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北京市海淀区2018届高三第二学期期末练习(二模)数学(理)试题Word版含答案


海淀区高三年级第二学期期末练习 数学 (理科)
第一部分(选择题

2018.5
共 40 分)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选 出符合题目要求的一项。 (1)已知全集 U ? ?1,2,3,4,5,6? ,集合 A ? ?1,2,4? , B ? ?1,3,5? ,则 (CU A) B ? A. ?1? B. ?3,5? C. ?1,6? D.

?1,3,5,6?

(2)已知复数 z 在复平面上对应的点为 (1, ? 1) ,则 A. z ? 1 是实数 B. z ? 1 是纯虚数 C. z ? i 是实数 D. z ? i 是纯虚数 (3)已知 x A.
y 0 ,则

1 x

1 y

1 B. ( ) x 2

1 ( )y 2

C. cos x

cos y

D. ln( x+1)

ln( y ? 1)

(4)若直线 x ? y ? a ? 0 是圆 x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 的一条对称轴,则 a 的值为 A. 1 B. ?1 C. 2 D. ?2
y2 ? 1 ”是“ C 的渐近线方程为 4

(5)设曲线 C 是双曲线,则“ C 的方程为 x 2 ?
y ? ?2 x ”的

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

(6)关于函数 f ( x)=sinx-xcosx ,下列说法错误的是 A. f ( x) 是奇函数 B. 0 不是 f ( x) 的极值点 C. f ( x) 在 (?

? ?
2 ,

2

) 上有且仅有 3 个零点

D. f ( x) 的值域是 R

(7)已知某算法的程序框图如图所示,则该算法的功能是 A.求首项为 1,公比为 2 的等比数列的前 2017 项的和 B. 求首项为 1,公比为 2 的等比数列的前 2018 项的和 C. 求首项为 1,公比为 4 的等比数列的前 1009 项的和 D. 求首项为 1,公比为 4 的等比数列的前 1010 项的和 (8)已知集合 M ? ? x ? N * 1 ? x ? 15? ,集合 A1 , A2 , A3 满足 ①每个集合都恰有 5 个元素 ② A1

A2

A3 ? M

集合 Ai 中元素的最大值与最小值之和称为集合 Ai 的特征数,记为 X i (i ? 1, 2,3) , 则 X1 ? X 2 + X 3 的值不可能为 A. 37 B. 39 C. 48 D. 57

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 ? (9)极坐标系中,点 (2, ) 到直线 ? cos ? ? 1的距离为 2
2 (10)在 ( x ? )5 的二项展开式中, x3 的系数为 x

. . ,

(11) 已知平面向量 a , b 的夹角为
a ? 2b ?

?
3

, 且满足 a =2 ,b =1 , 则a b ?

. .

(12)在 ?ABC 中, a : b : c ? 4 : 5 : 6 ,则 tan A ? (13)能够使得命题“曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 上存在四个点 P, Q, R, S 满足四边形 4 a2

PQRS 是正方形”为真命题的一个实数 a 的值为

.

(14)如图,棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,
M 是棱 AA1 的中点,点 P 在侧面 ABB1 A1 内,若 D1P 垂

直于 CM ,则 ?PBC 的面积的最小值为

.

三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15) (本小题 13 分) ? 如图,已知函数 f ( x) ? A sin x(? x ? ? ) ( A 0, ? 0, ? )在一个周期内的图 2 ? 2? 5? 像经过 B ( , 0) , C ( , 0) , D( , 2) 三点 6 3 12 (Ⅰ)写 A, ? , ? 出的值; (Ⅱ)若 ? ? (
5? 2? , ) ,且 f (? ) ? 1,求 cos 2? 的值. 12 3

(16) (本小题 13 分) 某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的整体情况, 从高二年级随机 抽取 10 名学生进行了两轮测试,并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考 核成绩.记录的数据如下:
1号 第一轮测试成绩 第二轮测试成绩 96 90 2号 89 90 3号 88 90 4号 88 88 5号 92 88 6号 90 87 7号 87 96 8号 90 92 9号 92 89 10 号 90 92

