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选修2-2,导数 教材分析


选修 2-2 :教材与教法分析
第一章 导数及其应用
一、地位与作用 微积分的创立是数学发展中的里程碑, 它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期, 为研究变量和 函数提供了重要的方法和手段.导数、定积分都是微积分的核心概念,它们有极其丰富的实际背景和广泛的应 用.在选修模块中,学生将学习导数和定积分的有关知识,体会其中蕴含的思想方法,感受它们在解决实际问题 中的作用,了解微积分的文化价值。 二、课标要求 导数及其应用的基本教学要求是: 1.通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道 瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;通过函数图象直观地理解导数的几何意义. 2 .能根据导数定义,求函数 y ? c, y ? x, y ? x 2 , y ? x 3 , y ?
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1 , y ? x 的导数(文科只要求求函数 x

1 y ? c, y ? x, y ? x , y ? 的导数) ;能利用给出的基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数 x 的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如 f ( ax ? b) 的导数(文科数学不做要求);会使用导数公式表.
3.结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求 不超过三次的多项式函数的单调区间. 4.结合函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求不超过三次的多项式函 数的极大值、极小值,以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值. 5.通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用。 6.通过实例(如求曲边梯形的面积、变力做功等) ,从问题情境中了解定积分的实际背景;借助几何直观体 会定积分的基本思想,初步了解定积分的概念.(文科数学不做要求) 7.通过实例(如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系) ,直观了解微积分基本定理的含义.(文 科数学不做要求) 8.体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值. 三、内容说明 1.本模块中,导数的概念是通过实际背景和具体应用的实例引入的。教学中,可以通过研究增长率、膨胀 率、效率、密度、速度等反映导数应用的实例,引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程,知道瞬时变化 率就是导数。通过感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用,体会导数的思想及其内涵。这样处理的目的是 帮助学生直观理解导数的背景、思想和作用。 2.在教学中,要防止将导数仅仅作为一些规则和步骤来学习,而忽视它的思想和价值。应使学生认识到, 任何事物的变化率都可以用导数来描述。 3.教师应引导学生在解决具体问题的过程中,将研究函数的导数方法与初等方法作比较,以体会导数方法 在研究函数性质中的一般性和有效性。 4.关注微积分的文化价值。 微积分的创立是数学发展中的里程碑,它的发展及其广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期,它为研究 变量与函数提供了重要的方法和手段。教科书在不同的时机让学生通过了解微积分的发展史。例如,在引言中介 绍了与微积分紧密相关的“四大问题” ,阐述了微积分在人类科学发展史上的地位,对微积分的意义和作用也作 了介绍;通过拓展性栏目,给学生介绍牛顿法,展示导数在科学研究中的作用;通过实习作业,让学生收集微积 分创立和发展的有关材料,让学生体会微积分在数学和科学思想史上价值。

第一:变化率与导数 1.教材分析
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本节主要包括三方面内容:变化率、导数概念、导数的几何意义.实际上,它们是理解导数思想方法及其内 涵的不同角度.首先,教科书从平均变化率开始,用平均变化率探求瞬时变化率,并从数学上给予各种变化率在 数量上的精确描述,即导数;然后,从数形转换的角度,由数到形,借助函数图象,探求切线斜率与导数的关系, 阐明导数的几何意义.导数概念的核心——变化率。变化率:平均变化率、瞬时变化率。 平均变化率 ——割 线的斜率——切线的斜率。要重视 4 页上方的思考题。 导数和定积分都是微积分的核心概念, 它们有着极其丰富的实际背景和广泛应用。 教科书选取了两个典型的 变化率问题,引导学生经历从平均变化率到瞬时变化率刻画显示问题的过程,体会导数的基本思想,理解导数的 含义。 教学重点:让学生知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵,通过函数图象直观地理解导数的几 何意义. 教学难点:让学生体会从平均变化率到瞬时变化率,从割线到切线的逼近方法;理解导数的概念. 2.教学建议 (1)从气球膨胀率问题和高台跳水运动的速度问题入手,引入平均变化率,让学生了解平均变化率的几何 意义. (2)从平均速度到瞬时速度,从瞬时速度到导数,让学生经历导数概念的形成过程. (3)从形的角度,建立切线斜率与导数的关系,获得导数的几何意义. (4)建立导函数概念. (5)极限的处理: 一般地,导数概念学习的起点是极限,即从数列 数列的极限 函数的极限 导数。这种概念建立方 式具有严密的逻辑性和系统性,但是也产生了一些问题:就高中学生的认知水平而言,他们很难理解极限的形式 化定义。由此产生的困难也影响了对导数本质的理解。因此,教科书没有介绍任何形式的极限定义及相关知识, 而是从变化率入手,用形象直观的“逼近”方法定义导数,用“趋近于” 、 “无限逼近于” 、 “趋于” 、 “无限变小” 等通俗易懂的词对极限的过程进行描述。这样一来,其一,避免学生认知水平和知识学习间的矛盾;其二,将更 多精力放于导数本质的理解上;其三,学生对逼近思想有了丰富的直观基础和一定的理解,有利于在大学的初级 阶段学习严格的极限定义。 但是极限的符号还是可以引入的,这个不要过多解释,只把其作为表示语言表述 : 当 ?x 趋近于 0 时,

