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河北省唐山市开滦第二中学高中数学 3.2一般形式的柯西不等式学案 新人教A版选修4-5


河北省唐山市开滦第二中学高中数学 3.2 一般形式的柯西不等式学 案 新人教 A 版选修 4-5
【学习目标】 1、掌握三维形式和多维形式的柯西不等式。 2、通过运用一般形式的柯西不等 式分析解决一些简单问题。 【重点难点】 一般形式的柯西不等式 【学习过程】 一、问题情景导入 平面上向量的坐标(x,y)是二维 形式的,空间向量的坐标(x,y,z)是三维形式的 二、自学探究: (阅读课本第 37-40 页,完成下 面知识点的梳理) 定理:设 a1, a2 , a3 ,?, an , b1, b2 , b3 ,?bn 是实数,则________当且仅当_ __ ___或 存在一 个实数 k,使得______时,等号成立。 三、例题演练: 例1、 已知 a1, a2 , a3 ,?, an , 都是实数,求证:

1 ( a1 ? a2 ? ? ? an )2 ≤ a12 ? a22 ? ?? an 2 n

例2、 已知 a,b,c,d 是不全相等的正数,证明 ;

a 2 ? b2 ? c2 ? d 2 > ab ? bc ? cd ? da

1

例3、 已知 x ? 2 y ? 3z ? 1 ,求 x 2 ? y 2 ? z 2 的最小值

【课堂小结与反思】

2

【课后作业与练 习】 1、设 a, b, c ∈ R? ,且 a ? b ? c ? 1 ,则 a ? b ? c 的最大值是

2、设 x, y,z∈R,2x+2y+z+8= 0,则 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? ( z ? 3)2 的最小值是多少

3、设 x1, x2 , x3 ,?, xn 都是 正实数,且 x1 ? x2 ? x3 ? ? ? xn ? S 求证:

x12 x2 x2 S ? 2 ??? n ? S ? x1 S ? x2 S ? xn n ? 1

4 、设 f ? x ? ? lg

1x ? 2x ? ? ? (n ? 1)x ? a ? n x ,若 0 ≤ a ≤ 1 , n ∈ N ? 且 n ≥ 2 ,求证: n

f ?2x? ? 2 f ? x ?
3

5、若实数 x+y+z=1,则求 2 x 2 ? y 2 ? 3z 2 的最小值

6、 已知实数 a, b, c, d 满足 a ? b ? c ? d ? 3 ,

a 2 ? 2b2 ? 3c2 ? 6d 2 ? 5 ,求 a 的 最大值

7、已知 a ? b ? c ? 1 ,且 a, b, c ∈ R? ,求

2 2 2 ? ? 的最小值 a?b b?c c?a

4



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