(Ⅰ)从该校高二年级随机选取一名学生,试估计这名学生考核成绩大于 90 分的概率; (Ⅱ)从考核成绩大于 90 分的学生中再随机抽取两名同学,求这两名同学两轮 测试成绩均大于等于 90 分的概率; (Ⅲ)记抽取的 10 名学生第一轮测试的平均数和方差分别为 x1 , s12 ,考核成绩
2 2 的平均数和方差分别为 x2 , s2 ,试比较 x1 与 x2 , s12 与 s2 的大小.(只需写出结

论)

(17) (本小题 14 分) 如图, 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,AC ? BC ? AB1 ? 2, AB1 ? 平面 ABC ,AC1 ? AC ,

D, E 分别是 AC,B1C1 的中点
(Ⅰ)证明: AC ? B1C1 ;

(Ⅱ)证明: DE / / 平面 AA1B1B ; (Ⅲ)求 DE 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值.

(18) (本小题 14 分)
已知椭圆 C:

x2 2 2 ? y 2 ? 1, F 为右焦点,圆 O : x ? y ? 1 , P 为椭圆 C 上一点,且 P 位于 4

第一象限,过点 P 作 PT 与圆 O 相切于点 T ,使得点 F , T 在 OP 的两侧.

(Ⅰ)求椭圆 C 的焦距及离心率; (Ⅱ)求四边形 OFPT 面积的最大值.

(19) (本小题 13 分)

已知函数 f ( x) ? eax ? ax ? 3(a ? 0) (Ⅰ)求 f ( x) 的极值; (Ⅱ)当 a
1 1 0 时,设 g ( x)= e ax ? ax 2 ? 3x ,求证:曲线 y ? g ( x) 存在两条斜率 a 2

为 ?1 且不重合的切线.

(20) (本小题 13 分)

如果数列 ?an ? 满足“对任意正整数 i, j , i ? j ,都存在正整数 k ,使得 ak ? ai a j ” , 则称数列 ?an ? 具有“性质 P ”.已知数列 ?an ? 是无穷项的等差数列,公差为 d (Ⅰ)若 a1 =2 ,公差 d =3 ,判断数列 ?an ? 是否具有“性质 P ” ,并说明理由; (Ⅱ)若数列 ?an ? 具有“性质 P ” ,求证: a1 ? 0 且 d ? 0 ; (Ⅲ)若数列 ?an ? 具有“性质 P ” ,且存在正整数 k ,使得 ak ? 2018 ,这样的数 列共有多少个?并说明理由.

海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案及评分标准

数学(理科)
要求的一项. 1 B 2 C 3 D 4 B 5 A 6 C

2018.5

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目

7 C

8 A

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. (9)1 (11)1; 2 3 (13)答案不唯一, a ? 0 或 a ? 4 的任意实数 注:第 11 题第一空 3 分,第二空 2 分。 三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. (15) (本小题 13 分) 解: (Ⅰ) A ? 2 , ? ? 2 , ? ? ? (10)10 (12)

7 3

(14)

2 5 5

?

3

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 .·

(Ⅱ)由(Ⅰ)得, f ( x) ? 2sin(2 x ?

). 3 ? 1 因为 f (? ) ? 1,所以 sin(2? ? ) ? . 3 2 5? 2? ? ? , ) ,所以 2? ? ? ( , ? ) . 因为 ? ? ( 12 3 3 2 ? 5 所以 2? ? ? ? , 3 6 7 所以 2? ? ? , 6 7 3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 所以 cos 2? ? cos ? ? ? .· 6 2

?

16. (本小题共 13 分) 解:(Ⅰ)这 10 名学生的考核成绩(单位:分)分别为: 93,89.5,89,88,90,88.5,91.5,91,90.5,91. 其中大于等于 90 分的有 1 号、5 号、7 号、8 号、9 号、10 号,共 6 人. 所以样本中学生考核成绩大于等于 90 分的频率为:

6 ? 0.6 , 10
从该校高二年级随机选取一名学生,估计这名学生考核成绩大于等于 90 分的概率为 0.6. ………………………………………….4 分 (Ⅱ)设事件 A :从上述考核成绩大于等于 90 分的学生中再随机抽取两名同学,这两 名同学两轮测试成绩均大于等于 90 分. 由(Ⅰ)知,上述考核成绩大于等于 90 分的学生共 6 人,其中两轮测试成绩均大于等 于 90 分的学生有 1 号,8 号,10 号,共 3 人. 所以, P( A) ?

