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专题14 数列解答题-三年高考(2015-2017)数学(理)试题分项版解析(原卷版)


1.【2017 山东,理 19】已知{xn}是各项均为正数的等比数列,且 x1+x2=3,x3-x2=2 (Ⅰ)求数列{xn}的通项公式; (Ⅱ) 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 依次连接点 P1(x1, 1), P2(x2, 2)…Pn+1(xn+1, n+1)得到折线 P1 P2…Pn+1, 求由该折线与直线 y=0, x ? x1,x ? xn?1 所围成的区域的面积 Tn .

2. 【 2017

北 京 , 理

20 】 设

{an } 和 {bn } 是 两 个 等 差 数 列 , 记

cn ? max{b1 ? a1n, b2 ? a2n, ???, bn ? ann} (n ? 1, 2,3, ???) ,
其中 max{x1 , x2 , ???, xs } 表示 x1 , x2 , ???, xs 这 s 个数中最大的数.
[来源:学科网]

(Ⅰ)若 an ? n , bn ? 2n ? 1,求 c1 , c2 , c3 的值,并证明 {cn } 是等差数列; (Ⅱ)证明:或者对任意正数 M ,存在正整数 m ,当 n ? m 时,

cn ? M ;或者存在正整数 m ,使得 n

cm , cm?1 , cm?2 , ??? 是等差数列.
3.【2017 天津,理 18】已知 {an } 为等差数列,前 n 项和为 Sn (n ? N? ) , {bn } 是首项为 2 的等比数列,且 公比大于 0, b2 ? b3 ? 12 , b3 ? a4 ? 2a1 , S11 ? 11b4 . (Ⅰ)求 {an } 和 {bn } 的通项公式;
[来源:学科网 ZXXK]

4.【2017 浙江,22】(本题满分 15 分)已知数列{xn}满足:x1= 1,xn=xn+1+ln(1+xn +1)( n ? N ). 证明:当 n ? N 时, (Ⅰ)0<xn+1<xn; (Ⅱ)2xn+1? xn≤ (Ⅲ)
xn xn?1 ; 2
?

?

1 1 ≤xn≤ n? 2 . n ?1 2 2

5.【2017 江苏,19】 对于给定的正整数 k ,若数列 {an } 满足 an?k ? an?k ?1 ? ? ? an?1 ? an?1 ? ? ? an?k ?1 ? an?k
? 2kan 对任意正整数 n(n ? k ) 总成立,则称数列 {an } 是“ P(k ) 数列”.

[来源:Zxxk.Com]

(1)证明:等差数列 {an } 是“ P(3) 数列”; (2)若数列 {an } 既是“ P(2) 数列” ,又是“ P(3) 数列” ,证明: {an } 是等差数列. 6. 【2016 高考新课标 2 理数】 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,且 a1 =1 ,S7 ? 28. 记 bn = ?lg an ? ,其中 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数,如 ?0.9? =0, ?lg99? =1 . (Ⅰ)求 b1,b11,b101 ; (Ⅱ)求数列 ?bn ? 的前 1 000 项和. 7. 【2016 高考山东理数】 (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn=3n2+8n, ?bn ? 是等差数列,且 an ? bn ? bn?1. (Ⅰ)求数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)令 cn ?

(an ? 1)n?1 . 求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn. (bn ? 2)n
n?2 n? N* ? , n ?1 ? 2

8.【2015 高考广东,理 21】数列 ?an ? 满足 a1 ? 2a2 ? ? nan ? 4 ? (1) 求 a3 的值; (2) 求数列 ?an ? 前 n 项和 Tn ; (3) 令 b1 ? a1 , bn ?

Tn?1 ? 1 1 1? ? ?1 ? ? ? ??? ? ? an ? n ? 2 ? , 证 明 : 数 列 ?bn ? 的 前 n 项 和 S n 满 足 n ? 2 3 n?

Sn ? 2 ? 2 ln n .
9.【2016 高考江苏卷】 (本小题满分 16 分)

100? . 对 数 列 ?an ? n ? N * 记 U ? ?1,2,…,

?

? 和U

的 子 集 T , 若 T ? ? , 定 义 ST ? 0 ; 若

T ? ?t1, t2 ,…,tk ? , 定 义 ST ? at1 ? at2 ? …+atk . 例 如 : T = ?1,3,66? 时 , ST ? a1 ? a3+ a6 6. 现 设

?an ? ? n? N* ? 是公比为 3 的等比数列,且当 T = ?2, 4? 时, ST =30 .
(1)求数列 ?an ? 的通项公式;

k? ,求证: ST ? ak ?1 ; (2)对任意正整数 k ?1 ? k ? 100? ,若 T ? ?1,2,…,
(3)设 C ? U , D ? U , SC ? SD ,求证: SC ? SC?D ? 2SD . 10.【2015 江苏高考,20】 (本小题满分 16 分) 设 a1 , a2 , a3 , a4 是各项为正数且公差为 d ( d ? 0) 的等差数列 (1)证明: 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 依次成等比数列; (2)是否存在 a1 , d ,使得 a1 , a22 , a33 , a44 依次成等比数列,并说明理由;
n n? k n? 2 k n?3k (3)是否存在 a1 , d 及正整数 n, k ,使 得 a1 依次成等比数列,并说明理由. , a2 , a3 , a4
a a a a

11. 【2015 高考山东,理 18】设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .已知 2Sn ? 3n ? 3 . (I)求 ?an ? 的通项公式; (II)若数列 ?bn ? 满足 anbn ? log3 an ,求 ?bn ? 的前 n 项和Tn . 12. 【2016 高考天津理数】已知 ?an ? 是各 项均为正数的等差数列,公差为 d ,对任意的 n ? N ?, bn 是 an 和

an ?1 的等差中项.
2

[来源:Z,xx,k.Com]

(Ⅰ)设 cn ? bn?1 ? bn , n ? N ,求证: ?cn ? 是等差数列;
2 *

(Ⅱ)设 a1 ? d , Tn ?

