P(X<1 400) 1-P?1 400<X<1 600? 1+0.682 6 = =0.841 3. 2 2

=1-

(2)设这部分灯泡的使用寿命至少为 x0 小时,

则 x0>1 500,则 P(X≥x0)=0.13%, P(X-1 500≥x0-1 500) = 1-P?|X-1 500 <x0-1 500? =0.13%, 2

P(|X-1 500|<x0-1 500)=1-0.26%=0.997 4, 所以 x0-1 500=300,x0=1 800(小时).

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