f (x 0 ? ? x) ? f (x 0 ) 趋近于一个定值,这个定值就是 x0 处的导数。 ?x
在教学中值得注意的是, 教科书编写的重点在于理解概念的内涵和基本方法, 并不追求理论上的严密性和过 多的技巧,建议教学时充分关注这一点,将教学重点放在概念内涵的理解上。 第二:导数的计算 1.教材分析 本节主要包括三方面内容:一是利用导数定义求几个常见函数的导数;二是利用导数公式及导数的运算法则 求函数的导数.三是复合函数的导数。 利用导数定义求导数是最基本的方法,但最终要归结为求极限,而新课程并未介绍极限知识,因此教科书只 是采用这种方法计算了五个常见函数的导数,意在让学生感受这种基本方法.同时也课对导数概念进行复习、巩 固。 教科书直接给出基本初等函数的导数公式和导数运算法则, 并未推导这些公式和法则,只要求利用它们求简 单函数的导数,意在让学生掌握公式法求导数. 教学重点:让学生会根据导数定义求函数 y ? c, y ? x, y ? x 2 , y ? x 3 , y ? 求函数 y ? c, y ? x, y ? x 2 , y ?

1 , y ? x 的导数(文科只要求 x

1 的导数) ;建议不要粗略而过,要一一求解。 x

能利用给出的基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数. 教学难点: (1)利用导数定义求几个常见函数的导数; (2)求简单的复合函数(仅限于形如 f ( ax ? b) 的导 数,文科数学不做要求).
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2.教学建议 (1)联系函数研究的需要,提出导数的运算问题. (2)让学生感受定义法求导数的过程.以便后来不觉得抽象 (3)联系几何直观和物理意义,进一步认识导数内涵,逐步培养学生用数学知识解释现实问题的习惯. (4)通过适量的练习,让学生熟悉公式法求导数. (5)对复合函数求导问题,仅限于形如 f ( ax ? b) 的函数求导,关键是正确地分析出复合函数的复合过程, 找出相应的中间变量,应避免过量的形式化的运算练习. 建议复习符合函数的相关知识:举例说明何为复函数,内层函数、外层函数?学生必须能够准确快速识别 出一个复合函数是由什么函数符合而成的。控制难度内层只限一次函数 复合函数求导法则的推导、怎样才能让学生更快更好的理解、掌握?仔细研究课本,期望大家贡献一些好 的方法。举例:求导过程的书写举例说明。进行必要的纠错与反馈,不能轻易相信学生人人都掌握好了。 (6)增加课时 ,求切线方程 第三 导数在研究函数中的的应用 1.教材分析 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型. 变化规律可用函数性质来描述. 导数方法是研究函数性质的 通法.本节主要包括三方面内容:一是利用导数研究函数的单调性;二是利用导数研究函数的极值;三是利用导 数研究函数的最值. 教学重点: (1)利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间. (2)会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值,以及在给定区间上不超过三次的多项式函数 的最大值、最小值. 教学难点:函数在某点取得极值的必要条件和充分条件. 2.教学建议 (1)结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系. (2)结合典例,让学生掌握利用导数研究函数的单调性(求单调区间)的方法与步骤. (3)结合函数图象,直观感受函数在某些特殊点的函数值与附近点函数值大小的关系,建立函数的极大值、 极小值的概念. (4)借助几何直观探索函数在某点取得极值的必要条件和充分条件. (5)结合典例,让学生掌握利用导数研究函数的极大值、极小值的方法与步骤. (6)结合典例,让学生掌握利用导数研究函数在给定区间上的最大值、最小值的方法与步骤. (7)通过适量的综合性练习,让学生进一步体会导数方法在研究函数中的优越性. 第一,避免过量的形式化的运算练习。关于导数的计算,有两种方法,一是用导数定义计算函数的导数, 二是用基本初等函数的导数公式和四则运算法则计算函数的导数。值得注意的是,由于没有介绍极限知识,因此 第一种方法只是用导数方法计算四个函数(选修 2-2 是五个函数)的导数,目的在于让学生在感受用定义求导数 的过程中进一步理解导数;第二种方法是教科书直接给出了导数公式和运算法则,并没有进行公式推导,也不要 求推导,只是会用它们进行简单的计算即可。避免过量、复杂的形式化练习,防止将导数和积分作为一些规则和 步骤来学习,而忽略了它们的思想和价值。比如我们经常看到学生不动脑筋、不加思考,求导——令导数为 0 ——解 x——接下来不会了? 第二,控制应用的广度与深度。例如,在用导数求函数极(最)值时,将函数控制在不超过三次多项式;关 于生活中的问题,尽量选取背景比较简单,学生比较熟悉的物理问题,像膨胀率、速度、温度变化、变力作功等。 第四:生活中的优化问题举例 不超课本难度为原则 引导自学 不能缺失 因材施教 第五:定积分与微积分基本定理