C32 3 1 ? ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 2 C6 15 5
2 2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 (Ⅲ) x1 ? x2 , s1 ? s2 . · 17.(本小题共 14 分) 解: (Ⅰ)因为 AB1 ⊥平面 ABC , AC ? 平面 ABC , 所以 AB1 ? AC . 因为 AC1 ? AC , AB1 所以 AC ? 平面 AB1C1 . 因为 B1C1 ? 平面 AB1C1 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 所以 AC ? B1C1 . · (Ⅱ)取 A1B1 的中点 M ,连接 MA 、 ME . 因为 E 、 M 分别是 B1C1 、 A1B1 的中点, 所以 ME∥ AC 1 1 ,且 ME ?

AC1 ? A , AB1 , AC1 ? 平面 AB1C1 ,

C1

E B1

A1 M

1 A1C1 . 2

在三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中, AD

AC 1 1 ,且 AD ?

1 A1C1 , 2

所以 ME∥AD,且 ME=AD, 所以四边形 ADEM 是平行四边形, 所以 DE∥AM. 又 AM ? 平面 AA 1B 1B , DE ? 平面 AA 1B 1B , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 所以 DE / / 平面 AA1 BB . · (Ⅲ)在三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中, BC / / B 1C1 , 因为 AC ? B1C1 ,所以 AC ? BC . 在平面 ACB1 内,过点 C 作 Cz / / AB1 , 因为, AB1 ? 平面 ABC ,

C B
z

D

A

C1 E B1

A1

C

D

y

A

B
x

所以, Cz ? 平面 ABC . 建立空间直角坐标系 C-xyz,如图.则

C (0,0,0) , B(2, 0, 0) , B1 (0, 2, 2) , C1 (?2, 2, 2) , D(0,1, 0) , E (?1, 2, 2) .

DE ? (?1,1, 2) , CB ? (2,0,0) , CB1 ? (0, 2, 2) .
设平面 BB1C1C 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则

? ?2 x ? 0 ?n ? CB ? 0 ,即 ? , ? 2 y ? 2 z ? 0 n ? CB ? 0 ? ? ? 1
得 x ? 0 ,令 y ? 1 ,得 z ? ?1 ,故 n ? (0,1, ?1) . 设直线 DE 与平面 BB1C1C 所成的角为 θ, 则 sinθ= cos ? DE , n ? ?

DE ? n | DE | ? | n |

?

3 , 6
3 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分 6

所以直线 DE 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 18. (本小题共 14 分) 解: (Ⅰ)在椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1中, a ? 2 , b ? 1 , 4
c 3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 .· ? a 2
y

所以 c ? a2 ? b2 ? 3 , 故椭圆 C 的焦距为 2c ? 2 3 ,离心率 e ?

(Ⅱ)法一:设 P( x0 , y0 ) ( x0 ? 0 , y0 ? 0 ) ,

x2 x2 2 2 则 0 ? y0 ? 1,故 y0 ? 1? 0 . 4 4
2 2 2 2 2 所以 | TP | ?| OP | ? | OT | ? x0 ? y0 ? 1 ?

T P

3 2 x0 , 4

O

F

x

3 x0 , 2 1 3 S?OTP ? | OT | ? | TP | ? x0 . 2 4 1 3 又 O (0, 0) , F ( 3,0) ,故 S?OFP ? OF ? y0 ? y0 . 2 2 3 x0 因此 S四边形OFPT ? S?OFP ? S?OTP ? ? ( ? y0 ) 2 2
所以 | TP | ?

?


2 3 x0 3 2 ? ? x0 y0 ? y0 ? ? 1 ? x0 y0 . 2 4 2

2 x0 x2 2 2 ? y0 ? 1,得 2 0 ? y0 ? 1 ,即 x0 ? y0 ? 1 , 4 4

3 6 , ? 1 ? x0 y0 ? 2 2 x2 1 2 2 · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分 当且仅当 0 ? y0 时等号成立. · ? ,即 x0 ? 2 , y0 ? 4 2 2
所以 S四边形OFPT ? 19. (本小题共 13 分) 解: (Ⅰ) f '( x) ? a ? eax ? a ? a ? (eax ?1) (a ? 0, x ? R) , 令 f '( x) ? 0 ,得 x ? 0 . ①当 a ? 0 时, f '( x) 与 eax ? 1 符号相同, 当 x 变化时, f '( x) , f ( x ) 的变化情况如下表:

x
f '( x) f ( x)

(??, 0)

0 0
极小

(0, ??)

