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26[1].1.4二次函数y=ax2+bx+c的函数图象和性质获奖课件


2+bx+c的图象和性质 二次函数y=ax y

x

函数y=ax?+bx+c的图象
?我们知道,像二次函数y=a(x-h)2+k的图 象,顶点坐标为(h,k),通过平移抛物线 y=ax2可以得到。 ?二次函数y=3x2-6x+5也能化成这种形式 吗?

函数y=ax?+bx+c的图象
?怎样把函数y=3x2-6x+5的转化成y=a(x-h)2+k的形式?

y ? 3x ? 6 x ? 5 ?配方: 5? ? 2 ? 3? x ? 2 x ? ? 3? ? 5? ? 2 ? 3? x ? 2 x ? 1 ? 1 ? ? 3? ? 2? 老师提示: ? 2 ? 3??x ? 1? ? ? 3? ? 配方后的表达 2 式通常称为配 ? 3?x ? 1? ? 2. 方式或顶点式
2

提取二次项系数 配方:加上再减去一次项 系数绝对值一半的平方 整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项 化简:去掉中括号

函数y=3x2-6x+5的图象特征
?2.根据配方式(顶点式)确定开口方向,对称 轴,顶点坐标.

y ? 3? x ? 1? ? 2.
2

∵a=3>0,∴开口向上; 对称轴:直线x=1; 顶点坐标:(1,2).

直接画函数y=ax?+bx+c的图象
?如果画出函数y=3x2-6x+5的图象?
列表:根据对称性,选取适当值列表计算.
x …
2

-2

-1

0

1

2

3

4



y ? 3?x ? 1? ? 2



29

14

5

2

5

14

29



描表、连线y=3x2-6x+5.gsp

函数y=ax?+bx+c的顶点式
?一般地,对于二次函数y=ax? +bx+c,我们可以利用 配方法推导出它的对称轴和顶点坐标.

?例.求二次函数y=ax? +bx+c的对称轴和顶 点坐标.

b ? 4ac ? b 2 ? y ? a? x ? ? ? . 2a ? 4a ?

2

函数y=ax?+bx+c的顶点式
?例.求次函数y=ax? +bx+c的对称轴和顶点坐标.

?配方:

y ? ax2 ? bx ? c

老师提示:

这个结果通常 称为求顶点坐 标公式.

? 2 b ? b ? ? b ? 2 c ?配方:加上再 ? a? x ? x? ? ? ? ? ? ? ?减去一次项系 ? a ? 2a ? ? 2a ? a ?数绝对值一半 ? ? 的平方 2 2? ?? b ? 4ac ? b ? a ?? x ? ? ? ? 整理:前三项化为平方形 2 2a ? 4a ? 式,后两项合并同类项 ?? ? ?
b ? 4ac ? b 2 ? ? a? x ? ? ? . 化简:去掉中括号 2a ? 4a ?
2

c? ? 2 b ? a? x ? x ? ? a c? ? 2

提取二次项系数

顶点坐标公式

b ? 4ac ? b 2 ? y ? a? x ? ? ? . 2a ? 4a ?

2

因此,二次函数y=ax? +bx+c的图象是一条抛物线.
它的对称轴是直线: x ? ? b . 2a
? b 4ac ? b 2 ? 它的顶点是? ? ? 2a , 4a ?. ? ? ?

练习:写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标

?

?1?. y ? 3x 2 ? 2 x; ?3?. y ? ?2 x
2

?2?. y ? ? x 2 ? 2 x;
1 2 ?4?. y ? x ? 4 x ? 3. 2

? 8 x ? 8;

请你总结函数 函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象和性质

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
1.顶点坐标与对称轴

2.位置与开口方向
3.增减性与最值 根据图形填表: 抛物线

y=ax2+bx+c(a>0)
? b 4ac ? b 2 ? ?? ? 2a , 4a ? ? ? ? b 直线x ? ? 2a

y=ax2+bx+c(a<0)
? b 4ac ? b 2 ? ?? ? 2a , 4a ? ? ? ? b 直线x ? ? 2a

顶点坐标
对称轴 位置 开口方向

由a,b和c的符号确定

由a,b和c的符号确定

向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.

向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.

增减性 最值

b 4ac ? b 2 当x ? ? 时, 最小值为 2a 4a

b 4ac ? b 2 当x ? ? 时, 最大值为 2a 4a

?想一想 2+bx+c和 ?函数y=ax y=ax2的图象之间的关系 是什么?

小结

拓展

回味无穷

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax? 的关系
?1.相同点: ?(1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同). ?(2)都是轴对称图形. ?(3)都有最(大或小)值. (4)a>0时, 开口向上, 在对称轴左侧,y都随x的增大而减小, 在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下, 在对称轴左侧,y都随x的增大而增大, 在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .

驶向胜利 的彼岸

小结

拓展

回味无穷

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax? 的关系
2.不同点: (0,0).

驶向胜利 的彼岸

? b 4ac ? b 2 ? ? ? (1)位置不同(2)顶点不同:分别是? ? 2a , 4a ?和 ? ?

(3)对称轴不同:分别是 和y轴. ? (4)最值不同:分别是 4ac4a b 和0. 3.联系: y=a(x-h)?+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax? 的图象 b b ? ?>0时,向右 先沿x轴整体左(右)平移| |个单位(当 2a 2a b ? 平移;当 <0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平 2a 4ac ? b 4ac ? b ? 移| |个单位 (当 >0时向上平移;当 4ac4a b <0时, 4a 4a 向下平移)得到的.
直线x ? ?
2 2 2 2

b 2a

谢谢大家,再会!

结束寄语
?

探索是数学的生命线.


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