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(一)定积分 1.教材分析 本节主要内容是定积分的引入、 定积分的定义和几何意义、 定积分的基本性质. 教科书在对两类典型问题 (求 曲边梯形的面积和求变速直线运动物体位移)进行详细讨论的基础上,抽象概括出它们的共同本质特征,进而引 入定积分的概念及其几何意义,最后给出定积分的基本性质. 初步介绍定积分的概念和简单应用,初步体会定积分的思想,为进一步学习微积分打下基础。 通过微积分的发展史,是学生体会微积分的思想文化价值。 教学重点: “以直代曲” “逼近”的思想方法,定积分的概念、定积分的几何意义. 教学难点: “以直代曲” “逼近”的思想方法,定积分的概念. 2.教学建议 (1)创设问题情境,揭示“以直代曲” “逼近”的思想方法.求曲边梯形面积和求变速直线运动物体位移的 过程蕴涵着定积分的基本思想方法,在教学中,要让学生充分体验“分割--—近似代替—--求和----取极限”的 过程. (2)概括共同特征,引出定积分概念. (3)借助几何直观,揭示定积分的几何意义. (4)直观感知定积分的基本性质. 对于定积分,教科书给出的用定义计算定积分的函数都非常简单,而且和导数一样,这种计算方法的目的在 于让学生了解定积分的概念。 利用微积分基本定理计算定积分的基础是导数公式, 由于导数公式有限而且没有讲 原函数等知识,故对于定积分的计算要求很简单,基本上都是一些通过观察能想到原函数的函数。 (5)定积分的几何意义——图形面积,代数和、正负等 (二) 微积分基本定理 1.教材分析 微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的内在联系,同时它也提供了计算定积分的一种有效方法. 教学重点:直观了解微积分基本定理的含义,并用微积分基本定理计算简单的定积分. 教学难点:了解微积分基本定理的含义 . 2.教学建议 (1)创设问题情境,揭示寻求计算定积分新方法的必要性. (2)让学生经历微积分基本定理的发现过程.教学中,可借助变速直线运动物体求位移问题,探究速度与 位移(即导数与定积分)之间的联系,归纳出微积分基本定理. (3)通过例题教学,揭示用微积分基本定理计算定积分的关键. (三)定积分的简单应用 1.教材分析 本节内容是应用定积分求比较复杂的平面图形的面积、求变速直线运动物体的路程(位移)以及求变力所作 的功.解决这些问题的关键是将它们化归为定积分问题.同时,通过数形结合的思想方法,加深对定积分几何意 义的理解. 教学重点:应用定积分求平面图形的面积、求变速直线运动物体的路程以及求变力所作的功等问题,让学生 在解决问题的过程中体验定积分的价值. 教学难点:将实际问题化归为定积分问题. 2.教学建议 (1)创设问题情境,让学生体验定积分的价值.教学中,可从平面几何中用初等方法难以解决的平面图形 面积问题入手,让学生经历将平面图形面积问题化归为定积分问题的过程.再以定积分在物理中的应用,强化学 生的认识. (2)通过例题教学及变式训练,帮助学生归纳总结求比较复杂的平面图形面积的方法和步骤,并让学生进 一步体验定积分的价值. 3. 易错点辨析 单调性问题
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例 1 已知 a 为实数,f(x)= (x2-4)(x-a), 若 f(x)在(-∞,-2]和[2,+∞)上都是递增的,求 a 的取值范围. 错解:f(x)=x3-ax2-4x+4a, f /(x)=3x2-2ax-4, ∵f(x)在(-∞,-2]和[2,+∞)上都是递增的, ∴在(-∞,-2] 上 f /(x)>0 恒成立??① 且在[2,+∞)上 f /(x)>0 恒成立??②, 对于①,∵函数 f /(x)=3x2-2ax-4 的开口向上,且过点(0,-4), ∴只需 f /(-2)>0, 对于②同理可得 f /(2)>0,解得-2<a<2. 辨析:若 f(x)在区间[a,b]上满足 f /(x)>0(<0),则 f(x)在[a,b]上是增(减)函数,但反过来不成立. 反之应为 若 f(x)在[a,b]上是增(减)函数,则 f /(x)≥0(≤0).所以该题应为 f /(-2)≥0 且 f /(2)≥0, 易得-2≤a≤2. 极值问题 例 2 已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+a2 在 x =1 处有极值为 10,求 f(x) 错解:f /(x)=3x2+2ax+b, ∵f(x)在 x =1 处有极值为 10,
/ ? ?a ? 4 ?a=-3 ? f (1) ? 3 ? 2a ? b ? 0 ∴ ? 解得? 或? 2 ?b ? ?11 ?b ? 3 ? ? f (1) ? 1 ? a ? b ? a ? 10

