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高中数学第4章圆与方程4.1圆的方程4.1.1圆的标准方程教材梳理素材新人教A版必修2

4.1.1 圆的标准方程 疱丁巧解牛 知识·巧学 一、圆的定义及标准方程 当圆的圆心位置与半径大小确定后,圆就唯一确定了.在直角坐标系中,圆心 A 的坐标 为(a,b),半径为 r 的圆就是集合 P={M||MA|=r}. 2 2 2 上述圆的标准方程为(x-a) +(y-b) =r .其中当圆的圆心在坐标原点时, 标准方程就成为 2 2 2 x +y =r . 2 2 2 2 要点提示 当圆心为原点时,方程化为 x +y =r .由于方程的右端 r >0,故当右端小于 0 或等 2 2 2 于 0 时不是圆的方程.圆的标准方程(x-a) +(y-b) =r 中有三个参数 a、 b、 r, 只要求出 a、 b、 r,这时圆的方程就被确定,因此确定圆方程,需三个独立条件,其中圆心是圆的定位条件, 半径是圆的定形条件. 二、点与圆的位置关系 2 2 2 给出点 M(x0,y0)和圆 C: (x-a) +(y-b) =r , 通过比较点到圆心的距离和半径的大小关系, 得到: 2 2 2 (1)若点 M 在圆 C 上,则有(x0-a) +(y0-b) =r ; 2 2 2 (2)若点 M 在圆 C 外,则有(x0-a) +(y0-b) >r ; 2 2 2 (3)若点 M 在圆 C 内,则有(x0-a) +(y0-b) <r . 方法点拨 判断一个点与圆的位置关系, 除了应用数形结合外, 还可以通过方程来判断.只需 2 2 将该点的坐标代入圆的标准方程左侧,若结果等于 r ,则点在圆上;若结果大于 r ,则点在 2 圆外;若结果小于 r ,则点在圆内. 问题·探究 问题 1 过两点能作多少个圆?过不共线的三点呢?确定一个圆需具备哪些条件? 探究:若以这两点连线为弦,则可作无数个圆;若以这两点作为一个圆的直径的两个端点, 则可确定一个圆.过不共线的三点, 能且仅能作一个确定的圆.所以确定一个圆, 需要知道圆 的圆心与半径.圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小. 问题 2 如果一个动点 P 与两个定点 A、B 的距离的平方和为 122,A、B 两点间的距离为 10, 你能判断出动点 P 的轨迹吗? 探究:判断 P 点的轨迹形状,可以从其方程入手,这就需要先建立直角坐标系.由题意,以 AB 所在直线为 x 轴, 线段 AB 的垂直平分线为 y 轴, 建立平面直角坐标系,则 A(-5,0), B(5,0), 2 2 2 2 设动点 P(x,y),则|PA| +|PB| =122,得 x +y =36. 所以可以判断 P 点的轨迹是一个半径为 6 的圆. 典题·热题 例 1 根据下列条件,求圆的方程. (1)圆心在直线 5x-3y=8 上,且圆与坐标轴相切,求此圆方程; (2)已知圆心 C(2,-1),且截直线 y=x-1 所得的弦长为 22,求圆 C 的方程. 思路解析:对于(1)可用标准方程与待定系数法解答;对于(2),由于已知圆心,故只需求出 半径,根据垂径定理:弦长的一半与弦心距、半径组成一个直角三角形,故半径可求. 2 2 2 解:(1)设所求圆的方程为(x-x0) +(y-y0) =r , 因为圆与坐标轴相切,故圆心满足 x0-y0=0 或 x0+y0=0. 又圆心在直线 5x-3y=8 上,所以 5x0-3y0=8.解方程组 ? x 0 ? y 0 ? 0, ? x 0 ? 4, ? x 0 ? 1, ? x0 ? y 0 ? 0, 或? 解得 ? 或? ? ?5 x 0 ? 3 y 0 ? 8 ?5 x0 ? 3 y 0 ? 8. ? y 0 ? 4 ? y 0 ? ?1. 1 圆心坐标为(4,4)或(1,-1),所以可得半径 r=4 或 r=1. 2 2 2 2 所以所求圆的方程为(x-4) +(y-4) =16 或(x-1) +(y+1) =1. (2)由已知可设所求圆的半径为 r,圆心到直线 y=x-1 的距离为 d,则 d= | 2 ? (?1) ? 1 | 12 ? (?1) 2 ? 2. 因为直线 y=x-1 被圆截得的弦长为 2 2 ,所以 2 ? 2 2 r 2 ? d 2 ,所以 r2=4,故所求圆 的方程为(x-2) +(y+1) =4. 深化升华 本题两个题目所给条件均与圆心和半径有关,故都利用了圆的标准方程求解 .此 外,平面几何性质的应用使得解法简便了许多.所以类似问题一定要注意圆的相关几何性质 的应用,从确定圆的圆心与半径入手解决. 例 2 求经过两点 A(-1,4)、B(3,2)且圆心在 y 轴上的圆的方程. 思路解析:思路一是先设出圆的标准方程,而后用待定系数法求出圆心坐标和半径.思路二 是抓住圆的性质及题目的特点,由线段 AB 的垂直平分线及 y 轴求出圆心坐标,进一步得其 半径,由此列式可得. 解:法一:设圆心 C(a,b),∵圆心在 y 轴上,∴a=0. 2 2 2 设圆的标准方程为 x +(y-b) =r .∵该圆经过 A、B 两点, ∴? 2 2 2 ? ?b ? 1, ?(?1) ? (4 ? b) ? r 2 2 所以圆的方程是 x +(y-1) =10. ? ? 2 2 2 2 ? ?r ? 10. ?3 ? (2 ? b) ? r 法二:线段 AB 的中点为(1,3),kAB= 2?4 1 ?? , 3 ? (?1) 2 ∴弦 AB 的垂直平分线方程为 y-3=2(x-1),即 y=2x+1. 由? ? y ? 2 x ? 1, ? x ? 0, 得? 故点 (0,1) 为所求圆的圆心 . 由两点间距离公式得圆半径 ? x ? 0, ? y ? 1. 2 2 r= 10 ,所求圆的方程为 x +(y-1) =10. 深化升华 使用待定系数法求圆的方程是数学中常用的一种方法,例如确定二次函数的解析 式、求直线等.由于圆的标准方程中含有三个待定系数 a、b、r,因此必须具备三个独立条 件才能确定一个圆,也即根据三个独立条件,列出三个方程,解

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