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空间直角坐标系.ppt1


空间直角坐标系

问题引入:

1.如何借助平面直角坐标系表示学生的座位?

思考:
能用平面直角坐标系表示教室里的灯泡吗?

要表示空间的某一个位置, 必须用空间直角坐标系来表示。

知识点:

如何建立空间直角坐 标系?

从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度 的数轴,这样就建立了空间直角坐标系O-xyz,点O叫做 坐标原点,x轴、y轴和z轴叫做坐标轴,这三条坐标轴中 每两条确定一个坐标平面,分别称为xOy平面、yOz平面 和xOz平面。

将空间直角坐标系画在纸上时,x轴与y轴、x轴与z 轴均成135°,而z轴垂直于y轴,,y轴和z轴的长度单 位相同,x轴上的单位长度为y轴(或z轴)的长度的一 半,这样三条轴上的单位长度在直观上大体相等。

知识点:

如何建立空间直角坐 标系?

从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度 的数轴,这样就建立了空间直角坐标系O-xyz,点O叫做 坐标原点,x轴、y轴和z轴叫做坐标轴,这三条坐标轴中 每两条确定一个坐标平面,分别称为xOy平面、yOz平面 z 和xOz平面。
xOz平面
3 2

yOz平面

1

o
1 2 3 1 2 3

y
xOy平面

x

知识点: 点在对应数轴上的坐标依次为x、y、z,我 们把有序实数对(x,y,z)叫做点A的坐标, 记为A(x,y,z)。

例题选讲:

例1

在空间直角坐标系中,作出点P(3,2,1).
z
3

P(3,2,1)
2

1

o
1 2 3

y
① ② ③
1 2 3

x

例题选讲:

例2

如图,长方体ABCD-A′B′C′D′的边长为 AB=12, AD=8,AA′=5.以这个长方体的顶点A为坐标原点,射 线AB,AD,AA′分别为,x轴、y轴和z轴的正半轴, 建立空间直角 坐标系,求长方体各个顶点的坐标。

z A(0,0,0)
A' B' A D B C C' D'

A’(0,0,5)

B(12,0,0) B’(12,0,5) C(12,8,0) C’(12,8,5)

D(0,8,0)
y

D’(0,8,5)

x

例题选讲:

例2

如图,长方体ABCD-A′B′C′D′的边长为 AB=12, AD=8,AA′=5.以这个长方体的顶点A为坐标原点,射 线AB,AD,AA′分别为,x轴、y轴和z轴的正半轴, 建立空间直角 坐标系,求长方体各个顶点的坐标。

在平面xOy的点有哪些?
z

这些点的坐标有什么共性?
A' B' A D B C C' D'

A(0,0,0)

A’(0,0,5)

B(12,0,0) B’(12,0,5) y C(12,8,0) C’(12,8,5)

D(0,8,0)

D’(0,8,5)

x

例题选讲:

例2

如图,长方体ABCD-A′B′C′D′的边长为 AB=12, AD=8,AA′=5.以这个长方体的顶点A为坐标原点,射 线AB,AD,AA′分别为,x轴、y轴和z轴的正半轴, 建立空间直角 坐标系,求长方体各个顶点的坐标。

在平面xOz的点有哪些?
z

这些点的坐标有什么共性?
A' B' A D B C C' D'

A(0,0,0)

A’(0,0,5)

B(12,0,0) B’(12,0,5) y C(12,8,0) C’(12,8,5)

D(0,8,0)

D’(0,8,5)

x

例题选讲:

例2

如图,长方体ABCD-A′B′C′D′的边长为 AB=12, AD=8,AA′=5.以这个长方体的顶点A为坐标原点,射 线AB,AD,AA′分别为,x轴、y轴和z轴的正半轴, 建立空间直角 坐标系,求长方体各个顶点的坐标。

在平面yOz的点有哪些?
z

这些点的坐标有什么共性?
A' B' A D B C C' D'

A(0,0,0)

A’(0,0,5)

B(12,0,0) B’(12,0,5) y C(12,8,0) C’(12,8,5)

D(0,8,0)

D’(0,8,5)

x

总结:
在空间直角坐标系中,x轴上的点、 y轴上的点、z轴 上的点,xOy坐标平面内的点、xOz坐标平面内的点、 yOz坐标平面内的点的坐标各具有什么特点?

x轴上的点的坐标的特点: y轴上的点的坐标的特点: z轴上的点的坐标的特点: xOy坐标平面内的点的特点: xOz坐标平面内的点的特点: yOz坐标平面内的点的特点:

P(m,0,0) P(0,m,0) P(0,0,m) P(m,n,0) P(m,0,n) P(0,m,n)

例题选讲:

例3

(1)在空间直角坐标系O-xyz中,画出不共线 的3个点P,Q,R,使得这3个点的坐标都 满足z=3,并画出图形; z
3 2

(2)写出由这三个点确定的平面内的点的坐标 应满足的条件.

1

o
1 2 3 1 2 3

y

x

空间两点之间的距离

问题引入:
在平面直角坐标系中,求A(2,1)、B(3,4)两 点间的距离. y
4

B(3,4)

3

2

d?
A(2,1)
1 2 3

1

C

?x1 ? x2 ?

2

? ( y1 ? y2 )

2

o
-1

x

思考:

在空间直角坐标系中,求两点间的距离.

计算空间两点 A ( x1 , y 1 , z 1 ), B ( x 2 , y 2 , z 2 ) 的距离公 式是:

d?

( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? ( z1 ? z2 )
2 2

2

例题选讲:

例1

求空间两点P1(3,-2,5)、P2(6,0,-1) 之间的距离P1P2 .
d? (3 ? 6) ? (?2 ? 0) ? (5 ? 1)
2 2 2

?

49

=7

例题选讲:

例2 平面到坐标原点的距离为1的点的轨迹是单位圆,
其方程为x2+y2=1;
在空间中,到坐标原点的距离为1的点的轨迹是 什么?试写出它的方程.



x2+y2+z2=1

思考:
连接平面上两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)

的线段P1P2的中点M的坐标为P1(

x1 ? x2 2

,

y1 ? y2 2

),

那么已知空间两点P1(x1,y1,z1)、 P2(x2,y2,z2),线段P1P2的中点M的坐标为什么?

(

x1 ? x2 2

y1 ? y2 z1 ? z 2 , , ) 2 2


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