∴ f(x)= x3+4x2-11x+16, 或 f(x)= x3-3x2+3x+9. 辨析:函数 f (x)在一点 x0 处的导数为 0,是 f(x)在该点处有极值的必要非充分条件,以上解法中还应验证在 x =1 两侧导数是否异号.事实上 当 a=-3, b=3 时,f /(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0, ∴x =1 不是极值点,与题意不符,舍去. 当 a= 4, b=-11 时,f /(x)=3x2+8x-11=(3x+11)(x-1), 易知 x =1 两侧 f /(x)异号,∴x =1 是 f(x)的极值点.∴ 只有 f(x)= x3+4x2-11x+16. 切线问题 例 3 已知函数 f(x)= 错解:f /(x)=x2 (1) 由 f /(2)=4 知, 所求切线的斜率为 k=4, 故切线方程为 y-4 =4(x-2), 即 4x-y-4=0. (2) 斜率 k= f /(2)=4, ∴切线方程为 y-

1 3 4 4 x + , 求(1)过点 A(2, 4)的切线方程;(2)过点 B(2, )的切线方程. 3 3 3

4 = 4(x-2), 即 12x-3y-20=0. 3

辨析:求过一点的曲线的切线应注意两点: (1)所给的点在不在已知曲线上; (2)若所给的点在已知曲线 上,还要看是不是以该点为切点作切线.本题点 A 在曲线上,但不一定以 A 为切点,点 B 不在曲线上.若求以 A 为切点的切线(等价于 A 点处的切线) ,则(1)的解法正确. 正确解法如下:
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设切点为 P(x0, y0),则切线的斜率为 k=f /(x0)=x02,故切线的方程为: y-y0= x02( x-x0), 即 y-(

