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2017-2018学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.6 微积分基本定理优化练习 新人教A版选修2-2

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1.6 微积分基本定理

[课时作业]

[A 组 基础巩固]

1.??241x dx 等于(

)

A.-2ln 2

B.2ln 2

C.-ln 2

D.ln 2

解析:∵(ln x)′=1x,

∴??241xdx=(ln x)|42 =ln 4-ln 2=ln 2.
答案:D 2.如图,阴影区域的边界是直线 y=0,x=2,x=0 及曲线 y=3x2,则这个区域的面

积是( )

A.4

B.8

1

1

C.3

D.2

解析:由定积分的几何意义,得 S=??023x2dx=x3|20 =23-0=8,故答案为 B.

答案:B

3.定积分??01(2x+ex)dx 的值为(

)

A.e+2

B.e+1

C.e

D.e-1

解析:??01(2x+ex)dx=(x2+ex)|10 =(1+e)-(0+e0)=e,因此选 C.

答案:C

4.已知 f(x)=2-|x|,则??2-1f(x)dx 等于(

)

A.3

B.4

C.72

D.92

1

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解析:f(x)=2-|x|=?????22- +xx, ,xx≥ <0,0,

∴??2-1f(x)dx=??0-1(2+x)dx+??02(2-x)dx=???2x+x22???|0-1 +???2x-x22???|20 =32+2=72.
答案:C

5.函数 F(x)=??0xt(t-4)dt 在[-1,5]上(

)

A.有最大值 0,无最小值

B.有最大值 0 和最小值-332

32 C.有最小值- 3 ,无最大值

D.既无最大值也无最小值

解析:F(x)=??0x(t2-4t)dt=???13t3-2t2???|x0=13x3-2x2(-1≤x≤5). F′(x)=x2-4x,由 F′(x)=0 得 x=0 或 x=4,列表如下:

x

(-1,0)

0

(0,4)

4

(4,5)

F′(x)



0



0



F(x)

极大值

极小值

∴极大值 F(0)=0,极小值 F(4)=-332.



F(-1)=-73,F(5)=-235,∴最大值为

32 0,最小值为- 3 .

答案:B

6.(2015·高考湖南卷)??02(x-1)dx=________.

解析:??02(x-1)dx=???12x2-x???|20=(2-2)-0=0.
答案:0

7.若??1a(2x+1x)dx=3+ln 2,则 a=________.

解析:??1a(2x+1x)dx=(x2+ln x)|a1 =a2+ln a-1=3+ln 2,

∴a=2.

答案:2

2

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??x2,x∈[0,1] 8.设 f(x)=???1x,x∈ ,

e
(e 为自然对数的底数),则??0 f(x)dx 的值为

________.
解析:依题意得??0ef(x) dx=??01x2 dx+??1e 1xdx =13x3|10+ln x|e1=43.
答案:43 9.计算下列定积分:
(1)??12(2x2-1x)dx;
?
? (2) 3 (sin x-sin 2x)dx. 0
解析:(1)函数 y=2x2-1x的一个原函数是 y=23x3-ln x.

所以??12(2x2-1x)dx=(23x3-ln x)|21 =136-ln 2-23=134-ln 2.
(2)函数 y=sin x-sin 2x 的一个原函数为 y=-cos x+12cos 2x.

? 所以

? 3

(sin

x-sin

2x)dx=(-cos

x+12cos

2x)

? 3

0

0

=(-12-14)-(-1+12)=-14.
10.已知 f(x)为二次函数,且 f(-1)=2,f′(0)=0,??01f x dx=-2. (1)求 f(x)的解析式; (2)求 f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值. 解析:(1)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 则 f′(x)=2ax+b.由 f(-1)=2,f′(0)=0,

得?????ab-=b0+c=2 ,即?????bc==02-a . ∴f(x)=ax2+(2-a). 又??01f(x)dx=??01[ax2+(2-a)]dx

3

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=[13ax3+ (2-a)x]|10=2-23a=-2,

∴a=6,∴c=-4.从而 f(x)=6x2-4. (2)∵f(x)=6x2-4,x∈[-1,1],

所以当 x=0 时,f(x)min=-4; 当 x=±1 时,f(x)max=2.
[B 组 能力提升]

1.若 f(x)=x2+2??01f(x)dx,则??01f(x)dx=(

)

A.-1

B.-13

C.13

D.1

解析:令 m=??01f(x)dx,则 f(x)=x2+2??01f(x)dx=x2+2m, 所以 m=??01f(x)dx=??01??x2+2??01f x dx??dx= ??01(x2+2m)dx=??01(x2)dx+2m=13+2m,

所以 m=-13? ??01f(x)dx=-13.
答案:B

2. ??-33(x3cos x)dx=________. 解析:∵y=x3cos x 为奇函数,∴??3-3 (x3cos x)dx=0.
答案:0

3.函数 f(x)=sin(ω x+φ )的导函数 y=f′(x)的部分图象如图所示,其中,P 为图 象与 y 轴的交点,A,C 为图象与 x 轴的两个交点,B 为图象的最低点.

(1)若 φ =π6 ,点 P 的坐标为???0,3 2 3???,则 ω =________. (2)若在曲线段 ABC 与 x 轴所围成的区域内随机取一点,则该点在△ABC 内的概率为
4

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________.
解析:(1)y=f′(x)=ω cos(ω x+φ ),当 φ =π6 ,点 P 的坐标为???0,3 2 3???时,
ω cosπ6 =3 2 3,所以 ω =3. (2)由题图知 AC=T2=πω , S△ABC=12AC·ω =π2 , 设 A,C 的横坐标分别为 a,b.

设曲线段 ABC 与 x 轴所围成的区域的面积为 S,则

S=????abf

x dx??=|f(x)|ba |

=|sin(ω b+φ )-sin(ω a+φ )|=2,

由几何概型知该点在△ABC 内的概率为 P=S△SABC=π4 .

答案:(1)3 (2)π4
4.设 f(x)=ax+b 且??-11f2(x)dx=1,求 f(a)的取值范围. 解析:∵??1-1f2(x)dx =??1-1 (a2x2+2abx+b2)dx
=(13a2x3+abx2+b2x)|1-1
=23a2+2b2, ∴23a2+2b2=1,∴a2=32-3b2, 又∵f(a)=a2+b=-3b2+b+32 =-3(b-16)2+1192, ∴当 b=16时,f(a)max=1129. ∴f(a)≤1129.

5

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5.若 f(x)是一次函数,且??01f(x)dx=5,??01xf

x

dx=167.求??12f

x x

dx 的值.

解析:∵f(x)是一次函数,

∴设 f(x)=ax+b(a≠0),由??01(ax+b)dx=5 得 (12ax2+bx)|10=12a+b=5.①

由??01xf(x)dx=167得??01(ax2+bx)dx=167, 即(13ax3+12bx2)|10=167,∴13a+12b=167.②

解①②得 a=4,b=3,∴f(x)=4x+3,

于是??12f

x x

dx=??124xx+3dx=??12(4+3x)dx

=(4x+3ln x)|21=8+3ln 2-4=4+3ln 2.

6


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