? ? ?1?
k ?1

2n

n

bn 2 , n ? N * ,求证: ?

1 1 ? 2. 2d k ?1 Tk

n

13.【2016 高考新课标 3 理数】已知数列 {an } 错误!未找到引用源。的前 n 项和 Sn ? 1 ? ? an 错误!未找到 引用源。 ,错误!未找到引用源。其中 ? ? 0 . (I)证明 {an } 错误!未找到引用源。是等比数列,并求其通项公式; (II)若 S5 ?

31 错误!未找到引用源。 ,求 ? . 32

14. 【2014 新课标,理 17】 (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 =1, an?1 ? 3an ? 1 . (Ⅰ)证明 an ? 1 是等比数列,并求 ?an ? 的通项公式;

?

2

?

(Ⅱ)证明: 1 ? 1 ? …+ 1 ? 3 .

a1

a2

an

2

15. 【2015 高考四川,理 16】设数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 2an ? a1 ,且 a1 , a2 ? 1, a3 成等差数列.

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)记数列 {

1 1 成立的 n 的最小值. } 的前 n 项和 Tn ,求得 | Tn ? 1|? 1000 an

16. 【2016 高考浙江理数】设数列 ?an ? 满足 an ?
n ?1 a1 ? 2 , n ? ?? ; (I)证明: an ? 2

an?1 ? 1 , n ? ?? . 2

?

?

?3? ? ? (II)若 an ? ? ? , n ? ? ,证明: an ? 2 , n ? ? . ?2?
2 17.【2015 高考新课标 1,理 17】 Sn 为数列{ an }的前 n 项和.已知 an >0,an ? an = 错误!未找到引用源。.

n

(Ⅰ)求{ an }的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 错误!未找到引用源。 ,求数列{ bn }的前 n 项和. an an?1

18. 【2014 课标Ⅰ,理 17】 已 知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , an ? 0 , an an?1 ? ? Sn ?1,其中 ? 为常数, (I)证明: an? 2 ? an ? ? ; (II)是否存在 ? ,使得 ?an ? 为等差数列?并说明理由. 19. 【2016 年高考北京理数】 (本小题 13 分) 设数列 A: a1 , a2 ,… aN ( N ? ).如果对小于 n ( 2 ? n ? N )的每个正整数 k 都有 ak < an ,则称 n 是 数列 A 的一个“G 时刻”.记“ G ( A) 是数列 A 的所有“G 时刻”组成的集合. (1)对数列 A:-2,2,-1,1,3,写出 G ( A) 的所有元素; (2)证明:若数列 A 中存在 an 使得 an > a1 ,则 G( A) ? ? ; (3)证明:若数列 A 满足 an - an ?1 ≤1(n=2,3, …,N),则 G ( A) 的元素个数不小于 aN - a1 .

20. 【2015 高考浙江,理 20】已知数列 ?an ? 满足 a1 =

1 * 2 且 an ?1 = an - an ( n ? N ) 2

(1)证明:1 ?

an ? 2 ( n? N* ) ; an ?1

2 (2)设数列 an 的前 n 项和为 Sn ,证明

? ?

S 1 1 * ( n ? N ). ? n? 2(n ? 2) n 2(n ? 1)

21. 【2015 高考重庆,理 22】在数列 ?an ? 中, a1 ? 3, an?1an ? ?an?1 ? ?an 2 ? 0 ? n ? N? ? (1)若 ? ? 0, ? ? ?2, 求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 ? ?

1 1 1 ? ak0 ?1 ? 2 ? ? k0 ? N ? , k0 ? 2 ? , ? ? ?1, 证明: 2 ? k0 3k0 ? 1 2 k0 ? 1

22. 【2015 高考安徽,理 18】设 n ? N , x n 是曲线 y ? x
*

2n?2

2) 处的切线与 x 轴交点的横坐标. ? 1 在点 (1,

(Ⅰ)求数列 { xn } 的通项公式;

[来源:Zxxk.Com]

2 2 2 (Ⅱ)记 Tn ? x1 x3 ? x2 n ?1 ,证明 Tn ?

1 . 4n

23 . 【2016 年高考四川理数】 (本小题满分 12 分) 已知数列{ an }的首项为 1, Sn 为数列 {an } 的前 n 项和, Sn?1 ? qSn ? 1 ,其中 q>0, n ? N * . (Ⅰ)若 2a2 , a3 , a2 ? 2 成等差数列,求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设双曲线 x ?
2

y2 4n ? 3n 5 e e ? 的离心率为 ,且 ,证明: e ? e ? ??? ? e ? ? 1 2 1 2 n n 2 3 3n ?1 . an

24.

【 2015

高 考 天 津 , 理

18 】( 本 小 题 满 分

13

分 ) 已 知 数 列 {an } 满 足

an?2 ? qan (q为实数,且q ? 1 , ) n?N a *1 ? , a ? 1 2 , ,且 2

a2 + a3 , a3 + a4 , a4 + a5 成等差数列.
(I)求 q 的值和 {an } 的通项公式; (II)设 bn ?

log 2 a2 n , n ? N * ,求数列 {bn } 的前 n 项和. a2 n?1

25. 【2015 高 考湖北,理 18】设等差数列 {an } 的公差为 d,前 n 项和为 S n ,等比数列 {bn } 的公比为 q .已 知 b1 ? a1 , b2 ? 2 , q ? d , S10 ? 100 .

(Ⅰ)求数列 {an } , {bn } 的通项公式;

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(Ⅱ)当 d ? 1 时,记 cn ?

an ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . bn


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