1 3 4 x0 + )= x02( x-x0) 3 3

(1) 代点 A(2, 4)得: x0=-1 或 x0=2, 进而可得切线为 4x-y-4=0 或 x-y+2=0. (2) 代点 B(2, y=

4 )得: x0=0 或 x0=3, 进而可得切线为: 3

4 或 27x-3y-50=0. 3

第二章 推理与证明
一、内容说明
“推理与证明”是新课标新增内容(选修 1-2 第二章,选修 2-2 第二章),主要包括合情推理与演绎推理、 直接证明与间接证明、数学归纳法三个部分(其中数学归纳法文科数学不作要求) . “推理与证明”是数学的基本 思维过程, 也是人们学习和生活中经常使用的思维方式. 本章内容是各知识模块中常用推理方法和论证方法的总 结,推理方法与证明方法是从思维活动中抽象出来的,是由数学思维过程凝缩而成的,是高中数学的重要基础, 在高中数学中占有极其重要的地位和作用. 二、课标要求 1.合情推理与演绎推理 (1)结合已学过的数学实例和生活中的实例,了解合情推理的含义,能利用归纳和类比进行简单的推理,体 会并认识合情推理在数学发现中的作用. (2)结合已学过的数学实例和生活中的实例,体会演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用 它们进行一些简单推理. (3)通过具体实例,了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异. 2.直接证明与间接证明 (1)结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法;了解分析法和综合法的 思考过程、特点. (2)结合已经学过的数学实例,了解间接证明的一种基本方法——反证法;了解反证法的思考过程、特点. 3.数学归纳法(文科不做要求) 了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 4.数学文化 ①通过对实例的介绍(如欧几里得《几何原本》 、马克思《资本论》 、杰弗逊《独立宣言》 、牛顿三定律) ,体 会公理化思想。 ②介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用。 (一)合情推理与演绎推理 1.教学重点与难点 教学重点:了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理;了解演绎推理的含义,能利用“三 段论”进行一些简单推理. 教学难点:用归纳和类比进行推理,做出猜想;用“三段论”证明问题. 2.教材分析 合情推理和演绎推理是数学推理的两种基本推理形式.
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(1) “合情推理”是高中数学课程标准的亮点之一. 数学能力要求的历史变化:最初(1952 年大纲)三大能力——计算能力、逻辑思维能力、空间想象能力; 1978 年增加了“培养学生分析问题与解决问题的能力” ; 2003 年颁布的《普通高中数学课程标准》 (实验稿)中, 增加合情推理要求。 《考试说明》六大能力:空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力、分 析问题和解决问题的能力。 (2)归纳推理和类比推理是合情推理的两种常用的思维方法. 归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理, 或者由 个别事实概括出一般结论的推理.由于归纳推理是由部分到整体、由个别到一般,所以结论不一定可靠,只能算 是一种猜想. 类比推理是由两类对象具有某些类似特性和其中一类对象的某些已知特征, 推出另一类对象也具有这些特征 的推理.其思维过程是从特殊到特殊,类比的基础是事物之间的相似性或某种特殊性.由于类比推理是由特殊到 特殊的推理,因此结论不一定可靠,只能算是一种猜想. 合情推理具有两大功能:一是探索一般结论,二是发现解题思路. (3)演绎推理是由一般到特殊的推理, “三段论”是演绎推理的一般模式.三段论由三部分构成: (两个前 提,一个结论) M 是 P, 大前提----已知的一般原理; S是M 小前提----所研究的特殊情况; ∴S 是 P 结论----根据一般原理,对特殊情况做出的判断. 三段论可用右边的格式来表示.用集合观点就是:若集合 M 的所有元素都具有性质 P,S 是 M 的子集,则 S 中所有元素都具有性质 P. 演绎推理只要前提正确,推理的形式正确,那么推理所得结论就一定是正确的.