?


?


②当 a ? 0 时, f '( x) 与 eax ? 1 符号相反, 当 x 变化时, f '( x) , f ( x ) 的变化情况如下表:

x
f '( x) f ( x)

(??, 0)

0 0
极小

(0, ??)

?


?


· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 综上, f ( x ) 在 x ? 0 处取得极小值 f (0) ? ?2 . · (Ⅱ) g '( x) ? eax ? ax ? 3 ? f ( x) (a ? 0, x ? R) , 故 g '( x) ? ?1 ? f ( x) ? ?1 .
2 ?2 注意到 f (0) ? ?2 ? ?1 , f ( ) ? e ? 5 ? ?1 , f (? ) ? e ? 1 ? ?1 ,

2 a

2 a

2 2 , 0) , x2 ? (0, ) ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 . a a 因此,曲线 y ? g ( x ) 在点 P 2 ( x2 , f ( x2 )) 处的切线斜率均为 ?1 . 1 ( x1 , f ( x1 )) , P
所以, ?x1 ? (? 下面,只需证明曲线 y ? g ( x ) 在点 P 2 ( x2 , f ( x2 )) 处的切线不重合. 1 ( x1 , f ( x1 )) , P 曲线 y ? g ( x ) 在点 P 处的切线方程为 y ? g ( xi ) ? ?( x ? xi ) , i ( xi , f ( xi ))( i ? 1, 2 ) 即 y ? ? x ? g ( xi ) ? xi .假设曲线 y ? g ( x ) 在点 P i ( xi , f ( xi )) ( i ? 1, 2 )处的切线重合,则

g ( x2 ) ? x2 ? g ( x1 ) ? x1 .
令 G( x) ? g ( x) ? x ,则 G( x1 ) ? G( x2 ) ,且 G '( x) ? g '( x) ? 1 ? f ( x) ? 1. 由(Ⅰ)知,当 x ? ( x1 , x2 ) 时, f ( x) ? ?1 ,故 G '( x) ? 0 . 所以, G ( x) 在区间 [ x1 , x2 ] 上单调递减,于是有 G( x1 ) ? G( x2 ) ,矛盾! · · · · · · · · 13 分 因此,曲线 y ? g ( x ) 在点 P i ( xi , f ( xi )) ( i ? 1, 2 )处的切线不重合. ·

20. (本小题 13 分) 解: (Ⅰ)若 a1 ? 2 ,公差 d ? 3 ,则数列 {an } 不具有性质 P . 理由如下: 由 题 知 an ? 3n ? 1 , 对 于 a1 和 a2 , 假 设 存 在 正 整 数 k , 使 得 ak ? a1a2 , 则 有

3k ? 1 ? 2 ? 5 ? 10 ,解得 k ?

(Ⅱ)若数列 ?an ? 具有“性质 P”,则

11 ,矛盾!所以对任意的 k ? N* , ak ? a1a2 . ……3 分 3

①假设 a1 ? 0 , d ? 0 ,则对任意的 n ? N* , an ? a1 ? (n ?1) ? d ? 0 . 设 ak ? a1 ? a2 ,则 ak ? 0 ,矛盾! ②假设 a1 ? 0 , d ? 0 ,则存在正整数 t ,使得

a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? at ? 0 ? at ?1 ? at ?2 ? ???
* 设 a1 ? at ?1 ? ak1 , a1 ? at ?2 ? ak2 , a1 ? at ?3 ? ak3 ,…, a1 ? a2t ?1 ? akt?1 , ki ? N ,

i ? 1, 2,
矛盾!