但错误的前提会导致错误的 结论. (4)合情推理与演绎推理的联系与差异: ①从推理形式和推理所得结论的正确性上讲,二者有差异.合情推理是根据已有的事实,经过观察、分析、 比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,是由部分到整体、由个别到一般、由特殊到特殊的推理, 合情推理作出的结论未必可靠,有待于进一步证明或否定.演绎推理是由一般到特殊的推理,只要前提正确,推 理的形式正确,那么推理所得结论就一定是正确的.正如波利亚所说: “论证推理(即演绎推理)是可靠的、无 可置疑的和终决的.合情推理是冒险的、有争议的和暂时的. ” ②从二者在认识事物的过程中所发挥的作用的角度上讲,它们又是紧密联系,相辅相成的.合情推理的结论 需要演绎推理的验证, 而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的. 演绎推理回答如何证明定理或命题的问题, 是“论证”的手段,而合情推理回答如何发现定理或命题的问题,是发现的工具.合情推理可以为演绎推理提供 方向和思路,演绎推理可以验证合情推理的结论的正确性. 合情推理和演绎推理是数学推理的两种基本推理形式.许多重要的科学结论(包括数学的定理、法则、公式 等)的发现往往发端于对事物的观察、比较、归纳、类比等,即通过合情推理提出猜想,然后再通过演绎推理证 明猜想正确或错误.对于数学学习来说,既要学会证明,也要学会猜想. 3.教学建议 (1)要注意结合实际例子,使学生了解合情推理的含义; (2)要通过学生学过的简单的数学例子,让学生掌握归纳推理和类比推理的基本方法; (3)要通过数学史事,使学生认识合情推理在数学发现中的作用; (4)要通过学生学过的简单的数学例子,让学生掌握演绎推理的基本模式----“三段论”推理模式; (5)要通过反例,让学生理解演绎推理的前提与结论之间的蕴涵关系; (6)要通过具体实例,帮助学生了解合情推理与演绎推理之间的联系与差异,让学生既学会猜想,又学会 证明. (二)直接证明与间接证明 1.教学重点与难点
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教学重点:结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法,了解间接证明的 一种基本方法——反证法;了解分析法、综合法和反证法的思考过程、特点. 教学难点:根据问题的特点,结合分析法、综合法和反证法的思考过程、特点,选择适当的证明方法或使用不 同的证明方法解决同一问题. 2.教材分析 数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明才能得到确认,这是数学区别于其他学科的显著特点. 直接证明与间接证明是两类基本的数学证明方法. (1)综合法的思维特征是:由因导果.即由已知条件出发,利用已知的数学定理、性质和公式,推出结论 的一种证明方法. (2)分析法的思维特征是:执果索因.即从结论入手进行反推,看看需要知道什么,最后推出一个已证的 命题(定义、公理、定理、公式等)或已知条件,从而得到证明.很多演绎推理的证明题都是采用这种方法进行 思考的,有时也将综合法和分析法结合起来使用. (3)反证法是间接证明的一种基本方法,任何一个问题都有正反两面,当直接证明有困难时,便可以考虑 使用反证法.反证法证题的步骤可归结为:反设—归谬—结论. 3.教学建议 (1)先讲综合法,后讲分析法.综合法和分析法,是直接证明中最基本的两种证明方法,也是解决数学问 题时常用的思维方式.综合法是学生使用较多、较为熟悉的一种方法.分析法虽然在过去也经常使用,但学生在 理解上显然不如综合法那样容易. (2)要突破分析法这一教学难点.分析法的主要困难有两点:一是学生对这种证明方法的思考过程不理解; 二是学生对这种证明方法的表达方式不习惯.突破难点的方法有两点:一是结合具体的数学实例,让学生感受分 析法证明的可靠性,以及“要证??只需证??”这种表达的必要性;二是将分析法与综合法对比着进行讲解] 帮助学生加深对分析法思考过程及特点的理解. (3) 通过具体的数学实例, 帮助学生形成既分析又综合的思维方式, 学会将分析法与综合法结合起来运用. 结 合方式有两种:一是先用分析法探寻证题思路,再用综合法有条理地表述证明过程;二是将分析法与综合法结合 起来,证明某些较复杂的数学问题. (4)结合已经学过的数学实例,帮助学生了解间接证明的一种基本方法——反证法,了解反证法的思考过 程、特点.在必修课的教学中,学生已经使用反证法证明了一些较简单的数学命题,对于反证法学生并不是完全 陌生的.本次教学应尽量利用学生已有的经验,进一步加深对反证法的思考过程、特点的了解. 一是要提炼用反证法证题的基本模式.反证法证题的步骤可归结为:反设—归谬—结论.其中,正确反设是 用好反证法的前提,推出矛盾(归谬)是用好反证法的关键.反设是否正确,与逻辑知识密切相关,要联系常用 逻辑用语中的相关知识. 二是总结反证法的适用范围.反证法主要适用于以下两种情形: ①要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰; ②如果从正面证明, 需要分成多种情形进行分类讨论, 而从反面进行证明, 只要研究一种或很少的几种情形. (三)数学归纳法 1.教学重点与难点 教学重点:借助具体实例了解数学归纳法的基本思想,掌握数学归纳法的基本步骤,运用数学归纳法证明一 些与正整数 n ( n 取无限多个值)有关的数学命题. 教学难点: (1)对数学归纳法基本原理的理解; (2)在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系. 2.教材分析 本节分为两部分:第一部分主要内容是借助具体实例归纳出数学归纳法的基本原理、步骤;第二部分的重点 是用数学归纳法证明一些简单的数学命题, 教科书安排了两个例题, 通过证明数学命题巩固对数学归纳法的认识. 数学归纳法是一种特殊的直接证明的方法.在证明一些与正整数 n ( n 取无限多个值)有关的数学命题时, 数学归纳法往往是非常有用的研究工具,它通过有限个步骤的推理,证明 n 取无限多个正整数的情形. 用数学归纳法证题分为两大步骤: 第一步(归纳奠基) :证明当 n ? n0 时命题成立,其中 n0 是命题成立的初始值,不一定是自然数 1.这一步
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是论证的基本保证,是递推的基础,必须保证其真实性. 第二步(归纳递推) :假设 n ? k (k ? n0 , k ? N? ) 时命题成立,证明 n ? k ? 1 时命题也成立.这一步是命题 具有后续传递性的保证,是递推的依据.由 k ? k ? 1 时必须使用归纳假设,否则不算数学归纳法. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立. 数学归纳法虽然仅限于与正整数有关的命题,但并不是所有与正整数有关的命题都能使用数学归纳法. 3.教学建议 (1)通过递推数列求通项问题,引发学习数学归纳法的欲望,说明探索新的证明方法的必要性. (2)分析“多米诺骨牌”全部倒下的原理—递推思想. (3)给出数学归纳法的基本原理. (4)结合例题,讲解数学归纳法的证题步骤与要求,帮助学生理解数学归纳法证题中的“归纳奠基”和“归 纳递推”两个步骤缺一不可. (5) 向学生指明数学归纳法的适用范围. 教学时要使学生明确, 数学归纳法一般被用于证明某些与正整数 n ( n 取无限多个值)有关的数学命题.一般说,从 n ? k 时的情形过渡到 n ? k ? 1 时的情形,如果问题中存在可 利用的递推关系,则数学归纳法有用武之地,否则使用数学归纳法就有困难. (6)让学生经历数学研究与发现的完整过程,并进一步熟悉数学归纳法.在教科书例 2 的教学中,应引导 学生关注两个问题: 一是归纳猜想; 二是归纳递推, 要注意从 n ? k 时的情形到 n ? k ? 1 时的情形是怎样过渡的. (7)通过变式训练,让学生形成运用数学归纳法解题的经验. 第三章 数系的扩充与复数的引入 数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程,同时体现了数学发生、发展的客观需求,复数的引入是中学 阶段数系的又一次扩充。在本模块中,学生将在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性,学习复 数的一些基本知识,体会人类理性思维在数系扩充中的作用。 课标要求 (1)在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程理论)在 数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。 (2)理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。 (3)了解复数的代数表示法及其几何意义。 (4)能进行复数代数形式的四则运算,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。

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