, t ? 1,则 0 ? ak1 ? ak2 ? ak3 ? ??? ? akt?1 ,但数列 {an } 中仅有 t 项小于等于 0,

③假设 a1 ? 0 , d ? 0 ,则存在正整数 t ,使得

a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? at ? 0 ? at ?1 ? at ?2 ? ???
at ?1 ? a2t ?2 ? akt?1 , at ?1 ? at ?3 ? ak2 , at ?1 ? at ?4 ? ak3 , …, 设 at ?1 ? at ?2 ? ak1 , ki ? N* ,
i ? 1, 2,
矛盾! (Ⅲ)设公差为 d 的等差数列 ?an ? 具有“性质 P”,且存在正整数 k ,使得 ak ? 2018 . 若 d ? 0 ,则 {an } 为常数数列,此时 an ? 2018 恒成立,故对任意的正整数 k , 这与数列 ?an ? 具有“性质 P”矛盾,故 d ? 0 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 综上, a1 ? 0 , d ? 0 . ·

, t ? 1,则 0 ? ak1 ? ak2 ? ak3 ? ??? ? akt?1 ,但数列 {an } 中仅有 t 项大于等于 0,

ak ? 2018 ? 20182 ? a1 ? a2 ,

设 x 是数列 {an } 中的任意一项,则 x ? d , x ? 2d 均是数列 {an } 中的项,设

ak1 ? x( x ? d ) , ak2 ? x( x ? 2d )
则 ak2 ? ak1 ? xd ? (k2 ? k1 ) ? d , 因为 d ? 0 ,所以 x ? k2 ? k1 ? Z ,即数列 {an } 的每一项均是整数. 由(Ⅱ)知, a1 ? 0 , d ? 0 ,故数列 {an } 的每一项均是自然数,且 d 是正整数.

? d 是数列中的项,设 ) 由题意知, 2018 ? d 是数列 {an } 中的项,故 2018? (2018

am ? 2018 ? (2018 ? d ) ,则 am ? ak ? 2018 ? (2018 ? d ) ? 2018 ? 2018 ? 2017 ? 2018d ? (m ? k ) ? d ,
即 (m ? k ? 2018) ? d ? 2018 ? 2017 . 因为 m ? k ? 2018 ? Z , d ? N* ,故 d 是 2018 ? 2017 的约数. 所以, d ? 1, 2,1009, 2017, 2 ?1009, 2 ? 2017,1009 ? 2017 , 2 ?1009 ? 2017 . 当 d ? 1 时, a1 ? 2018 ? (k ?1) ? 0 ,得 k ? 1, 2,..., 2018, 2019 ,故

a1 ? 2018, 2017,..., 2,1,0 ,共 2019 种可能; 当 d ? 2 时, a1 ? 2018 ? 2(k ?1) ? 0 ,得 k ? 1, 2,...,1008,1009,1010 ,故 a1 ? 2018, 2016, 2014,..., 4, 2,0 ,共 1010 种可能;

当 d ? 1009 时, a1 ? 2018 ?1009 ? (k ? 1) ? 0 ,得 k ? 1, 2,3 ,故

a1 ? 2018,1009,0 ,共 3 种可能; 当 d ? 2017 时, a1 ? 2018 ? 2017(k ?1) ? 0 ,得 k ? 1, 2 ,故 a1 ? 2018,1 ,共 2 种可能; 当 d ? 2 ?1009 时, a1 ? 2018 ? 2018 ? (k ?1) ? 0 ,得 k ? 1, 2 ,故 a1 ? 2018,0 ,共 2 种可能; 当 d ? 2 ? 2017 时, a1 ? 2018 ? 2 ? 2017 ? (k ?1) ? 0 ,得 k ? 1 ,故 a1 ? 2018 ,共 1 种可能; 当 d ? 1009 ? 2017 时, a1 ? 2018 ?1009 ? 2017 ? (k ?1) ? 0 ,得 k ? 1 ,故 a1 ? 2018 ,共 1 种可能; 当 d ? 2 ?1009 ? 2017 时, a1 ? 2018 ? 2 ?1009 ? 2017 ? (k ?1) ? 0 ,得 k ? 1 ,故 a1 ? 2018 ,共 1 种可能. 综上,满足题意的数列 {an } 共有 2019 ? 1010 ? 3 ? 2 ? 2 ? 1 ? 1 ? 1 ? 3039 (种) .
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 经检验,这些数列均符合题意. ·


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